人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第九章第3节　成对数据的统计分析

第3节成对数据的统计分析

睡课程标准要求

1.会作两个相关变量的数据的散点图，能根据最小二乘原理建立经验

回归方程并进行预测，了解样本相关系数的统计含义和残差分析.

2.了解独立性检验的基本思想,2X2列联表的统计意义,能对两个分

类变量进行独立性检验.

①超激材夯实国基

必备知识•课前回顾

朕知识梳理

1.成对数据的统计相关性

(1)变量的相关关系

两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一

个的程度,这种关系称为相关关系.

⑵散点图

每一个序号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由

这些点组成了统计图.我们把这样的统计图叫做散点图.

⑶正相关与负相关

如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈

现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;如果当一个变量的值增

加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,则称这两个变量负相关.

(4)线性相关与曲线相关

一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在二

条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.

一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这

两个变量非线性相关或曲线相关.

⑸样本相关系数

n__n

一W（阳田优司一岳阳y「n石

l~nTH~I~n-n

J.£（%/-%）区⑶厂歹）J（昌*位）（昌*-n歹）

我们称r为变量x和变量y的样本相关系数.样本相关系数r的取值

范围为［T,□.

当r>0时,称成对样本数据正相关,这时一，当其中一个数据的值变小时,

另一个数据的值通常也变小;当其中一个数据的值变大时,另一个数

据的值通常也变大.

当r<0时,称成对样本数据负相关,这时一，当其中一个数据的值变小时,

另一个数据的值通常会变大;当其中一个数据的值变大时,另一个数

据的值通常会变小.

■释疑

样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性木标

的程度：当Ir|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强；引肩

越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱］

2.一元线性回归模型及其应用

（1）一元线性回归模型

我们称式子｛短）匕：/为丫关于x的一元线性回归模型,

其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模

型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间

的随机误差.

(2)一元线性回归模型参数的最小二乘估计

，人71

.£(%j-x)(yry)

b=仁、~~，n

当a,b的取值为《i=i(xr%)时,Q=£达到最小.

八-曰

、a=y-bx

此时.，我们将y=bx+a称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函

数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程

的方法叫做最小二乘法,求得的b,a叫做b,a的最小二乘估计.

⑶残差分析

对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程

得到的y称为预测值,观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差

的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及

判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为残差分析.

■释疑

如果在残差的散点图中,残差比较均匀地分布在横轴两边,说明残差

比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为。方差为。2的随机变

量的观测值.

(4)决定系数R2及其意义

n-2

E(yi_y>)

我们也用决定系数R2=l-早一二来比较两个模型的拟合效果.在R2

区(y「y)

nn*2

表达式中，Z(y「歹)2与经验回归方程无关，残差平方和Z(%-力)与

经验回归方程有关，因此R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合

效果越好;R2越小,表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.

3.分类变量与列联表

(1)我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质,

这类随机变量称为分类变量.

(2)按研究问题的需要,将数据分类统计,并做成表格加以保存.这种

形式的数据统计表称为2义2列联表,关于分类变量X和Y的抽样数据

的2义2列联表如下:

Y

X合计

Y=0Y=1

x=oaba+b

X=1cdc+d

合计a+cb+dn=a+b+c+d

4.独立性检验

(1)独立性检验的概念

利用x2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为x,独立性检

验，读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.

⑵独立性检验的计算公式

2

x---、山。"°。)1---其中n=a+b+c+d).

(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)

(3)独立性检验基于小概率值a的检验规则

当x2》x0时,我们就推断H。不成立，即认为X和Y不独立,该推断犯错

误的概率不超过a;

当X2<x.时,我们没有充分证据推断Ho不成立,可以认为X和Y独立.

（4）x2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

■释疑

（1）独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其

是否有关系的判断.

⑵根据X2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度,若X2越天

则两分类变量有关的把握越大.

度重要结论

1.通常|r|大于0.75时一,认为两个变量有很强的线性相关性.

2.经验回归直线一定过样本中心点（五歹）.

n人

3.可以通过比较残差的平方和S。「了尸来比较两个模型的效果,残

i=l

九-2

£（y；-y）

差平方和越小,拟合效果越好,也可以用R2比较,R2=l-方R2越

春“）2

大,效果越好.

