2020-2021人教版数学第二册教师用书：第8章 8.58.5.3平面与平面平行含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第8章8.58.5.3平面与平面平行含解析8。5.3平面与平面平行学习目标核心素养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．（重点）2。平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)1。通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养。2.借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养。上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质,展馆共分三层,这三层给人以平行平面的感觉．问题：(1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？(2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？1．平面与平面平行的判定（1)文字语言:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β,b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α。（3)图形语言:如图所示．2．平面与平面平行的性质定理（1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．（2)符号语言：α∥β,α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.（3）图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行．思考:如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？［提示］不一定．它们可能异面．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×"）(1）α内有无数多条直线与β平行，则α∥β. （）（2）直线a∥α，a∥β,则α∥β. （）(3）直线a⊂α,直线b⊂β，且a∥β,b∥α，则α∥β。 （)（4）α内的任何直线都与β平行,则α∥β。 （)[答案］(1)×(2)×(3）×(4）√2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n,则m，n的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面A[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.］3．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则(）A．l∥β B．l⊂βC．l∥β或l⊂β D．l，β相交C[假设l与β相交,又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾,则假设不成立，则l∥β或l⊂β。］4．已知长方体ABCD。A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．不确定A［由面面平行的性质定理易得．］平面与平面平行的判定【例1】如图，在正方体ABCD.A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1求证：(1）E，F，B,D四点共面;（2）平面MAN∥平面EFDB．［思路探究］（1)欲证E，F,B，D四点共面,需证BD∥EF即可．(2）要证平面MAN∥平面EFDB,只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．[解］（1)连接B1D1,∵E、F分别是边B1C1、C1D1∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．（2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB．∴MN∥平面EFDB．连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1。∴MF∥AD且MF＝AD．∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB．平面与平面平行的判定方法1定义法：两个平面没有公共点.2判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.3转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.4利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.eq\o（[跟进训练］)1．如图所示，在四棱锥P.ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．［证明］∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP。又∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC．∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD，∴MQ∥BC．又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC．又∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC．平面与平面平行的性质[探究问题]平面与平面平行性质定理的条件有哪些?[提示]必须具备三个条件:①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a;③平面γ和β相交,即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．【例2】如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且PA＝6，AC＝9,PD＝8，求BD的长．［解]因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD．所以eq\f(PA，AC)＝eq\f（PB，BD），即eq\f(6，9）＝eq\f（8－BD,BD）.所以BD＝eq\f（24,5）.1。将本例改为：已知平面α∥β∥γ,两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A,B，C与D，E，F。已知AB＝6,eq\f（DE，DF)＝eq\f（2，5）,则AC＝________.15［由题可知eq\f（DE，DF）＝eq\f（AB，AC)⇒AC＝eq\f（DF,DE)·AB＝eq\f(5,2)×6＝15.]2．将本例改为：若点P在平面α,β之间（如图所示)，其他条件不变，试求BD的长．[解］与本例同理，可证AB∥CD．所以eq\f(PA，PC）＝eq\f(PB,PD），即eq\f(6，3）＝eq\f(BD－8,8)，所以BD＝24.3。将本例改为：已知三个平面α，β,γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A,B,C，直线b与这三个平面依次交于点E，F,G。求证：eq\f（AB,BC)＝eq\f(EF，FG）。[证明］连接AG交β于H,连BH，FH，AE，CG。因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH,平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG。同理AE∥HF，所以eq\f(AB,BC）＝eq\f（AH,HG)＝eq\f（EF，FG)，所以eq\f(AB，BC)＝eq\f（EF,FG)。应用平面与平面平行性质定理的基本步骤平行关系的综合应用【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH。求证:GH∥平面PAD．[证明]如图所示，连接AC交BD于点O,连接MO。∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点,又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH。又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD．1．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2）基本事实4.（3)线面平行的性质定理．（4)面面平行的性质定理．2。证明直线与平面平行的方法（1）线面平行的判定定理．（2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．eq\o（[跟进训练］）2．如图，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH。求证：CD∥平面EFGH。［证明]由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH。∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD．又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD．又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH。一、知识必备常用的面面平行的其他几个性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．（3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．（5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．二、方法必备三种平行关系的转化．1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是（)A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面或相交D[如图①②③所示,a与b的关系分别是平行、异面或相交．①②③］2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β,过点M的所有直线中（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D[由于α∥β，a⊂α,M∈β，过M有且只有一条直线与a平行,故D项正确．］3．用一个平面去截三棱柱ABC­A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.若A1A〉①一般的平行四边形；②矩形;③菱形；④正方形；⑤梯形．②⑤［当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]4．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB,AC上的点，点G为棱A