基本初等函数定义域、值域、4大性质、零点问题等考法梳理

基本初等数题型梳理()单调性值域问）一次函数例1

若函数

f()在、b范围是【析

f()

ax2,xx＜∵函数

f()在b）二次函数例2

函数

f()xx

在上调递增，求实数

的取值范围【析

)xf()xxx＜m∵函数

f()x

在上调递增m∴2mm

m变1

函数

yf()

在

[2,

上单调递增，且

f()f)

恒成立，则关于的等式f(fx

的解集为________【析

f((4)

恒成立函数关于对称函数

yf()在[2,单递增，函数在

单调递减，关于的等式f(f(2x

，x

，解得

x

，即

22或

，解得

11x，集为22）分式函数例3

函数

fx)

axx

在(增函数求实数的取值范围

axa(2)a1axa(2)a1【析

f)

在(x

上为增函数易知1a0，

a＞

变2

设函数

f(x)

)

间M=[]()合={

f(),M

}则使N立的实数对a)有几个？【析函数f（x）

(x0)x(x0)

，图象如图所示由图象可知y=（x）在上是连续单调递减函数。而=｛yf（x∈M表示函数定义域为＝［a］时其值域为Ｎ。由＝得解得=b=0，这与a<b矛盾，所以0个变3

若函数

y

xx

在区间

上的值域为

，则

．【析

y

xx+2）==1+xxx∵＜-，∴0∴

y

x4b在区间,是函数，∴＜＜x又∵值域为

4，a即b∴ab16）幂函数型例4

f()

(*)R1f()2f(afa

9**6339**633【析1幂函数fxx∈的图象关于原点对称，且在上调增可得3m解m3∈可得m2m1xx的象关于原点对称，舍去；m2xx的象于原点对称，且在R上单调递增，成x21fRf+30fa3a44aa+13a例5

设幂函数

f(x)axk(aRkQ)

的图像过点

．（1求k,a

的值；（2若函数

)()x

在[0,2]

上的最大值为3，实值．【析）

a2；f)x

过点(

，则(

22（2由（）知

f()x

2，h(x)22

当

时，x)

在[0,2]

单调递减，

h(x)

max

(0)b

；当

0

时，h()

max

)b或）当

2

时，x)

在[0,2]

单调递增，

h()

max

(2)bb2()综上，的为

．变4（Im+1试求实数m的值范围1（II）+1（32

，试求实数的值范围3（III）+15＜（3-2

，试求实数的值范围（IV）-2，试求实数m的值范围【析）知幂函数在R上单递增，∴m，解得

（II易知幂函数x

12在定义域

上单调递增∴03-2

，解得

≤

23

．

xxxx（III）当图象位于第一象时，

，解得

2（ii）当图象位于第三象限时，

，3m，此时无解（iii）当图象位于第一和第三限时，综上可得，

，解得m，（IV）根据幂函数yx图易知，距离轴越远y值大∴

3-2m

，两边平方后转化为一元二次不等式，解得

m＞）指数函数例6

已知函数y)

，求其单调区间及值域．【析设t()

x

4则t()的调递减区间为，增区间为[，函)

t

为减函数，故函数y

的单调递增区间为(，递减区间为[y

域为

]例7

已知函数f(x)

．（1当f(x时，求x

的值；（2当，1]时求()的大值和最小值．【析1当(即4

时(2

)

2

，

4)(2

2，2，，

x2（2f())2，f()当，即时函数的最小值

f

min

)2当，时函数的最大值

f

x)

变5

已知定义域为的数f(x

ab

xx

是奇函数（1求，b的值．（2判断()的单调，并用定义证明（3若存在t，f(

)ftt

)成，k的值范围【析）

fx)是上奇数，f(0)，

f（）

ab

1212

a1，即b1b经验证符合题意．a（2f)

xx

，f()在上减函数，证明如下：任取，R，x，f()f()

2(2)1(1)(1

)

，x

x

x

，f(x)f(x)即f(x)f()

，f(x)在R上减函数．（3

f(k

)f(4t

)f(x)是函f(

)(2t

t)又

f(x是函数，

t

t

t，()

t，题转化为gt)

，t)

（2变6

已知定义在上奇数fx)

