《近世代数》模拟试题1与答案

近世代数试题第近世代数试题第#页共7页88近世代数模拟试题一.单项选择题（每题5分，共25分）在整数加群（Z,+）屮，下列那个是单位元（ ）.0 B.1 C.-1D.1A,n是整数下列说法不正确的是（ ）.A.G只包含一个元g,乘法是gg=goG对这个乘法来说作成一个群B.G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群；C.G是全体有理数的集合， G对普通加法来说作成一个群；D.G是全体自然数的集合， G对普通加法来说作成一个群.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）.A.反身性 B.对称性C.传递性D.封闭性对整数加群Z来说，下列不正确的是（ ）.Z没有生成元.1是其生成元.-1是其生成元.Z是无限循环群.下列叙述正确的是（ ）。群G是指一个集合.环R是指一个集合.群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在•环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，

二.计算题(每题10分，共30分)设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成,cd,■”1百的群，试求屮G屮下列各个兀素G=,cd,I0])的阶・试求出三次对称群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(13》)的所有子群・若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是,请给予证明・三•证明题算1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分）.1.证明：在群中只有单位元满足方程

2・设G是正有理数乘群，G是整数加群•证明:cp:彳J㈠na是群G到G的一个满同态，其中％b是整数，而(ab,2)=1.3•设S是环R的一个子环•证明：如果R与S都有单位元,但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案20082008年］］月•、单项选择题（每题•、单项选择题（每题5分，共25分）1.A2.D3.D4.A5.C二.计算题（每题10分，共1.A2.D3.D4.A5.C二.计算题（每题10分，共30分）1.解：易知c的阶无限,(3分)但是d的阶为但是d的阶为2.（3分）的阶有限，是2.2.解：S3的以下六个子集cd的阶有限，是2.2.解：S3的以下六个子集cd(2分)（2分）Hi=(1)^>H2 (1),(12),HH4={(1),Q3)},H5=<(1),(123),(132Hi=(1)^>H2 (1),(12),HH4={(1),Q3)},H5=<(1),(123),(132》,H6=S3（7分）3.对置换乘法都是封闭的，因此都是S3的子集3.对置换乘法都是封闭的，因此都是S3的子集.解：e是R的单位元。（3分）事实上，任取a,beR,则因事实上，任取a,beR,则因e是R的左单位元，故(he—a+e)b=afeb)—ab+eb=ab—ab+b=b,即ae-a+e也是R的左单位元。故有题设得ae—a+e=e,.Iae=a.三、证明题（每小题三、证明题（每小题15分共45分）1.证明：设e是G的单位元，则e显然满足所说的方程另外，设aeG且/=&,则有（3分）1.证明：设e是G的单位元，则e显然满足所说的方程另外，设aeG且/=&,则有（3分）a^a2=aN(5分)即只有e满足方程 x2=x・（2分）2.证明:卩显然是G到G的一个满射（3分）又由于当(ab,2)=l,(cd,2)=1时有(abed,2)=1cp么・上.厶・d_)二gwac=3呼・b为(2“.).a cbd•一丿畀mac（4分）（6分）故①是群G到G的一个同态满射。（2分）3证明：分别用e和e'表示R与S的单位元，且eTOC\o"1-5"\h\z于是e木是R的单位元。 （3分）因此，存在0為己R,使aea或=a （5分）如果a