（通用版）2023版高考物理大二轮复习与增分策略专题三力与物体的曲线运动第2讲万有引力与航天

PAGEPAGE17第2讲万有引力与航天1.在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供.其根本关系式为Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r＝m(2πf)2r.在天体外表，忽略自转的情况下有Geq\f(Mm,R2)＝mg.2.卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，那么r越大，v越小.(2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，那么r越大，ω越小.(3)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，那么r越大，T越大.3.卫星变轨(1)由低轨变高轨，需增大速度，稳定在高轨道上时速度比在低轨道小.(2)由高轨变低轨，需减小速度，稳定在低轨道上时速度比在高轨道大.4.宇宙速度(1)第一宇宙速度：推导过程为：由mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)＝eq\f(GMm,R2)得：v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s.第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度.(2)第二宇宙速度：v2＝11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.(3)第三宇宙速度：v3＝16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.1.分析天体运动类问题的一条主线就是F万＝F向，抓住黄金代换公式GM＝gR2.2.确定天体外表重力加速度的方法有：(1)测重力法；(2)单摆法；(3)平抛(或竖直上抛)物体法；(4)近地卫星环绕法.解题方略1.利用天体外表的重力加速度g和天体半径R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq\f(gR2,G)，天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2.通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.(1)由万有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；(2)假设天体半径R，那么天体的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；(3)假设天体的卫星在天体外表附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，那么天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可见，只要测出卫星环绕天体外表运动的周期T，就可估算出中心天体的密度.例1设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看做质量分布均匀的球体，半径为R.宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1＝F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝eq\f(F0,2).假设第三次在赤道平面内深度为eq\f(R,2)的隧道底部，示数为F3；第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4.均匀球壳对壳内物体的引力为零，那么以下判断正确的选项是()A.F3＝eq\f(F0,4)F4＝eq\f(F0,4) B.F3＝eq\f(F0,4)F4＝0C.F3＝eq\f(15F0,4)F4＝0 D.F3＝4F0F4＝eq\f(F0,4)答案B预测1过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb〞的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕，“51pegb〞绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq\f(1,20)，该中心恒星与太阳的质量比约为()A.eq\f(1,10)B.1C.5D.10答案B解析研究行星绕某一恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式为：eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，M＝eq\f(4π2r3,GT2)“51pegb〞绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq\f(1,20)，所以该中心恒星与太阳的质量比约为eq\f(\f(1,20)3,\f(4,365)2)≈1.预测2到目前为止，火星是除了地球以外人类了解最多的行星，已经有超过30枚探测器到达过火星，并发回了大量数据.