2023版高考数学大一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.4复数教师用书文北师大版

PAGEPAGE142022版高考数学大一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.4复数教师用书文北师大版1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部．(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法那么：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法那么进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)1．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，那么a等于()A．－3B．－2C．2D．3答案A解析∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，应选A.2．(2022·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i答案C解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，那么有z－1＝1－i，所以z＝2－i.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i答案C解析∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，那么点C对应的复数为z＝2＋4i.4．(教材改编)在复平面内，向量eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up6(→))对应的复数是－1－3i，那么向量eq\o(CA,\s\up6(→))对应的复数是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i答案D解析eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.5．i2011＋i2012＋i2013＋i2014＋i2015＋i2016＋i2017＝________.答案1解析原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.题型一复数的概念例1(1)(2022·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A．3，－2 B．3,2C．3，－3 D．－1,4(2)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(3)(2022·天津)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，那么z的实部为________．答案(1)A(2)A(3)1解析(1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2，应选A.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m＋1＝3，,m2＋m－4＝－2，))解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1〞是“z1＝z2〞的充分不必要条件．(3)∵(1＋i)z＝2，∴z＝eq\f(2,1＋i)＝1－i，∴其实部为1.引申探究1．将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a，b的值．解(1＋i)(2－3i)＝2＋3－i＝5－i＝a＋bi，所以a＝5，b＝－1.2．将本例(3)中的条件“(1＋i)z＝2〞改为“(1＋i)3z＝2〞，求z的实部．解z＝eq\f(2,1＋i3)＝eq\f(2,－2＋2i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴z的实部为－eq\f(1,2).思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(1)a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，假设eq\f(z1,z2)为纯虚数，那么复数eq\f(z1,z2)的虚部为()A．1B．iC.eq\f(2,5)D．0(2)如果复数eq\f(m2＋i,1－mi)是实数，那么实数m等于()A．－1B．1C．－eq\r(2)D.eq\r(2)答案(1)A(2)A解析(1)由eq\f(z1,z2)＝eq\f(2＋ai,1－2i)＝eq\f(2＋ai1＋2i,5)＝eq\f(2－2a,5)＋eq\f(4＋a,5)i是纯虚数，得a＝1，此时eq\f(z1,z2)＝i，其虚部为1.(2)因为eq\f(m2＋i,1－mi)＝eq\f(m2＋i1＋mi,1＋m2)＝eq\f(m2－m＋1＋m3i,1＋m2)是实数，所以eq\f(1＋m3,1＋m2)＝0，所以m＝－1，应选A.题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2022·四川)设i为虚数单位，那么复数(1＋i)2等于()A．0B．2C．2iD．2＋2i(2)(2022·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，那么|x＋yi|等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2(3)(2022·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，那么a等于()A．－1B．0C．1D．2答案(1)C(2)B(3)B解析(1)(1＋i)2＝12＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i.(2)由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＝y))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))所以|x＋yi|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(2)，应选B.(3)因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，应选B.命题点2复数的除法运算例3(1)(2022·全国丙卷)假设z＝1＋2i，那么eq\f(4i,z\x\to(z)－1)等于()A．1B．－1C．iD．－i(2)(2022·北京)复数eq\f(1＋2i,2－i)等于()A．iB．1＋iC．－iD．1－i(3)(eq\f(1＋i,1－i))6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________.答案(1)C(2)A(3)－1＋i解析(1)z＝1＋2i，zeq\x\to(z)＝5，eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝i.(2)eq\f(1＋2i,2－i)＝eq\f(1＋2i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(5i,5)＝i.(3)原式＝[eq\f(1＋i2,2)]6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i\r(3)＋\r(2)i,\r(3)2＋\r(2)2)＝i6＋eq\f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝－1＋i.命题点3复数的综合运算例4(1)(2022·山东)假设复数z满足2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，其中i为虚数单位，那么z等于()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i(2)(2022·全国丙卷)假设z＝4＋3i，那么eq\f(\x\to(z),|z|)等于()A．1 B．－1C.eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i D.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i(3)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A．－4B．－eq\f(4,5)C．4D.eq\f(4,5)答案(1)B(2)D(3)D解析(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，那么eq\x\to(z)＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝3，,b＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴z＝1－2i，应选B.(2)z＝4＋3i，|z|＝5，eq\f(\x\to(z),|z|)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.(3)设z＝a＋bi，故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3b－4a＝0，,3a＋4b＝5，))解得b＝eq\f(4,5).思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2022·山东)假设复数z满足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2017＝________.(3)eq\f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2017＝________.答案(1)A(2)i(3)eq\f(\r(2),2)＋(eq\f(\r(2),2)＋1)i解析(1)eq\x\to(z)＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i，应选A.