，为数．（1求的）单调性定义证明f()在[，是函数；（3解不等式f(xf．【析）

fx)是义在上奇函数，f，即，得a（2f)

，设xx

，f(x)f(x)

，x

0，3

，3

，即

，3

f(x)f(x)，f(x)[是减函数．（3f(x)奇函数且在[0，单递减，fx在R上减函数．f(xf(2xf(2x3)(xf(1)，2x解得

x．

xxxxx2max1xxxxx2max12在变7

设

f(x,

cc(a)f(b)

，则下列成立的是（）A.3

B.3ba

caca2【析由题，

f(x)

，作出

f

的图像，如图所示，由

a()ff(b

可知三点位置如图所示，即

，又y为增函数，故3b，A,错；又

)f(a)

，即1cac，选D。变8

已知函数

f()

（2x

）.（1若

，求函数

f

的值域；（2若方程

f

有解，求实数的值范围【析）f()

）设，

1g(t)24

，（1当

时，g(t)

2

3t,，24所

(t)min

，

153g()()4

，所以函数f

；（2方程

f

有解等价于函数

g(t)2

在

上有零点，也即

1t在2

上有解，而函数

yt在,2上单调递减，2t故函数

y

6565上的值域为2,，所以实数的取值范围为8

f0,40，，f0,40，，时，1）对数函数例8

（1函数

1的定义域为_，最小值_2【析由题意得，得

f

，tx

1

递，且

1

22

f

[

变9

函数

f()

的单调增区间是f

的值域_．【析函数

f()

的定义域满足x20得

x

所以函数

f()

1的定义域为

设t2，由

yt12

是单调递减函数由复合函数单调性的质，即求tx的区间由二次函数的性质可得t在

上单调递减又当

1，t2x28由

yt12

是单调递减，所以

f(log2

，所以

f

x

的值域是

[3,例9

已知函数

f()

x

，若它的定义域为R，，它的值域为R，则a__________．【析函数

f()lg

x

的定义域为R，x

恒立，故

，即a；函数

f(x

x

为R，

是函数

x

x

值域的子集，则

，即

a

例1函

f

的值范围是（）A

0,1

B

．

．

22【析若函数，所以选是正确的.

在

上为减函数则，计算得出变1函f(log(x23)12

在(为增函数，则实数a取值范围【析不妨令

t

∵

t

在定义域上是减函数又∵f(x212

在(为函数∴

t

在(内减函数且t0恒立∴1ttt00minx变1已

f(x)

a,logxxa

是R上的函数，求实数

的取值范围【析∵

f(x)

a,xlogxxa

是R上减函数∴

y在上调递减，即1a

＜

①ya2

上单调递减，即

a，a＜

13

②且

()2

y)1

aaa

17

③综合①②③知，

1＜7变1已函数

f(x)loga

（

，且

）在

上的最大值为2.（1求（2若

的值；

，求使得

ff()

成立的的值范围.【析）由题意，当a，函数

f()loga

在

上单调递增，因此

f(x)f(2)22max

，解得a

2；

,222,222当

0

时，函数

f(x)loga

在

上单调递减，因此()

max

1f()4

a

14

，解得

综上可知：或（2由不等式

ff(x)，即log(()2)aa

，又

，根据对数函数的性质，可得

0f()

，即

2x12

，解得

x4

变1

f()logx

mf()f()f(x)

[,n]

n【析因为

m

，且

f()f(

，所以

，且所以m，故当时，函数

f(x)

在区间[2n]得最大值所以

fm)log，之得m2

12

（负已舍）又mn，所nn

52变1已函数

fx)log(2ax9)(aa

（1当a，求f()的值域和单调减区间；（2若fx)存在单调递增区间，求a的值范围．【析）当

时，

f

log[

，设x

，由

0，

x得

，即函数的定义域为

，此时t

，则

ylogt161010

，即函数的值域为

，要求

f

的单调减区间，等价为求

t

的单调递减区间，t

的单调递减区间为

的单调递减区间为（2若

f

存在单调递增区间，则当

，则函数t

ax存单调递增区间即可，则判别式a

得

a

或

a

舍，

当

，则函数t存在单递减区间即可，则判别式0得a或a综上实数a的值范围是a．）对勾函数

，此时不成立，例1已函数

f()

ax

(x

常数

)