4.应用独立性检验应首先提出零假设:X和Y相互独立.

帚点自藏

1.为调查中学生近视情况,测得某校男生150名中有80名近视,在140

名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，

用下列哪种方法最有说服力（C）

A.回归分析B.均值与方差

C.独立性检验D.概率

解析：“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验

判断.故选C.

2.（2020•全国I卷）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发

芽率y和温度x（单位：C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种

子发芽实验，由实验数据（Xi,yj（i=l,2,…,20）得到如图的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜

作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（D）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析：由散点图可以看此点大致分布在对数型函数的图象附近.

故选D.

3.（多选题）（2021•山东济宁一中期末）给出以下四个说法，其中正确

的是（BD）

A.由样本数据得到经验回归方程）7=匕*+。至少经过点区,“），（X2,y2）,

…，（xn,yn）中的一个

B.在回归分析中，用决定系数R2来比较两个模型拟合效果,R2越大,表

示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

C.在经验回归方程y=-o.5x+0.7中，当解释变量X每增加一个单位时,

响应变量y平均增加0.5个单位

D.若变量y和x之间的样本相关系数为r=-0.9872,则变量y和x之

间的负线性相关很强

解析:经验回归直线y=bx+a经过点(元歹)，不一定经过样本点，故A

不正确;用决定系数R?来比较两个模型的拟合效果,R2越大,表示残差

平方和越小，即模型的拟合效果越好，故B正确;在经验回归方程

y=-Q.5x+0.7中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减

少0.5个单位,故C不正确;若变量y和x之间的样本相关系数为

r=-0.9872,则变量y和x之间的负线性相关很强,故D正确.故选BD.

4.为了判断某高中三年级学生是否选修文科与性别的关系.现随机抽

取50名学生，得到如表所示的2义2列联表.

选修

性别合计

理科文科

男131023

女72027

合计203050

已知P(x841)Q0.05,P(x2>5.024)^0.025.

根据表中数据,经计算得到

2

X-4.844,则认为选修文科与性别有关系出错的可

23X27X20X30

能性为.

解析：x2心4.844>3.841,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基

本原理,应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立,并且这种

判断出错的可能性约为5%.

答案：5%

5.已知变量x和y的统计数据如表所示.

X34567

y2.5344.56

根据上表可得经验回归方程为y=bx-0.25,据此可以预测当x=8

时,y=.

解析：由题中图表可知，元=5,歹=4,因为经验回归方程经过样本的中心

(x,歹)，则4=5b-0.25,得b=0.85,则经验回归方程为y=0.85x4).25,

再将x=8代入方程,得y=6.55.

答案:6.55

美小考点气窠四鬟

关键能力•课堂突破

糜考点一成对数据的统计相关性判断

1.对变量x,y有观测数据(x“yi)(i=l,2,-,10),得散点图如图①,对

变量U.V有观测数据(Ui,Vi)(i=l,2,…，10),得散点图如图②.由这两

个散点图可以判断(C)

r

30

2550

2040

1530

1020

510

°01234567%001234567〃

①②

A.变量x与y正相关,u与v正相关

B.变量x与y正相关,u与v负相关

C.变量x与y负相关,u与v正相关

D.变量x与y负相关,u与v负相关

解析：由散点图可得两组数据均线性相关,且图①的经验回归方程斜

率为负，图②的经验回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y

负相关,u与v正相关.故选C.

2.某商家今年上半年各月的人均销售额（单位:千元）与利润率统计数

据如表所示.

月份123456

人均销售额658347

利润率/%12.610.418.53.08.116.3

根据表中数据，下列说法正确的是（A）

A.利润率与人均销售额成正相关关系

B.利润率与人均销售额成负相关关系

C.利润率与人均销售额成正比例函数关系

D.利润率与人均销售额成反比例函数关系

解析:画出利润率与人均销售额的散点图，如图.由图可知利润率与人

均销售额成正相关关系.故选A.

