复变函数第5讲积分的定义、性质及其计算_第1页
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1复变函数积分的定曲线.如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),则将C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.设曲线C的两个端点为A与B如果将A到B的方向作为C的正方向则从B到A的方向就是C的负方向,并记作C.常将两个端点中一个作为起点,另一个作为终点,沿该曲线前进时邻近P点的曲线内部始终位2定义设函数w=f(z)定义在区域D内,C为在区线.把曲线C任意分成n个弧段,设分点为y

BA 3 Sn

)(zk

zk1)

)Δzkk k这里Δzkzkzk1记Δskzkzk1的长度有唯一极限,则称其为f(z)沿曲线C的积分nf(z)dzlim

)Δzk

nk4f(z)dzlimnC

nnk

f(

)Δz

(3.1fz)dz表示沿C正向的积分Cfz)dz表示沿C反向的积分C沿闭曲线C的正向积分记作fz)dzC注当C是x轴上的区间axb而f(z)=u(x)时,5z=z(t)=x(t)+iy(t),t应于起点A及终点B,并且z’(t)0,<t<.如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数设k=k+ik因zk=6nf(k)Δnkn[u(k,k)iv(k,k)](Δnkn

iΔyk[u(k,k)Δkni[v(k,k)Δnk

v(k,k)Δyku(k,k)Δyk7由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理,我们知道当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时不论对C的分法如何点(k,k)的取法如何上式右端的两个和式的极限都是存在的.因此有Cf(z)dzCudxvdyiCvdx8当f(z)是连续函数而C是光滑曲线时, f(zdz是一定存在的.

f(z)dz可以通过两个二元实变函数线积分来计算

,)9{u[x(t),y(t)]iv[x(t),y(t)]}{x(t)iy(t)}d f[z(t)]z(t)d所以f(zdz

f[z(t)]z(t)d 如果是由 而成,则我们定义f(z)dzf(z)dzf(z)dz·f(z)dz C计算zdz,其中C为原点到点3+4iC线段解:x=3t,y=4t, z=3t+i4t,在C上z=(3+4i)tdz=(3+4i)dt111zdz(34i)2tdt(34i)2td 1(34i)200

dC(zz

其中C为以z0为中心r为半径的正向圆周n为整数 解C(zz(zz n10

2 irei rn1ei(n1) 2 rn

d r

2e 0d

2e 0C(zz)n0

r i

d2π2π22π2rn

(cosnisinn)d d 2π

n00|zz0|

(zz

n重要d

2π

n|zz0

(zz0

n注:这个结果以后经常要用到特点:与积分路线圆周的中心和半径无关f(z)dz))

f(z)df(z)dz;(k[f(z)

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