如果万有引力常量为G，根据以下测量数据，能够得出火星密度的是()A.发射一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期TB.测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径rC.发射一颗贴近火星外表绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的速度vD.发射一颗贴近火星外表绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的角速度ω答案D解析根据Geq\f(Mm,r2)＝mr(eq\f(2π,T))2可以得出火星的质量，但火星的半径未知，无法求出密度.故A错误；测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期和轨道半径，根据万有引力提供向心力，可以求出太阳的质量，由于火星是环绕天体，不能求出其质量，所以无法求出密度.故B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得M＝eq\f(v2r,G)，密度ρ＝eq\f(\f(v2r,G),\f(4,3)πr3)＝eq\f(3v2,4πGr2)，由于火星的半径未知，无法求出密度.故C错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝mrω2得，M＝eq\f(r3ω2,G)，那么密度ρ＝eq\f(\f(r3ω2,G),\f(4,3)πr3)＝eq\f(3ω2,4πG)，可以求出火星的密度.故D正确.例22022年2月1日15点29分，我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五颗新一代北斗导航卫星.该卫星质量为m，轨道离地面的高度约为地球半径R的3倍.地球外表的重力加速度为g，忽略地球自转的影响.那么()A.卫星的绕行速率大于7.9km/sB.卫星的绕行周期约为8πeq\r(\f(2R,g))C.卫星所在处的重力加速度大小约为eq\f(g,4)D.卫星的动能大小约为eq\f(mgR,8)答案D解析7.9km/s是第一宇宙速度，是卫星最大的环绕速度，所以该卫星的速度小于7.9km/s.故A错误；在地球外表质量为m0的物体，有Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，所以有GM＝gR2.用M表示地球的质量，m表示卫星的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律得Geq\f(Mm,4R2)＝meq\f(4π2,T2)·4R＝mg′＝meq\f(v2,4R)解得卫星的绕行周期约为T＝16πeq\r(\f(R,g))，卫星所在处的重力加速度大小约为g′＝eq\f(g,16)卫星的动能大小约为Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(mgR,8).故B、C错误，D正确.预测3(2022·全国乙卷·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小，假设仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，那么地球自转周期的最小值约为()A.1hB.4hC.8hD.16h答案B解析地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，那么卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，那么卫星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如下图.卫星的轨道半径为r＝eq\f(R,sin30°)＝2R由eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))得eq\f(6.6R3,242)＝eq\f(2R3,T\o\al(2,2)).解得T2≈4h.预测4(2022·四川理综·3)国务院批复，自2022年起将4月24日设立为“中国航天日〞.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，那么a1、a2、a3的大小关系为()A.a2＞a1＞a3 B.a3＞a2＞a1C.a3＞a1＞a2 D.a1＞a2＞a3答案D解析由于东方红二号卫星是同步卫星，那么其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，那么a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，Geq\f(Mm,r2)＝ma，由题目中数据可以得出，r1<r2，那么a2<a1；综合以上分析有，a1>a2>a3，选项D正确.例3近年来，火星探索方案不断推进.如图1所示，载人飞行器从地面发射升空，经过一系列的加速和变轨，在到达“近火星点〞Q时，需要及时制动，使其成为火星的卫星.之后，又在绕火星轨道上的“近火星点〞Q经过屡次制动，进入绕火星的圆形工作轨道Ⅰ，最后制动，实现飞行器的软着陆，到达火星外表.以下说法正确的选项是()图1A.