,若函数

f(x)

在

x

上为增函数，求

的取值范围【析）

a

，

f)

，在R

上递增，符合（ii0，据质：增增，易知

f(

递增，符合（iii）根据耐克函数图象知

a∴综上知

））非基本初函数型例1函

f()

对于任意实数

、

都有

f(x)fx)f(

，且当

x

时，f(

，

f(

，求函数

f()

在区间

[上值域。【析设

x＜x1

2

x-＞2

,∵当x时f(

,∴

f(-x)＞2

，f()f()=f(f)22111f()＞f(x)yf)∴为增函数21xyf(0)令

。

∴

f()-fxf)02121令

yf(x)f()f()f()∴

y()

为奇函数，∴

ff(f((f(∴

y()在间[上值域为-4,2]

2222变1已函数

f(x)2

ax

(

常

若数f()

在

x

上为增函数，求a的值范围【析设

2＜＜1

2fx)(x)2

x12[x(x)]xxxx∵函数

f(x)

在

x

上为增函数∴

f(x)(x)，∵-x＜0，412121即

a＜x()112

，又∵

x+x＞41

，

∴

(x1611

∴，

）幂指对函综合例1函

(x)1

在区间，的范围【析

f(x1x

，作出函数图象，如图所示，因为函数上的最大值为，

f

所以

，即

．变1

f()

13

1ax

（

是函数设函数

g()(x)，x2x

若

g(m)g

，其中

m,n

，试比较的小【析研究函数的单调性，逆用调性脱g即【析易得

a

，故

g()

13

11x

，

，下面考察函数的单调

11211212211x

1在单增，由复合函数得在13

单减；对于

2

x

211，设2（t()2

2t

在

1t,)单，复合函数单调性得在22

单减，再由函数单调性得性质得

g)

13

121x

，在

单减，因为

g(m)(，

，所以m变17已知函数fx)

2

2xx

是定义域为R的函数.（1求实数的值并判断函数

f()

的单调性；（2当x[3,9]时不式

f(log

x)flogx)

恒成立，求实数取值范围【析（1）∵函数是定义为R的函数，∴f

202

，解得

a

12

经检验，当

a

12

时，函数

f

1为奇函数，即所求实数的为2设

,x1

且

x

，则

xxfx2x

2x∵

x

，∴

，

，∴

f12

，即f1

是上减函数（2由

fxxfxx3

∵

f

是上奇函数，∴

fx3

，又

f

是上减函数，所以

log

3

2

xlogx3

对x令

tlogx，对t

恒成立，思路一化二次函数区间上的最大值0）令

g

，该函数开口朝上，故t=1或t=2取最大值

∴gm

，解得

m

，所以实数的值范围为

思路二离量）即

2t

对

t

恒成立，设

g(t)

2t

，则t)在间减，在区间2增所以

g()

，所以

m

，故实数的值范围为()奇偶性周期性对称性问题）分式函数例1已函数

f(x)

axx

，其中aR，函数

的图象关于点(－，3)成中心对称时，求a的；【析)部分分式

f(x)

axa(axx所以

f(

的对称中心(－，a，与(－1比较得a）指数函数例1已函数

fx)

的图象关于坐标原点对称，则实数的_【析－1例1已知f(x

4

4

，则

f

的值为．【析500【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称

设若0，试去求f()f(1)

的值，易得

f()f(1

【思路二】主动发现函数的对称性，)

4

4

2

，设(

，则其对称中心为

11,，()的称中心也为22

，故

f(x)f)

变1已知

a

，设函数fx)

202020192020x

，

x

的最大值、最小值分别为N

，则+

的值为

【析研究函的对称性，利用函数

g(x(x)（中x)

是奇函数）在对称区间

22上的最大值、最小值的和为【析f()

x

x120202020

设

(x)x)2020

则

()()

)20202020所以

g()

的图象关于点(0,)称，所以f()的象关于点2

)

对称故+

的值为4039变式9已知函数(x)

23x

满足不等式

f()f2)的实数的取值范围是

【析

y

23x

的对称中心是，定义域R单减令

g(x)f()

23x

，则

x)