0人均销售额/千元

3.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关

关系，并求得经验回归方程,分别得到以下四个结论,其中一定不正确

的结论是(AD)

A.y与x负相关且y=2.347x-6.423

B.y与x负相关且y=-3.476x+5.648

C.y与x正相关且y=5.437x+8.493

D.y与x正相关且y=-4.326x-4.578

解析:y与x负相关且y=2.347x-6.423,A结论错误，由经验回归方程

知,此两变量的关系是正相关；

y与x负相关且y=-3.476x+5.648,B结论正确,经验回归方程符合负

相关的特征；

y与x正相关且y=5.437x+8.493,C结论正确，经验回归方程符合正相

关的特征；

y与x正相关且y=-4.326x-4.578,D结论错误,经验回归方程符合负

相关的特征.故选AD.

4.变量X与Y相应的一组数据为

(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的

一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,D.n表示变

量Y与X之间的线性相关系数,n表示变量V与U之间的线性相关系

数，则(C)

A.r2<ri<0B.0<r2<ri

C.r2<0<riD.r2=ri

解析:对于变量Y与X而言,Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即

n>0;对于变量V与U而言,V随U的增大而减小，故V与U负相关，即

.故选C.

一题后悟通:

判断线性相关关系中正相关与负相关的三种方法

（1）散点图法:点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关;点的分

布从左上角到右下角，两个变量负相关.

（2）相关系数法:当|r|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相

关指数心越大,相关性越强.若r>0,则正相关;若r<0,则负相关.

（3）经验回归方程法：当b>0时，正相关；当匕<0时,负相关.

席考点二独立性检验

口角度-独立性检验的简单应用

CSH）（2020•全国HI卷）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每

天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表

（单位:天）：

锻炼人次(200,(400,

[0,200]

空气质量等级400]600]

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用

该组区间的中点值为代表)；

⑶若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某

天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数

据,完成下面的2X2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认

为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次W400人次＞400

空气质量好

空气质量不好

2

附.y2-n{ad-bc）______

（a+匕）（c+d）（a+c）（匕+d）'

P（Y》k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)由所给数据,得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的

估计值如表:

空气质量等级1234

概率的估计值0.430.270.210.09

(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

高X(100X20+300X35+500X45)=350.

(3)根据所给数据,可得2X2列联表:

人次W400人次〉400

空气质量好3337

空气质量不好228

2

根据列联表得G5.820.

55x45x70x30

由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次

与该市当天的空气质量有关.

"解题策略1

1.在2X2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad-bc^0.

Iad-bc|越小,说明两个变量之间关系越弱；|ad-bc|越大,说明两个变

量之间关系越强.

2.解决独立性检验的应用问题,一定要按照独立性检验的步骤得出结

论.独立性检验的一般步骤：

(1)根据样本数据制成2X2列联表.

2

2

⑵根据公式X三(a+匕，「)(c+匕d)(a+c)(b+d小)计算X的值.

(3)比较x2与临界值的大小关系，作统计推断.

口角度二独立性检验的综合应用

(SH)(2021•河南洛阳统考)某共享单车经营企业欲向甲市投放单

车,为制定适宜的经营策略,该企业首先在已投放单车的乙市进行单

车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶

段.在随机问卷阶段,A,B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并

及时收回；在整理分析阶段,两个调查小组从所获取的有效问卷中,针

对15至45岁的人群,按比例随机抽取了300份,进行数据统计,具体

情况如表所示.

A组统计结果B组统计结果

组别

经常使偶尔使经常使偶尔使

年龄

用单车用单车用单车用单车

[15,25)27人13人40人20人

[25,35)23人17人35人25人

[35,45]20人20人35人25人

⑴先用分层随机抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”

抽出一个容量为60人的样本,再用分层随机抽样的方法将“年龄达到

35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”

中去，

①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；

②为听取对发展共享单车的建议,调查小组专门组织所抽取的“年龄

达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠

送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈

会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数

X的分布列和数学期望.

（2）从统计数据可直观得出“经常使用共享单车与年龄达到m岁有关”

的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时一，为使犯错误的概

率尽可能小,年龄m应取25还是35?请通过比较x2的大小加以说明.

2

2_n(ad-bc)

参考公式:其中n=a+b+c+d.

(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)'

解：（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数为

100X^=20,再将这20人用分层随机抽样法按“是否经常使用单车”

进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为

20X—45=9.