飞行器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上均绕火星运行，所以具有相同的机械能B.由于轨道Ⅰ与轨道Ⅱ都是绕火星运行，因此飞行器在两轨道上运行具有相同的周期C.飞行器在轨道Ⅲ上从P到Q的过程中火星对飞行器的万有引力做正功D.飞行器经过轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q时速率相同解析飞行器由轨道Ⅱ在Q处必须制动才能进入轨道Ⅰ，所以飞行器在轨道Ⅰ上的机械能小于轨道Ⅱ上的机械能，故A错误.根据开普勒第三定律知，轨道Ⅱ的半长轴比轨道Ⅰ的半径大，那么飞行器在轨道Ⅰ上运行的周期小，故B错误.飞行器在轨道Ⅲ上从P到Q的过程中，火星对飞行器的万有引力与速度方向的夹角小于90°，那么万有引力做正功，故C正确.根据变轨原理知，飞行器经过轨道Ⅱ上的Q时的速率大，故D错误.答案C预测52022年5月，天文爱好者迎来“火星冲日〞的美丽天象.“火星冲日〞是指火星和太阳正好分处于地球的两侧，三者几乎成一直线.假设火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，地球绕太阳的公转周期为T，火星相邻两次冲日的时间间隔为t0，那么火星绕太阳运行的周期为()A.eq\f(t\o\al(2,0),T)B.eq\f(T2,t0)C.eq\f(t0－T,t0)TD.eq\f(t0,t0－T)T答案D解析“火星冲日〞是指火星和太阳正好分处于地球的两侧，三者几乎成一直线，t0时间内地球和火星转过的角度之差等于2π，根据(eq\f(2π,T)－eq\f(2π,T火))t0＝2π得，T火＝eq\f(t0,t0－T)T.预测6，某卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上绕地球运行的周期为T，卫星运动方向与地球自转方向相同，赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方.假设某时刻，该卫星如图2所示，在A点变轨进入椭圆轨道，近地点B到地心距离为r2.设卫星由A到B运动的时间为t，地球自转周期为T0，不计空气阻力.那么()图2A.T＝eq\f(3,8)T0B.t＝eq\f(r1＋r2T,2r1)eq\r(\f(r1＋r2,2r1))C.卫星在图中椭圆轨道由A到B时，机械能增大D.卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中，机械能不变答案A解析赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方，知三天内卫星转了8圈，那么有3T0＝8T，解得T＝eq\f(3,8)T0，故A正确；根据开普勒第三定律知，eq\f(\f(r1＋r2,2)3,2t2)＝eq\f(r\o\al(3,1),T2)，解得t＝eq\f(Tr1＋r2,4r1)eq\r(\f(r1＋r2,2r1))，故B错误；卫星在图中椭圆轨道由A到B时，只有万有引力做功，机械能守恒，故C错误；卫星由圆轨道进入椭圆轨道，需减速，那么机械能减小，故D错误.解题方略双星系统模型有以下特点：(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2.(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.例42022年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图〞.双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的轨道半径)，那么()A.b星的周期为eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB.a星的线速度大小为eq\f(πl＋Δr,T)C.a、b两颗星的半径之比为eq\f(l,l－Δr)D.a、b两颗星的质量之比为eq\f(l＋Δr,l－Δr)解析双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，那么周期相等，所以b星的周期为T，故A错误；根据题意可知，ra＋rb＝l，ra－rb＝Δr，解得：ra＝eq\f(l＋Δr,2)，rb＝eq\f(l－Δr,2)，那么a星的线速度大小va＝eq\f(2πra,T)＝eq\f(πl＋Δr,T)，eq\f(ra,rb)＝eq\f(l＋Δr,l－Δr)，故B正确，C错误；双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，那么有：maω2ra＝mbω2rb，解得：eq\f(ma,mb)＝eq\f(rb,ra)＝eq\f(l－Δr,l＋Δr)，故D错误.答案B预测7宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图3所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，以下说法正确的选项是()图3A.每颗星做圆周运动的角速度为eq\r(3,\f(Gm,L3))B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C.假设距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，那么周期变为原来的2倍D.