2023高考数学一轮复习课时规范练43空间几何中的向量方法理新人教B版

PAGEPAGE1课时标准练43空间几何中的向量方法根底稳固组1.假设平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),那么()A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确2.平面α的一个法向量为n=(1,-3,0),那么y轴与平面α所成的角的大小为()A.π6 B.π3 C.π3.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),那么两平面间的距离是()A.32 B.22 C.34.向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,假设cos<m,n>=-12,那么l与α所成的角为(A.30° B.60° C.120° D.150°5.如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA⊥平面ABCD.假设PA=BA,那么平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30° B.45°C.60° D.90°6.(2022广东珠海质检)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2,那么点D1到平面A1BD的距离是(A.32 B.22 C.37.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,那么直线BC与平面PAC所成的角为.

〚导学号21500564〛8.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)假设点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点(1)求证:B1C∥平面A1BD(2)求点B1到平面A1BD的距离.〚导学号21500565〛综合提升组10.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,那么直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.15 B.2C.55 D.11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,那么平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为(A.-33 B.-6C.33 D.12.(2022广东广州模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1.那么D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为13.(2022山东青岛模拟,理17)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=2AB,B1C112BC,二面角A1-AB-C(1)A1B1⊥平面AA1C(2)AB1∥平面A1C14.如下图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?假设存在,求SE∶EC的值;假设不存在,试说明理由.创新应用组15.(2022宁夏中卫二模,理18)如图,菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,其中BE∥AF,AB⊥AF,AB=BE=12AF=2,∠CBA=π(1)求证:AF⊥BC;(2)线段AB上是否存在一点G,使得直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为9331,假设存在,求AG的长;假设不存在,说明理由〚导学号21500566〛16.(2022山西吕梁二模,理18)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=12BC,BE=1(1)求证:DE⊥平面PAC;(2)假设直线PE与平面PAC所成角的正弦值为3010,求二面角A-PC-D的平面角的余弦值〚导学号21500567〛参考答案课时标准练43空间几何中的向量方法1.C因为cos<n1,n2>=n1·n2|n1||n2|=-2938×2.B可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面α所成的角为θ,那么sinθ=|cos<m,n>|.∵cos<m,n>=m=-32,∴sinθ=32,∴θ=3.B两平面的一个单位法向量n0=-22,0,22,故两平面间的距离d=|4.A因为cos<m,n>=-12,所以l与α所成角θ满足sinθ=|cos<m,n>|=12,又θ∈0,π5.B(方法一)建立如图1所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为|n1(方法二)将其补成正方体.如图2,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小为45°.6.D建立如下图的空间直角坐标系,那么D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),∴D1A1=(2,0,0),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x那么n·DA1=2x+2z=0,∴点D1到平面A1BD的距离是d=|D7.30°如下图,以O为原点建立空间直角坐标系.设OD=SO=OA=OB=OC=a,那么A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P0,-那么CA=(2a,0,0),AP=-a,-a2设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),那么cos<CB,n>=CB·∴<CB,n>=60°,∴直线BC与平面PAC所成角为90°-60°=30°.8.证明(1)如下图,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系.那么O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),∴AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)∴AP⊥BC,即AP(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,∴AM=又BA=(-4,-5,0),∴BM=那么AP·BM=(0,3,4)·-4,-165,125又根据(1)的结论知AP⊥BC,∴AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BCM.9.(1)证明连接AB1交A1B于点E,连接DE.可知E为AB1的中点,D是AC的中点,∴DE∥B1C又DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A(2)解建立如下图的空间直角坐标系,那么B1(0,22,3),B(0,22,0),A1(-1,0,3),DB1=(0,22,3),DB=(0,22,0),DA1=设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),∴n∴n=(3,0,1).故所求距离为d=|n10.C以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(图略),由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D12,0,0,E12,12,0,设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),那么由n得1取z=1,那么n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为θ,那么sinθ=|PA·n||PA||n11.A建立如下图的空间直角坐标系,那么C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,1,0),B1(2,0,1),D22,12,12,CD=22,12,12,CB=(2,0,0),BA=(-2,1,0),BB1=(0,0,1).设平面CBD和平面B1BD的法向量分别为n1,n2,可得n1=(0,1,-1),n2=(1,2,0),所以cos<n1,n2>=n1·12.13建立如下图的空间直角坐标系,由于AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1)所以A1C1=(-1,2,0),BC1=(-1,0,1),D1C1=(0,2,0),设平面A1BC1的法向量为n=令x=2,那么y=1,z=2,那么n=(2,1,2).又设D1C1与平面A1BC1所成的角为θ那么sinθ=|cos<D1C1,n13.证明∵二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,∴AA1⊥平面BAC.又AB=AC,BC=2AB,∴∠CAB=90°,即CA⊥AB,∴AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如下图的空间直角坐标系,不妨设AB=2,那么A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)A1B1=(0,2,0),A1A=(0,0,设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z那么n取y=1,那么n=(0,1,0).∴A1B1=2n,即A1B1∥n.∴A1B(2)易知AB1=(0,2,2),A1C1=(1,1,0),A1C=(2,0,-2),设平面A1C1C的法向量m=那么m令x1=1,那么y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).∴AB1·m=0×1+2×(-1)+2×1=0,∴AB又AB1⊄平面A1C1C,∴AB1∥平面14.(1)证明连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,那么AC⊥BD,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,OB,OC,OS的方向分别为x轴、y设底面边长为a,那么高SO=62a,于是S0,0,62a那么OC·SD=0.故OC从而AC⊥SD.(2)解棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下:由条件知DS是平面PAC的一个法向量,且DS=22a,0,设CE=tCS,那么BE=BC+由BE·DS=0,解得t=∴当SE∶EC=2∶1时,BE⊥又BE⊄平面PAC,故BE∥平面PAC.15.(1)证明∵菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,AB⊥AF,∴AF⊥平面ABCD,∵BC⊂平面ABCD,∴AF⊥BC.(2)解取AB的中点O,连接CO,那么CO⊥AB,∵平面ABCD⊥平面ABEF,∴CO⊥平面ABEF.建立如下图的空间直角坐标系,那么D(-2,0,3),F(-1,4,0),E(1,2,0),∴DF=(1,4,-3),EF=(-2,2,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),那么n即x取n=1,设G(λ,0,0),λ∈[-1,1],那么GF=(-λ-1,4,0).∵直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为9331∴|-λ∴λ=-1∈[-1,1],∴AG=0,直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为933116.(1)证明以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如下图.不妨设AB=AD=12BC=2,那么D(0,2,0),E(2,1,0),A(0,0,0),C∴DE=(2,-1,0),AC=(2,4,0),DE·AC=4-4+0=0,∴DE∵PA⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD,∴DE⊥PA.∵PA∩AC=A,∴DE⊥平