为上单调递减的奇函数由

f(f(3得a2)f(，(3)因为

x)

为奇函数，故

()(

，所以

2)(又

g(x

在R单减，所以a

，解之得

a

12

，实数的值范围是

）二次函数例1定义在上的奇

(x)

满足

是偶函数，且当

时，(x)

，则

f(

)

（）A

C.D【解析】由题意，

f(x+1)=f(

，则

fx)=f(

，T，31f()()()2

变20已

(x)

是定义域为的偶函数，且

)=f(1)，x

时，f()=A

x

，则f(2018)=（）.0C.1D

【析由题意，

f)=)f(

，则

f(x)=f(+4)

，T，f(2018)f(2)(0)

变2设数

y()

的图像关于直线

对称．若

x

时，

f(x

，则当x，f()

的解析式是（AC．

fx)3)2fx)

B．D．

fx)f(x【析当x时则2，为x1时f(x2

所以

f(2)2

x

2

，又因为函数

yf(x)

的图像关于直线

x对称，所以

f)f(x)

，所以

fx)

2

，故选）函数奇偶、单调性简综合运具有对称性且在一侧单调的函数型不等式解法策略依然是脱意量的转化方.例18函

yf(x)在[2,单递增，且

f((4)

恒成立，则关于x的等式(fx

的解集为________【析

f()f)

恒成立函关于对，函数

y()

在

[2,

上单调递增，且

x2，xx2

，∴或，x

12故不等式的解集为变22已函数

1,1)(2xf(x，x

f2)

x范【析

f()2x

f(x)

f()x[1

f

2)f(2

1x)24

x2x

2

0,,0,,1xx0,,0,,1xx

x

32

x

x

x

R

x

32

x

32

x0

x

x1

x

x

32

fxf(x

2)

(

[1

变2

已知函数

fx)

lg(2xlg(1x),x

，若不等式

f

x

在有解，则实数a的取值范围是（）3A

2B

C．

2D．【析当

，则

f

；同理，当x时

，则

f

；f

是偶函数，不等式

ff

单调递增，ax在即x

，分离参数得

31在2,3上有解xx所以min

又

y

x

在

上单调递减，

y

1x

在

上单调递增，0

23()复合函的零点题复合函数的零点问题一般用换元分别探讨内外函数的零点个数或范围即.例1已函数

x(xx0

方程

f((x))

有个等实根数

的可能取值是（）A

B0C．

D．

【析作出函数【析作出函数

lnxx(xx0x(xx0

的图象，结合选项逐一判断即的图象：

直接验算法：当

1时，ff(x))2

，所以

11f(x)f(x),f(x2

，所以方程

f((x))

有不等实根；当a时

f(f(x))，以f)f(x)

，所以

x

，所以方程

f(f())

有个等实根；当

时，

f(f(所以f(x)f(),f(x)

，所以

xx,

1，且f(ee

方程有3根，所以方程

f((x))

有不等实根；当

时，

f(f())

13

，所以

21f(x)f(x)3ef(x)3

，所以方程

f((x))

有不等实根；故选例2设定义域为的函数

f(x

lg|xxx

，则关于

的方程f(x)bf()Ab且c；C．bc0；

有7个不同实数解的充要条件是（）.Bb且；D．b且c0.【析设

f(x)=t

.如下图，

y=(x)

1

22222222222222由函数图象得：（1）当（2当

时，方程时，方程

f(xtf(xt

有不同的实数解4个；有不同的实数解3个；（3当

时，方程

f(x)=t

没有实数解所以，关于的方程

f2()(x)

有7个不同实数解的充要条件是方程x

有个根，其中一个根等于0，一个根大于.此时应b0且c0变2已关于的方程

x

2log(2)a2

有唯一解，则实数的值为【析通过对函数f()＝x＋2(2

＋＋2的究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于轴称，若有唯一解，则该解必为．将x＝0代原方程，可求得＝1a－．就意味着，当＝1或＝－3时，原方程必有一解，但是否是唯一解，还需进一步验证．当a时，原程为22log2

＋2)＝0，即2log(2

＋2)＝－x2该方程实数根的研究可能过函数y＝2logt和数＝4－t的点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当＝－3时原程为x