假设距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，那么线速度变为原来的4倍答案C解析任意两星间的万有引力F＝Geq\f(m2,L2)，对任一星受力分析，如下图.由图中几何关系和牛顿第二定律可得：eq\r(3)F＝ma＝mω2eq\f(L,\r(3))，联立可得：ω＝eq\r(\f(3Gm,L3))，a＝ω2eq\f(L,\r(3))＝eq\f(\r(3)Gm,L2)，选项A、B错误；由周期公式可得：T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(L3,3Gm))，当L和m都变为原来的2倍，那么周期T′＝2T，选项C正确；由速度公式可得：v＝ωeq\f(L,\r(3))＝eq\r(\f(Gm,L))，当L和m都变为原来的2倍，那么线速度v′＝v，选项D错误.预测8(多项选择)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图4所示，四颗质量均为m的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗星体都在同一平面内绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，引力常量为G，那么()图4A.每颗星做圆周运动的线速度大小为eq\r(1＋\f(\r(2),4)\f(Gm,a))B.每颗星做圆周运动的角速度大小为eq\r(\f(Gm,\r(2)a3))C.每颗星做圆周运动的周期为2πeq\r(\f(\r(2)a3,Gm))D.每颗星做圆周运动的加速度与质量m有关答案AD解析由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r＝eq\f(\r(2),2)a，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：Geq\f(m2,\r(2)a2)＋2Geq\f(m2,a2)cos45°＝meq\f(v2,\f(\r(2),2)a)，解得v＝eq\r(1＋\f(\r(2),4)\f(Gm,a))，角速度为ω＝eq\f(v,r)＝eq\r(2＋\f(\r(2),2)\f(Gm,a3))，周期为T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(2a3,4＋\r(2)Gm))，加速度a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(2\r(2)＋1Gm,2a2)，应选项A、D正确，B、C错误.专题强化练1.关于静止在地球外表(两极除外)随地球自转的物体，以下说法正确的选项是()A.物体所受重力等于地球对它的万有引力B.物体的加速度方向可能不指向地球中心C.物体所受合外力等于地球对它的万有引力D.物体在地球外表不同处角速度可能不同答案B解析考虑了地球的自转，万有引力不等于重力，重力是万有引力的一个分力，只有两极重力才严格与万有引力相等，故A错误；物体的加速度方向指向轨道的圆心，而地球上的物体随地球做匀速圆周运动的轨道与地轴垂直，且纬度越高轨道半径越小，只有在赤道上的物体，加速度才指向地心，故B正确；在地球上随地球自转的物体，跟随地球一起做匀速圆周运动，万有引力和支持力的合力等于向心力，万有引力沿轨道半径方向上的分力提供向心力，另一分力是重力，所以物体所受合外力不等于地球对它的万有引力，故C错误；地球外表不同纬度的物体绕同一地轴转动，角速度相等，故D错误.2.(多项选择)2022年4月6日1时38分，我国首颗微重力科学实验卫星——实践十号返回式科学实验卫星，在酒泉卫星发射中心由长征二号丁运载火箭发射升空，进入近百万米预定轨道，开始了为期15天的太空之旅，大约能围绕地球转200圈，如图1所示.实践十号卫星的微重力水平可到达地球外表重力的10－6g，实践十号将在太空中完成19项微重力科学和空间生命科学实验，力争取得重大科学成果.以下关于实践十号卫星的相关描述中正确的有()图1A.实践十号卫星在地球同步轨道上B.实践十号卫星的环绕速度一定小于第一宇宙速度C.在实践十号卫星内进行的19项科学实验都是在完全失重状态下完成的D.实践十号卫星运行中因受微薄空气阻力，需定期点火加速调整轨道答案BD解析实践十号卫星的周期T＝eq\f(15×24,200)h＝1.8h，不是地球同步卫星，所以不在地球同步轨道上，故A错误；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度，那么实践十号卫星的环绕速度一定小于第一宇宙速度，故B正确；根据题意可知，实践十号卫星内进行的19项科学实验都是在微重力情况下做的，此时重力没有全部提供向心力，不是完全失重状态，故C错误；实践十号卫星运行中因受微薄空气阻力，轨道半径将变小，速度变小，所以需定期点火加速调整轨道，故D正确.3.(多项选择)如图2所示为一卫星沿椭圆轨道绕地球运动，其周期为24小时，A、C两点分别为轨道上的远地点和近地点，B为短轴和轨道的交点.那么以下说法正确的选项是()图2A.卫星从A运动到B和从B运动到C的时间相等B.卫星运动轨道上A、C间的距离和地球同步卫星轨道的直径相等C.卫星在A点速度比地球同步卫星的速度大D.