100

②A组这4人中得到礼品的人数X的所有可能取值为0,1,2,3,相应概

率为P(X=0)=g噎P(X=D=等/P(X=2)=甯*P(X=3)得小

故其分布列为

X0123

51051

P

42211421

所以E(X)=OX?1X挣2义33义导:

(2)按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理,得到如表所示的列

联表.

使用单车

是否达到35岁合计

经常偶尔

未达到12575200

达到5545100

合计180120300

/\2Q

、nln-1*4日2300x(125x45-75x55)300X150025

当in=35时,口J求得;---------------=-------------=—.

711200X100X180X120200x100x180x12016

按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理,得到如表所示的列联表.

使用单车

是否达到25岁合计

经常偶尔

未达到6733100

达到11387200

合计180120300

当m=25时，可求得

行300X(67X87-33X113)2=300X2］。。？二竺,

人“100x200x180x120100x200x180x12016

所以4＞好.

欲使犯错误的概率尽可能小，需取m=25.

［针对训练］

(2021•山东青岛高三二模)现对某市工薪阶层对于“楼市限购令”的

态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入(单位:百元)的频数分

布及对“楼市限购令”赞成人数如表所示.

月收入[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]

频数510151055

赞成

4812521

人数

(1)根据以上统计数据完成2X2列联表,并问能否有97.5%的把握认

为“某市工薪阶层对于'楼市限购令’的态度与月收入以6500元为

分界点有关”？

月收入

态度不低于低于合计

65百元65百元

赞成

不赞成

合计

(2)若对月收入在［55,65)和［65,75)的被调查人中各随机选取两人进

行追踪调查,求在选中的4人中有人不赞成的条件下，赞成“楼市限购

令”的人数&的分布列及数学期望.

2

附：Lj)(±X3"a+b+c+d.

a0.0500.0250.0100.0050.001

Xa3.8415.0246.6357.87910.828

解：⑴由题意列联表如表：

月收入

态度不低于低于合计

65百元65百元

赞成32932

不赞成71118

合计104050

2

x2=50X(3X11-7学9)--6.27>5,024,

32X18X10X40

所以有97.5%的把握认为“某市工薪阶层对于'楼市限购令'的态度

与月收入以6500元为分界点有关”.

(2)&的所有可能取值为0,1,2,3,

P(€=0)=C5C3_30_3

C^CFCICI_44O-44,

储储鬣+髭禺禺_

P(€=l)=-135_27

CioCs-C5C244088

篇鬣犯升篇

P(1=2)=+CKKC£190_19

C2QC2_C2C2碗—北

髭禺+解禺第一

P(g=3)=685_17

Cl0Cj-ClCl-440-88

所以g的分布列为

€0123

3271917

P

44884488

E（＞OX?1X念2法+3义3

慢考点三一元线性回归模型及残差分析

口角度-线性回归分析

（2021•云南昆明高三三模）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现

行标准下农村贫困人口全部脱贫,消除了绝对贫困.某村40户贫困家

庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫,该工作组为了了解脱

贫家庭的收入、消费支出、食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用

简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年

收入X,消费支出y,食品支出z（单位:千元），整理数据

(X"yD(i=l,2,•••,8)得到下面的折线图，由数据(y,,Zi)(i=l,2,•••,8)

的经验回归方程丫="+。（精确到0.01）,并解释b的现实生活意义;

（2）恩格尔系数,是食品支出额占家庭消费支出总额的比重.通常一个

家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越大；

一个家庭收入越多，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越

小,所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标.根据联合国粮农组

织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%〜59%为温饱,40%〜

50%为小康,30%〜40%为富裕，低于30%为最富裕.根据上述样本数据,

请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数.

8888

参考数据：EXi=360,£yi=288,Zx=13310,Sxf=16714.附：回归

i=li=li=liiy=il"

方程y^x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

八n

ZXiyt-nx・y

a=y-bx.

88

解：⑴由题,可知三=0^=吧=45,歹==*-288=36,

8888

八8

匕匚I、I,香产沙厂8%•9310-8x45x36175„„八门

------=-13---------=——仁0.681^0.68,

5避-8元216714-8X452257

1=11

故（1二歹一匕元、36-0.681X4545.36.

所以y关于x的经验回归方程为y=0.68x+5.36.

