知识点13一元二次方程的代数应用2022

第一批一、选择题10．（2022·衡阳）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区2022年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2022年底贫困人口减少至1万人.设2022年底至2022年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A.9（1－2x）＝1B.9（1－x）2＝1C.9（1＋2x）＝1D.9（1＋x）2＝1【答案】B．【解析】此问题的基本关系式是：基数×（1±提高率或下降率）＝目标数．8．（2022·安徽）据国家统计局数据，2022年全年国内生产总值为万亿，比2022年增长%.假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万的年份为（）A.2022年B.2022年C.2022年D.2022年【答案】B【解析】由题意可知2022年全年国内生产总值为×(1＋%)＝(万亿)，2022年全年国内生产总值为×(1＋%)2≈(万亿)＞100(万亿)，故国内生产总值在2022年首次突破100万亿.故选B.1.（2022·达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第2季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A.B.C.D.2500+【答案】D【解析】第二季度的总营业额应该是三个月营业额之和，应该是，故选D.三、解答题1.（2022·重庆A卷）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提高大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值．【解析】（1）根据“50平方米的物管费＋80平方米的物管费＝90000元”，列一元一次方程即可解答；（2）根据5、6两月参加两种活动的户数及减少的每平米的物管费，可列表如下：6月份参加活动二的户数及缴物管费统计表户数每户实缴物管50m2500×40%×(1＋2a%)100(1－a%)80m2250×20%×(1＋6a%)160(1－a%)再根据“参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少”列一元二次方程即可解答．解：（1）设80平方米的住宅有x套，则50平方米的住宅有2x套，根据题意，得2x•100＋160x＝90000，解得x＝250．答：80平方米的住宅有250套．（2）根据题意，得200(1＋2a%)•100(1－a%)＋50(1＋6a%)•160(1－a%)＝[200(1＋2a%)•100＋50(1＋6a%)•160]•(1－a%)令m＝a%，原方程可化为20000(1＋2m)(1－＋8000(1＋6m)(1－m)＝[20000(1＋2m)＋8000(1＋6m)]((1－m)，整理，得m2－m＝0，解得m1＝，m2＝0（不合题意，舍去）．∴a%＝50%，故a的值为50．2.（2022重庆市B卷，24，10）某菜市场有平方米和4平方米两种摊位，平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍.管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费.该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额繳管理费.(1〕菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位?(2)为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一:“使用环保袋送礼物”，平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40％和20％参加了此项活动.为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二:“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一，经调查与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a％，每个位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a％，每个推位的管理费将会减少，这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，求a的值.【思路分析】（1）利用题目中所给出来的已知条件，先设4平方米的摊位有x个，则用含x的代数式来表达出平方米的摊位个数，然后利用平方米的摊位个数×每个摊位的管理费+4平方米的摊位个数×每个摊位的管理费=可收取的总共的管理费这个等量关系，就可以列出方程进行求解。（2）根据题目中的已知条件，就可以计算出来5月份参加活动两种摊位个数，然后再根据已知条件中6月份的摊位个数的增加百分比和管理费用减少的百分比，就可以列出6月份两种摊位的总管理费，而这个管理费还可以用第二种表示方法，就是按原方式共缴纳的管理费×减少后的百分比，就可以找到等量关系，列出方程，进而求得a的值.【解题过程】解：（1）设该菜市场共有x个4平方米的摊位,则有2x个平方米的摊位.根据题意的：20（4x+2x·）=4500解得：x=25.答：设该菜市场共有25个4平方米的摊位（2）设4平方米的数量为y，则平方米的数量为2y，由题意可得:（2y×40%）（1+2a%）（×20）（1-a%）+（y×20%）（1+6a%）（4×20）（1-a%）=[（2y×40%）（1+2a%）（×20）+（y×20%）（1+6a%）（4×20）]（1-a%）解得：:a1=50.a2=0（舍去）.答：a的值为50.23．（2022·长沙）（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【解题过程】（1）设增长率为x，根据题意，得:2（1+x）2=，解得x1=（舍去），x2==10%．答：增长率为10%；（2）（1+）=（万人）．答：第四批公益课受益学生将达到万人次．3.（2022四川攀枝花，21，8分）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…3538…售价x（元/千克）…2522…（1）某天这种芒果售价为28元/千克。求当天该芒果的销售量（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？【思路分析】（1）根据表格提供的数据，运用待定系数法先求得y与x的一次函数解析式；（2）根据总利润＝销售量×每千克的利润得出芒果获利m与售价x之间的函数关系式，由水果店该天获利400元，得关于x的方程，解之，合理取值即可.【解题过程】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx＋b则解得∴y＝－x＋60（15≤x≤40）．∴当x＝28时，y＝32．∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克．（2）由题易知m＝y(x－10)＝(－x＋60)(x－10)＝－x2＋70x－600当m＝400时，则－x2＋70x－600＝400．整理,得x2－70x＋1000＝0．解得x1＝20，x2＝50．∵15≤x≤40,∴x＝20．所以这天芒果的售价为20元．【知识点】一元二次方程的实际应用；一次函数的实际应用第二批一、选择题11.（2022·遵义）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2022年销售量为万辆，销量逐年增加，到2022年销量为万辆，设年平均增长率为x,可列方程为（）(A)（1+x)2=(B)(1-x)2=(C)(1+2x)=(D)(1+x2)=【答案】A【解析】由题意知在2022年万的基础上，每年增长x，则到2022年为（1+x)2，所以选A【知识点】一元二次方程的应用二、填空题14.（2022·天水）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2022年人均年收入20000元，到2022年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为．