卫星在A点的加速度比地球同步卫星的加速度小答案BD解析根据开普勒第二定律知，卫星从A运动到B比从B运动到C的时间长，故A错误；根据开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，该卫星与地球同步卫星的周期相等，那么卫星运动轨道上A、C间的距离和地球同步卫星轨道的直径相等.故B正确；由v＝eq\r(\f(GM,r))，知卫星在该圆轨道上的线速度比地球同步卫星的线速度小，所以卫星在椭圆上A点速度比地球同步卫星的速度小.故C错误；A点到地心的距离大于地球同步卫星轨道的半径，由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，知卫星在A点的加速度比地球同步卫星的加速度小，故D正确.4.(多项选择)假设在宇宙中存在这样三个天体A、B、C，它们在一条直线上，天体A和天体B的高度为某值时，天体A和天体B就会以相同的角速度共同绕天体C运转，且天体A和天体B绕天体C运动的轨道都是圆轨道，如图3所示.那么以下说法正确的选项是()图3A.天体A做圆周运动的加速度大于天体B做圆周运动的加速度B.天体A做圆周运动的线速度小于天体B做圆周运动的线速度C.天体A做圆周运动的向心力大于天体C对它的万有引力D.天体A做圆周运动的向心力等于天体C对它的万有引力答案AC解析由于天体A和天体B绕天体C运动的轨道都是圆轨道，角速度相同，由a＝ω2r，可知天体A做圆周运动的加速度大于天体B做圆周运动的加速度，故A正确；由公式v＝ωr，可知天体A做圆周运动的线速度大于天体B做圆周运动的线速度，故B错误；天体A做圆周运动的向心力是由B、C的万有引力的合力提供，大于天体C对它的万有引力.故C正确，D错误.5.如图4所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点.以下说法中正确的选项是()图4A.卫星在A点的角速度大于在B点的角速度B.卫星在A点的加速度小于在B点的加速度C.卫星由A运动到B过程中动能减小，势能增加D.卫星由A运动到B过程中万有引力做正功，机械能增大答案B解析近地点的速度较大，可知B点线速度大于A点的线速度，根据ω＝eq\f(v,r)知，卫星在A点的角速度小于B点的角速度，故A错误；根据牛顿第二定律得，a＝eq\f(F,m)＝eq\f(GM,r2)，可知卫星在A点的加速度小于在B点的加速度，故B正确；卫星沿椭圆轨道运动，从A到B，万有引力做正功，动能增加，势能减小，机械能守恒，故C、D错误.6.(多项选择)(2022·江苏单科·7)如图5所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.以下关系式正确的有()图5A.TA>TBB.EkA>EkBC.SA＝SBD.eq\f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))答案AD解析由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)＝meq\f(4π2,T2)R和Ek＝eq\f(1,2)mv2可得T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，Ek＝eq\f(GMm,2R)，因RA>RB，那么TA>TB，EkA<EkB，A对，B错；由开普勒定律可知，C错，D对.7.设想我国宇航员随“嫦娥〞号登月飞船贴近月球外表做匀速圆周运动，宇航员测出飞船绕行n圈所用的时间为t.登月后，宇航员利用身边的弹簧测力计测出质量为m的物体重力为G1.引力常量为G，根据以上信息可得到()A.月球的密度 B.飞船的质量C.月球的第一宇宙速度 D.月球的自转周期答案A解析设月球的半径为R，月球的质量为M.宇航员测出飞船绕行n圈所用的时间为t，那么飞船的周期为T＝eq\f(t,n) ①eq\f(GMm,R2)＝mR(eq\f(2π,T))2 ②得到月球的质量M＝eq\f(4π2R3,GT2)月球的密度为ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)＝eq\f(3πn2,Gt2)，故A正确；根据万有引力提供向心力，列出的等式中消去了飞船的质量，所以无法求出飞船的质量，故B错误；月球的半径未知，故不可求出月球的第一宇宙速度，故C错误；根据万有引力提供向心力，不能求月球自转的周期，故D错误.8.为了验证拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力以及地球、众行星与太阳之间的作用力是同一性质的力，同样遵从平方反比定律，牛顿进行了著名的“月地检验〞.月地之间的距离为60R(R为地球半径)，月球围绕地球公转的周期为T，引力常量为G.那么以下说法中正确的选项是()A.物体在月球轨道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的eq\f(1,60)B.由题中信息可以计算出地球的密度为eq\f(3π,GT2)C.物体在月球轨道上绕地球公转的向心加速度是其在地面附近自由下落时的加速度的eq\f(1,3600)D.由题中信息可以计算出月球绕地球公转的线速度为eq\f(2πR,T)答案C解析物体在月球轨道上受到的地球引力F＝Geq\f(mM,60R2)＝eq\f(1,3600)·Geq\f(mM,R2)，故A错误，C正确；根据万有引力提供向心力有Geq\f(mM,60R2)＝m·60R·eq\f(4π2,T2)可得地球质量M＝eq\f(4π260R3,GT2)，根据密度公式可知地球的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(4π260R3,GT2),\f(4,3)πR3)≠eq\f(3π,GT2)，故B错误；据v＝eq\f(2π·60R,T)＝eq\f(120πR,T)，故D错误.9.