指数函数（第一课时 指数函数的图象与性质） （知识精讲+备课精研） 高一数学 课件（苏教版2019必修第一册）

6.2指数函数（第一课时）

指数函数的图象与性质

课标要求素养要求1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.2.掌握指数函数的图象及简单性质.3.会用指数函数的图象与性质解决问题.通过指数函数的图象及性质的理解与应用，提升直观想象素养、逻辑推理素养和数学抽象素养.新知探究将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？提示(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量.1.指数函数的概念2.指数函数的图象和性质结合函数的图象熟记指数函数的性质

a>10<a<1图象(0，＋∞)(0，1)0<y<10<y<1y>1减函数R基础自测[判断题]1.函数y＝2x＋1是指数函数.(

)

提示因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数.2.函数y＝(－5)x是指数函数.(

)

提示因为底数小于0，所以函数y＝(－5)x不是指数函数.3.y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(

)

提示因为指数函数的图象都在x轴上方，值域为(0，＋∞)，没有最小值.×××[基础训练]1.下列函数中一定是指数函数的是(

)答案B2.函数y＝2－x的图象是(

)答案B3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.[思考题]1.为什么规定指数函数的底数a>0且a≠1?提示规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.2.若x1<x2，则ax1与ax2(a>0且a≠1)大小关系如何？提示当a>1时，y＝ax在R上为单调增函数.所以ax1<ax2，当0<a<1时，y＝ax在R上为单调减函数，所以ax1>ax2.题型一指数函数的概念【例1】

(1)给出下列函数： ①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(

) A.0 B.1 C.2 D.4解析(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2<0，不是指数函数.答案(1)B

(2)125规律方法1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.【训练1】

(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(

) A.a＝1或－1 B.a＝1 C.a＝－1 D.a>0且a≠1 (2)已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________.题型二指数函数的性质角度1函数过定点【例2－1】函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.解析因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1).答案(－1，－1)角度2函数的定义域、值域【例2－2】

(1)若函数f(x)＝2x＋3，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________.(2)函数f(x)＝2－x－1的值域是________.解析(1)由题意知函数f(x)＝2x＋3在R上是增函数，且x∈[2，3]，所以2x∈[4，8]，故f(x)的值域为[7，11].∴值域为(－1，＋∞).答案(1)[7，11]

(2)(－1，＋∞)角度3由单调性比较大小【例2－3】比较下列各组数的大小：规律方法(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.(2)合理利用指数型函数的单调性、图象的变化规律及中间值进行幂的大小判断.(3)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0，1进行分组，再比较各组数的大小.【训练2】

(1)函数y＝a2x＋1－4(a>0，且a≠1)的图象恒过点________，值域为________.题型三指数函数的图象变换【例3】画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的. (1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|； (4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.解如图所示.(1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右侧的图象和其关于y轴对称的图象组成的，包括y轴上的(0，1)点.(4)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的.(5)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称.(6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称.规律方法函数图象的变换规律(1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度).(2)对称变换：①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称；②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象；③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变.【训练3】

(1)如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(

)A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0解析(1)可先分两类，③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由图象③④比较c，d的大小，由图象①②比较a，b的大小.在y轴右侧，当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象越靠近y轴，当指数函数的底数大于0且小于1时，图象下降，且底数越小，图象越靠近x轴(即用x＝1截图，底大图高)，故选B.(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0(或令x＝0得a－b<1即a－b<a0，又0<a<1，∴－b>0，即b<0).答案(1)B

(2)D一、课堂小结1.通过指数函数的图象与性质的学习，提升数学直观想象素养、逻辑推理素养与数学抽象素养.2.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.3.指数函数的图象与性质，要注意分a>1与0<a<1两种情况讨论.且不论哪种情况.指数函数都是单调的.二、课堂检测1.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则(

)A.a<0，b<0B.a<0，b>0C.0<a<1，b>1D.0<a<1，0<b<1解析结合指数函数图象的特点可知0<a<1，b>1.答案

C2.当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是(

)答案A3.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________.解析令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).答案

(1，3)4.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.解析原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.答案

{x|x<1}5.比较下列各组值的大小：(1)1.8－0.1，1.8－0.2；(2)1.90.3，0.73.1；(3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1).解(1