匕的现实意义为年收入每增加1千元，估计消费支出增加0.68千元.

⑵由题意可知,8户脱贫家庭的恩格尔系数如表所示.

家庭12345678

⑴

恩格尔

33.3%33.3%33.3%37.1%32.4%27.5%28.6%27.3%

系数

所以样本中达到最富裕的家庭有3个，

估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数为［X40=15（户）.

O

解题策略I

1.经验回归方程中系数的两种求法

（1）公式法:利用公式,求出回归系数b,a.

⑵待定系数法:利用回归直线过样本点中心（元y）求系数.

2.回归分析的两种策略

（1）利用经验回归方程进行预测：把经验回归方程看作一次函数，求函

数值.

（2）利用经验回归直线判断正、负相关:决定正相关还是负相关的是回

归系数匕.

幅度二非线性回归分析

CSO（2021•安徽宿州高三三模）某电影院统计了某部电影上映高

峰后连续10场的观众人数,其中每场观众人数y（单位:百人）与场次x

的统计数据如表：

X12345678910

y2.7721.921.361.121.090.740.680.620.55

通过散点图可以发现y与x之间具有相关性,且满足关系式y=aebx,设

w=lny.

⑴利用表格中的前8组数据求样本相关系数r,并判断是否有99%的

把握认为x与3之间具有线性相关关系（当样本相关系数满足

|r|>0.789时，则有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系）;

⑵利用x与3的相关性及表格中的前8组数据求出y与x之间的经

验回归方程；（结果保留两位小数）

⑶如果每场观众人数不足0.7（单位:百人），称为“非满场”.从表格

中的10组数据中随机选出8组，设&表示“非满场”的数据组数，求

€的分布列及数学期望.

附:闻心6.48,76^2.45,71770^1.30,el*Q3.22.前8组数据的相

8888

关量及公式：EXi=36,Eyi=ll.68,E3产2.18,E(x；-x)2=42,

8i=li=li=li=l

E88

(y-y)2^3.61,E(3［石)2^1.7O,E(X-X)(y-y)=-11.83,

I•-

8i=li=l

z

（Xi-X）（Wj-co）仁-8.35,对于样本（V"Ui）（i=l,2,•••,n）,其经验回

-

-n

E（Vf-v）（Uj-u）

归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为———=

E（vv）2

i=lr

n__n

,a-u-bv,样本相关系数

nvnv22

忑i-J2切-访22（uru）

8

E(%j-x)(co厂7J)

解：（1）因为"号・•99,

82

E(3「初

i=i

所以|r|-0.99>0.789,

所以有99%的把握认为x与3之间具有线性相关关系.

（2）因为y=aebx,所以Iny=lna+bx,

八8

b:*§:-.=*-620,

L(xi-x)

i=i

a=7ji)-bx^l.17,

所以3=-0.20x+l.17=lny,

所以y=ea2°x”"=3.22e-0-20x.

⑶&=1,2,3,

P(g=1)=星U一i

c?015,

德第一

P(1=2)=7

C5015'

P(g=3)=c阳一7

C?o15'

&的分布列为

€123

177

P

151515

所以E()=1X^+2X^+3X^=2.4.

解题策略!

求非线性经验回归方程的步骤

⑴确定变量,作出散点图.

⑵根据散点图,选择恰当的拟合函数.

(3)变量置换,通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题,

并求出经验回归方程.

(4)分析拟合效果,通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果.

(5)根据相应的变换,写出非线性经验回归方程.

口角度三残差分析

（SOBMI指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值,是

国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.某中小学

生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名,

其身高和体重的数据如表所示：

编号12345678

身高x/cm166167160173178169158173

体重y/kg5758536166575066

（1）根据最小二乘法的思想与公式可求得经验回归方程为y=0.8x-

75.9,请利用已经求得的经验回归方程,完善残差表,并求解释变量

（身高）对于响应变量（体重）变化的贡献率R?;（保留两位有效数字）

编号12345678

身高x/cm166167160173178169158173

体重y/kg5758536166575066

残差e/kg0.10.30.9-1.5-0.5

（2）通过残差分析,对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在

样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现,该组数

据的体重应该为58kg.请重新根据最小二乘法的思想与公式,求出男

体育特长生的身高与体重的经验回归方程.

n-nn

公七八22（'「九）2工，（工「对）歹）

参考公式:R2=l-号----7/士力------

n9

E（yry）s（Xi-x）Exj-nx

1=11=1i=l1

a=y-bx,ei=yrbxra.