(2)(eq\f(1＋i,1－i))2017＝[eq\f(1＋i2,1－i1＋i)]2017＝i2017＝i.(3)eq\f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋(eq\f(\r(2),1－i))2017＝eq\f(i1＋2\r(3)i,1＋2\r(3)i)＋(eq\f(\r(2),1－i))[(eq\f(\r(2),1－i))2]1008＝i＋i1008·eq\f(\r(2),2)(1＋i)＝eq\f(\r(2),2)＋(eq\f(\r(2),2)＋1)i.题型三复数的几何意义例5(1)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z对应的点为△ABC的()A．内心 B．垂心C．重心 D．外心答案D解析由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．(2)如下图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：①eq\o(AO,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的复数；②对角线eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的复数；③B点对应的复数．解①eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.②eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．z是复数，z＋2i，eq\f(z,2－i)均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵eq\f(z,2－i)＝eq\f(x－2i,2－i)＝eq\f(1,5)(x－2i)(2＋i)＝eq\f(1,5)(2x＋2)＋eq\f(1,5)(x－4)i，由题意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋4a－a2>0，,8a－2>0，))解得2<a<6，∴实数a的取值范围是(2,6)．24．解决复数问题的实数化思想典例(12分)x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.思想方法指导(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法．(2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法．(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．标准解答解设x＝a＋bi(a，b∈R)，那么y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，[3分]代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，[5分]根据复数相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2＝4，,－3a2＋b2＝－6，))[7分]解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1.))[9分]故所求复数为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋i，,y＝1－i))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－i，,y＝1＋i))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋i，,y＝－1－i))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－i，,y＝－1＋i.))[12分]1．假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1答案A解析由复数z为纯虚数，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))解得x＝－1，应选A.2．(2022·天津质检)i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－eq\f(a,1－i)是实数，那么a的值为()A．－4B．2C．－2D．4答案D解析∵2i－eq\f(a,1－i)＝2i－eq\f(a1＋i,1－i1＋i)＝2i－eq\f(a,2)－eq\f(a,2)i＝(2－eq\f(a,2))i－eq\f(a,2)，a∈R，∴2－eq\f(a,2)＝0，∴a＝4.3．假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()A．EB．FC．GD．H答案D解析由题图知复数z＝3＋i，∴eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.∴表示复数eq\f(z,1＋i)的点为H.4．(2022·南昌质检)eq\x\to(z)是z的共轭复数，假设z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i答案D解析方法一设z＝a＋bi，a，b为实数，那么eq\x\to(z)＝a－bi.∵z＋eq\x\to(z)＝2a＝2，∴a＝1.又(z－eq\x\to(z))i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.方法二∵(z－eq\x\to(z))i＝2，∴z－eq\x\to(z)＝eq\f(2,i)＝－2i.又z＋eq\x\to(z)＝2，∴(z－eq\x\to(z))＋(z＋eq\x\to(z))＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.5．设f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n(n∈N＋)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()A．1B．2C．3D．无数个答案C解析f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n＝in＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．6．集合M＝{4，－3m＋(m－3)i}(其中i为虚数单位)，N＝{－9,3}，假设M∩N≠∅，那么实数m的值为()A．－1B．－3C．3或－3D．3答案D解析由题意可知－3m＋(m－3)i必为实数，那么m＝3，经检验符合题意．7.(2022·陕西西工大附中模拟)a为实数，假设复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i为纯虚数，那么复数a－ai在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析假设复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i为纯虚数，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a－4＝0，,a－4≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4或a＝－1，,a≠4，))得a＝－1，那么复数a－ai＝－1＋i对应的坐标为(－1,1)位于第二象限．8．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________．答案(－∞，eq\f(2,3))解析z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－2<0且m－1<0，∴m<eq\f(2,3).9．集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，假设M∩N＝{3}，那么实数m的值为________．答案3或6解析∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．10．i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1＋i)＝1＋ni，那么(eq\f(m＋ni,m－ni))2017＝________.答案i解析由m(1＋i)＝1＋ni，得m＝n＝1，所以(eq\f(m＋ni,m－ni))2017＝(eq\f(1＋i,1－i))2017＝i2017＝i.11．假设1＋eq\r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________.答案－23解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋eq\r(2)i，∴其共轭复数1－eq\r(2)i也是方程的根．由根与系数的关系知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\r(2)i＋1－\r(2)i＝－b，,1＋\r(2)i1－\r(2)i＝c，))∴b＝－2，c＝3.12．给出以下命题：①假设z∈C，那么z2≥0；②假设a，b∈R，且a>b，那么a＋i>b＋i；③假设a∈R，那么(a＋1)i是纯虚数；④假设z＝－i，那么z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案④解析由复数的概念及性质知，①错误；②错误；假设a＝－1，那么(a＋1)i＝0，③错误；z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确．13．计算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).解(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－3＋i,－i)＝－1－3i.(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,