据新闻报导，“天宫二号〞将于2022年秋季择机发射，其绕地球运行的轨道可近似看成是圆轨道.设每经过时间t，“天宫二号〞通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度.引力常量为G，那么地球的质量是()A.eq\f(l2,Gθ3t)B.eq\f(θ3,Gl2t)C.eq\f(t2,Gθl3)D.eq\f(l3,Gθt2)答案D解析“天宫二号〞通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，所以其轨道半径：r＝eq\f(l,θ)t时间内“天宫二号〞通过的弧长是l，所以线速度：v＝eq\f(l,t)“天宫二号〞做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供，那么：eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，所以M＝eq\f(rv2,G)＝eq\f(l3,Gθt2).10.太空行走又称为出舱活动.狭义的太空行走即指航天员离开载人航天器乘员舱进入太空的出舱活动.如图6所示，假设某宇航员出舱离开飞船后身上的速度计显示其相对地心的速度为v，该航天员从离开舱门到结束太空行走所用时间为t，地球的半径为R，地球外表的重力加速度为g，那么()图6A.航天员在太空行走时可模仿游泳向后划着前进B.该航天员在太空“走〞的路程估计只有几米C.该航天员离地高度为eq\f(gR2,v2)－RD.该航天员的加速度为eq\f(Rv2,t2)答案C解析由于太空没有空气，因此航天员在太空中行走时无法模仿游泳向后划着前进，故A错误；航天员在太空行走的路程是以速度v运动的路程，即为vt，故B错误；由eq\f(GMm,R2)＝mg和eq\f(GMm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)，得h＝eq\f(gR2,v2)－R，故C正确；由eq\f(a,g)＝eq\f(R2,R＋h2)得a＝eq\f(v4,gR2)，故D错误.11.A、B两颗卫星围绕地球做匀速圆周运动，A卫星运行的周期为T1，轨道半径为r1；B卫星运行的周期为T2，且T1>T2.以下说法正确的选项是()A.B卫星的轨道半径为r1(eq\f(T1,T2))B.A卫星的机械能一定大于B卫星的机械能C.A、B卫星在轨道上运行时处于完全失重状态，不受任何力的作用D.某时刻卫星A、B在轨道上相距最近，从该时刻起每经过eq\f(T1T2,T1－T2)时间，卫星A、B再次相距最近答案D解析由开普勒第三定律eq\f(r\o\al(3,1),r\o\al(3,2))＝eq\f(T\o\al(2,1),T\o\al(2,2))，A错误；由于卫星的质量未知，机械能无法比拟，B错误；A、B卫星均受万有引力作用，只是由于万有引力提供向心力，卫星处于完全失重状态，C错误；由eq\f(2π,T2)t－eq\f(2π,T1)t＝2π知经t＝eq\f(T1T2,T1－T2)两卫星再次相距最近，D正确.12.2022年6月18日，“神舟十号〞飞船与“天宫一号〞目标飞行器成功实现自动交会对接.设地球半径为R，地球外表重力加速度为g.对接成功后“神舟十号〞和“天宫一号〞一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，轨道离地球外表高度约为eq\f(1,19)R，运行周期为T，那么()A.对接成功后，“神舟十号〞飞船里的宇航员受到的重力为零B.对接成功后，“神舟十号〞飞船的加速度为gC.对接成功后，“神舟十号〞飞船的线速度为eq\f(20πR,19T)D.地球质量为(eq\f(20,19))3·eq\f(4π2,GT2)R3答案D解析对接成功后，“神舟十号〞飞船里的宇航员受到的重力不为零，故A错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma得，a＝eq\f(GM,r2)，根据Geq\f(Mm,R2)＝mg得，g＝eq\f(GM,R2)，由题意知，r＝eq\f(20,19)R，可知a＝eq\f(361,400)g，故B错误；对接成功后，“神舟十号〞飞船的线速度v＝eq\f(2π·\f(20,19)R,T)＝eq\f(40πR,19T)，故C错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)得，地球的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝(eq\f(20,19))3·eq\f(4π2,GT2)R3，故D正确.13.2022年3月，美国宇航局的“信使〞号水星探测器按方案将陨落在水星外表，工程师找到了一种聪明的方法，能够使其寿命再延长一个月.这个方法就是通过向后释放推进系统中的高压氦气来提升轨道.如图7所示，设释放氦气前，探测器在贴近水星外表的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，释放氦气后探测器进入椭圆轨道Ⅱ上，忽略探测器在椭圆轨道上所受外界阻力.那么以下说法正确的选项是()图7A.探测器在轨