88

参考数据：EXiyi=78880,X々2=226

i=li=l

82

112,x=168,y=58.5,Z(yy)=226.

i=lr

解：(1)由题意知经验回归方程为y=0.8x-75.9,

计算66=57-0.8X169+75.9=-2.3,

e7=50-0.8X158+75.9=-0.5,

e8=66-0.8X173+75.9=3.5.

完善残差表如下，

编号12345678

身高x/cm166167160173178169158173

体重y/kg5758536166575066

残差e/kg0.10.30.9-1.5-0.5-2.3-0.53.5

计算

2工⑶厂外)1,.

R2=l-------=1--(0.01+0.09+0.81+2.25+0.25+5.29+0.25+12.25)

i(yry)2226

1=1

^l-o.09=0.91,所以解释变量(身高)对于响应变量(体重)变化的贡

献率R2^0.91.

(2)通过残差分析知,残差的最大(绝对值)的那组数据为第8组,且

88

yk58,由.Ex〉尸78880,计算修订后.EXiyJ=78880-173X66+173X

i=li=l

81

58=77496,又£工产=226112,运168,修订后歹'=-X(8X58.5-66+

i=l8

八Tl人人

58)=57.5,所以"X'=77496-8x168x5,6=0.575a=y'一底=

y.2_2226112-8X1682，

L人Y>1nIXV.

i=l

57.5-0.675X168=-55.9,所以x关于y的经验回归方程是y=0.675x-

55.9.

-懈题策略I

决定系数V对回归模型的检验

n-2

(1)我们可以用决定系数R2=l-号——来刻画回归的效果.

区仇方)

(2)在线性回归模型中,R2表示解释变量对于响应变量变化的贡献

率,R2越接近于1,表示回归的效果越好.

［针对训练］

某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售

量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x(单位:万元)和销售量

y(单位:万台)的数据如表所示.

年份2011201220132014201520162017

广告费

1246111319

支出X

销售量y1.93.24.04.45.25.35.4

(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系,求出y关于x的经验回归

方程；

(2)若用y=c+d«模型拟合y与x的关系,可得回归方程y=l.63+

0.99底,经计算线性回归模型和该模型的R?分别约为0.75和0.88,

请用R2说明选择哪个回归模型更好；

⑶已知利润z与x,y的关系为z=200y-x.根据⑵的结果回答下列

问题：

①广告费x=20时,销售量及利润的预报值是多少？

②广告费X为何值时,利润的预报值最大？(精确到0.01)

参考公式:经验回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别

n__n

E(%>-%)(y>-y)Ex^yi-nxy

=i_________________—t=i_____________

为bn~n~a=y-bx.参考数据：巡Q2.24.

£(Xj-x)Ex?-nx

i=li=l

解：(1)因为x=8,y=4.2,

77

身疗279.4,界=7。8,

n

色产、厂nxy279.4-7X8X4.2

所以八n=0.17,

9708-7X82

Lxj-nx

i=il

a=y-bx=4.2-0.17X8=2.84,

所以y关于x的经验回归方程为y=0.17x+2.84.

⑵因为0.75<0.88且R2越大,反映残差平方和越小,模型的拟合效果

越好,所以选用y=l.63+0.99a更好.

⑶由⑵知，

①当x=20时,

销售量的预报值y=L63+0.99720^6.07(万台)，

利润的预报值z=200X(1.63+0.99720)-20^1193.04(万元).

②z=200(l.63+0.99so-x=-x+198V%+326=-(V%)2+198V%+326=

-(V%-99)2+10127,

所以当6=99,即x=9801时,利润的预报值最大,故广告费为9801

万元时，利润的预报值最大.

啜考点四成对数据分析中的探究创新题

CW(2021•福建南平高三二模)近年来,我国加大5G基站的建设力

度,基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村.

(1)现抽样调查某市所辖的A地和B地5G基站的覆盖情况,各取100

个村,调查情况如表.