（用百分数表示）【答案】40%【解析】设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2＝39200，解得，x1＝，x2＝﹣（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．【知识点】一元二次方程的应用三、解答题21.（2022·广州)随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约万座，计划到2022年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到万座．（1）计划到2022年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2022年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．【思路分析】（1）2022年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；（2）设2022年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2022年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解题过程】解：（1）×4＝6（万座）．答：计划到2022年底，全省5G基站的数量是6万座．（2）设2022年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：6（1+x）2＝，解得：x1＝＝70%，x2＝﹣（舍去）．答：2022年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．【知识点】一元二次方程的应用13.（2022·宜宾）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是．【答案】【解析】设每个季度平均降低成本的百分率为，依题意，得：．故答案为：．【知识点】一元二次方程及应用20.（2022·南充）已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求实数的取值范围；（2）当时，方程的根为，，求代数式的值．【思路分析】（1）根据△，解不等式即可；（2）将代入原方程可得：，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．【解题过程】解：（1）由题意△，，．（2）当时，方程为，，，，，．【知识点】根与系数的关系；根的判别式22.（2022·宜昌）HW公司2022年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2022年生产的全部手机所需芯片的10%．（1）求2022年甲类芯片的产量；（2）HW公司计划2022年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2022年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2022年、2022年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2022年到2022年，丙类芯片三年的总产量达到亿块．这样，2022年的HW公司的手机产量比2022年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2022年的产量及m的值．【思路分析】（1）设2022年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；（2）2022年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2022年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2022年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，化简得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t=-【解题过程】解：（1）设2022年甲类芯片的产量为x万块，由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400；答：2022年甲类芯片的产量为400万块；（2）2022年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙类芯片2022年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2022年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，化简得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t=-∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙类芯片2022年的产量为8000万块，m＝400．【知识点】一元二次方程的应用第三批一、选择题15．（2022·龙东地区）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】设每个支干长出的小分支为x个，则有1+x+x2=43，解得x1=6，x2=-7（舍去），∴每个支干长出的小分支为6个，故选C.【知识点】一元二次方程的应用9（2022·赤峰）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（）A．400（1+x2）＝900 B．400（1+2x）＝900 C．900（1﹣x）2＝400 D．400（1+x）2＝900【答案】D【解析】设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故选：D．【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程7．（2022·新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A． B． C．x(x－1)=36 D．x(x＋1)=36 答案：A解析：本题考查了一元二次方程的实际应用，设有x个队参赛，则每个队都要跟其余的(x－1)个队进行比赛，但两个队之间只比赛一场，故可列方程为：，因此本题选A．二、填空题三、解答题23.（2022·贺州）2022年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2022年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2022年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2022·年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？【解题过程】解：（1）设该贫困户2022年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，依题意，得：，解得：，（舍去）．答：该贫困户2022年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率为．（2）（元，．答：2022·年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．【知识点】一元二次方程的应用23.(2022·东营)为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？解析：本题考查了一元二次方程应用中的营销问题.根据等量关系“利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润与销售单价的方程求解，求解结果符合题意即可．答案：解：设降价后的销售单价为x元，根据题意得：x100005200x2000．整理得