已覆盖未覆盖

A地2080

B地2575

视样本的频率为总体的概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取

2个村,求这4个村中A地5G已覆盖的村比B地多的概率；

⑵该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如表，

X123456789101112

111223

y283340428547701905

151423721109601381

探究表中的数据发现，因年初受新冠肺炎疫情影响,5G基站建设进度

比较慢,随着疫情得到有效控制,5G基站建设进度越来越快,根据散点

图分析，已建成的5G基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势,采用非

线性回归模型y=a^拟合比较合理，请结合参考数据,求5G基站数y

关于月份x的经验回归方程.(6的值精确到0.01)

附：设u=lny,贝lja=lny£(y=l,2,12),y^l299.17,u^6.88,

121212

£(x-%)=143,E(Xi-x)・(y］歹…37238,E(x-x)(u-u)^32.43,

i=li=li=l

对于样本(x“yi)(i=l,2,…,n)的经验回归方程y=bx+a有

人nA

(xj-x)(yj-y)八__

b=l^n--------,a^y-bx.

£(xx)

i=ir

［思路导引］(1)利用二项分布、彼此互斥和相互独立事件的含义及概

率计算公式，即可解得；

(2)利用换元,设u=lny,则u=lna+bx,可得u与x是线性相关关系,

再根据最小二乘法求经验回归方程.

解：(1)用样本估计总体,抽到A地5G覆盖的村的概率为也抽到B地5G

覆盖的村的概率为"设A地抽到的2个村中5G基站覆盖的村的个数

为X,则X服从二项分布B(21),

P(X=i)=c£g)ig)匕i=o,1,2.

设B地抽到的2个村中5G基站覆盖的村的个数为Y,则Y服从二项分

布B&,；),

4

P(Y=i)=©(”沪,i=0,1,2.

从A地和B地各随机抽取2个村,这4个村中A地5G覆盖的村比B地

5G覆盖的村多的概率为

P=P(X=l)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=l)=C,g)(|)(^)2+(1)2

・(!)2+就禺(6・(|)=为

(2)由指数模型y=aebx,设u=lny,则u=lna+bx,则u与x是线性相关

关系.

因为底=1+2+：；“+12=6.5,正心6.88,

1212

£(x-%)(Ui-u)^32.43,E(x-%)2=143,

i=li=l

入n

匚口、1,区(阳㈤(U厂访32.43noo

所以budfj-------弋----^0.23,

E(xx)2©

i=lr

Ina^u-bx^6.88-0.23X6.5^5.39,

539+023x

即〃=5.39+0.23x,gpy=e--.

［反思提升］本题考查二项分布、互斥事件、相互独立事件及回归分

析等基础知识,求解时应注意概率模型、回归分析模型的建立与应用，

本例可以对数学建模、数据分析、逻辑推理与数学运算的数学学科素

养的提升有极大的帮助.

［针对训练］

(2021•四川攀枝花高三二模)2020年3月，工业和信息化部发布《工

业和信息化部关于推动5G加快发展的通知》鼓励基础电信企业通过

套餐升级优惠、信用购机等举措，促进5G终端消费，加快用户向5G迁

移.为了落实通知要求,掌握用户升级迁移情况及电信企业服务措施，

某市调研部门随机选取了甲、乙两个电信企业的用户共165户作为样

本进行满意度调查,并针对企业服务措施设置了达标分数线,按照不

低于80分的为满意，低于80分的为不满意，调研人员制作了如表所示

的2X2列联表.已知从样本的165户中随机抽取1户为满意的概率是

9

11

满意度

用户合计

I两思不满意

甲企业用户75

乙企业用户20

合计

(1)将2X2列联表补充完整,并判断能否有95%的把握认为“满意度

与电信企业服务措施有关系”？

⑵视样本的频率为概率,在该市乙企业的所有用户中任取3户，记取

出的3户中不满意的户数为自,求&的分布列和数学期望.

临界值表仅供参考:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2

(参考公式：X2-.._—其中n=a+b+c+d)

(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)

解：⑴设样本中乙企业用户中满意的有x户，结合列联表知P=Z爰=,

16511

解得x=60,所以2义2列联表为

满意度

用户合计