河北省廊坊市六校联考2021-2022学年高考数学五模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若不相等的非零实数》,z成等差数列，且x,y,z成等比数列，则匕上=()

z

57

A.--B.-2C.2D.-

22

2,《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“■一”表示一个阳爻，”表示一个阴爻).若从含有两个及以上阳

爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为()

%莪隐

^%

■■

1123

A.-B.—C.—D.一

3234

3.已知集合4={况/一2》一3<0}8={.》<2},则Afl3=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

4.某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,，则该几何体表面积为()

■二

；正在图71阳处

o>z

A.17TB.6zrC.5TTD.

5.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次，设摸得白球数为X,

已知E(X)=3,则。(X)=()

6.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他

证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如asin/次的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是

基本音，其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波.下

列函数中不能与函数y=0.06sinl80000f构成乐音的是（）

A.y=0.02sin360000,B.y=0.03sin180000，C.y=0.02sin181800/

D.y=0.05sin540000,

7.在AABC中，A。为8c边上的中线，E为AO的中点，且|而|=1,|*|=2,ZA4C=120。，贝!）|丽|=（）

「V3不

B.空L•------

42.~T

8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0,32）,从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）

内的概率为（）

（附：若随机变量自服从正态分布N则P（M-cr<&<M+b）=68.26%,

P（M-2b<4<〃+2cr）=95.44%.）

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

9.某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边,

任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种

A.96B.120C.48D.72

10.已知集合A={1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为男,鸟,B,…，纥,鹿GN*.记”为集合中的最大元素，

则4+a+4+…+或=()

45B.105C.150D.210

1271

11.若。是第二象限角且sin。=—,则tan（e+—）=

134

177177

B.——C.—D.——

T17717

2

12.已知双曲线C的一个焦点为（0,5）,且与双曲线三-：/=1的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为（）

4

222

/_y_i2

A.X----------1C.------=1D.y--=1

42054

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量两=(1,2),AC=(-3,1),则丽质=.

14.已知多项式(x+l)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+as,则a4=,as=.

15.动点P到直线x=—l的距离和他到点口(1,0)距离相等，直线AB过(4,0)且交点P的轨迹于A,8两点，则以A3

为直径的圆必过________.

22

16.已知双曲线C:5-与=1(。＞0/＞0)的左右焦点分别为6,8，。为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，

ah

若忻闾=2|OM|,tan/MgK»2,则双曲线C的离心率的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆*+2=1(。＞。＞0)的离心率为g,且过点F为

椭圆的右焦点，A8为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于C,。两点.

⑴求椭圆的标准方程;

⑵若=求"B的F值;

FD

⑶设直线AB,C。的斜率分别为尤，k2,是否存在实数相，使得勺=〃编，若存在，求出加的值；若不存在,

请说明理由.

口

x

18.(12分)已知函数/(x)=Y-5x+21nx.

(1)求f(x)的极值；

(2)若/(%)=./1(%)=/(七)，且*＜々＜七，证明：X]+x2＞1.

19.(12分)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利

地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试

的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新

报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.

某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：

考试情况男学员女学员

第1次考科目二人数1200800

第1次通过科目二人数960600

第1次未通过科目二人数240200

若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且

每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫

妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.

（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为

X元，求X的分布列与数学期望.

20.（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x

与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.

1_I10

表中叱==，w=吗.

（1）根据散点图判断，y=a+云与y=c+4哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数X的回归方程

厂

类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量，成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据（4,巧），（4，%），（为，匕），…，（"”，匕），其回归直线v=c+6”的斜率和截距的最小二乘估计

_n_

£（匕-

分别为夕=i=la=v-/3u・

Z=l

21.（12分）已知AA6C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且asin（A+8）=csin史C.

2

（1）求A；

（2）若AABC的面积为G，b+c=5,求AABC的周长.

22.（10分）在①G（bcosC-a）=csin8；©2a+c-2/?cosC；③bsinA=Gasin这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,b=2区a+c=4,求AABC的面

积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

尤+ZXZ

由题意，可得y=—z2=孙，消去＞得x2+xz—2z2=O,可得一=一2,继而得到＞=代入即得解

2z2

【详解】

由x,y,z成等差数列，

Y+7

所以y=亍，又％，z,成等比数列，

所以z2=孙，消去）'得V+XZ-2Z2=O,

所以2+--2=0,解得土=1或二=一2,

[Z）zzZ

因为x,y,z是不相等的非零实数，

X7

所以土=一2,此时丁=一三，

z2

所以山=一2-'=-9.

z22

故选:A

【点睛】

本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

2.B

【解析】

基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.

【详解】

解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，

取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的

基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，

31

所以，所求的概率P=二=二.

62

故选：B.

【点睛】

本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题.

3.C

【解析】

解不等式得出集合A,根据交集的定义写出4仆民

【详解】

集合A={X|X2-2X-340}={H-14X43},

B={x|x<2},/.AnJB={x|-1<x<2}

故选C.

【点睛】

本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题.

4.C

【解析】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,计算得到答案.

【详解】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,故几何体的表面积为

12

—x3x2乃+2»x「=57.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

5.B

【解析】

由题意知，由EX=5x_?_=3,知*~3(5=)，由此能求出。(X).

m+3m+35

【详解】

3

由题意知，X〜B(5,——),

m+3

3

・・.EX=5义------=3,解得〃2=2,

阳+3

3

oqA

Q(X)=5x—x(l——)=—.

555

故选：B.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用.

6.C

【解析】

由基本音的谐波的定义可得力=叨(〃eN*),利用/■='=£_可得四(〃eN*),即可判断选项.

T2万

【详解】

由题，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波，

由/=[==，可知若/=nf25€1^*),则必有q=〃处(〃€丫)，

T2开

故选:C

【点睛】

本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.

7.A

【解析】

——3■•1.__,o,,

根据向量的线性运算可得EB=NA6—*AC,利用|丽|2=丽-及|451=1,14C1=2,ABAC=120°计算即可.

【详解】

因为丽=丽+通=一,正+通=一工*!(通+*)+通=3通一,衣,

22244

2

所以|海|2=丽2=2_AB-2X-X-ABAC+—AC

164416

9,23,、/1、1c2

=—xl2——xlx2x(——)+—x2~

168216

19

16

所以I而1=乎,

故选：A

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.

【解析】

试题分析：由题意P(-3VJV3)=68.26%,P(-6<^<6)=95.44%,P(3<^<6)=1(95.44%-68.26%)=13.59%.

故选B.

考点：正态分布

9.B

【解析】

间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有用阀，扣除郁金香在两边有2&用，即可求出结论.

【详解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A；种，

然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有A：种，

根据分步乘法计数原理有A；国，扣除郁金香在两边，

排2盆虞美人、1盆郁金香有28种，

再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有A；,

根据分步计数原理有2&A，

所以共有A；&-2A；A；=120种.

故选:B.

【点睛】

本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.

10.B

【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.

【详解】

集合M含有3个元素的子集共有盘=20,所以左=20.

在集合=1,2,3,…,3中：

最大元素为3的集合有C；=l个；

最大元素为4的集合有=3；

最大元素为5的集合有C：=6；

最大元素为6的集合有C；=10；

所以4+b2+b3+b4+么=3x1+4x3+5x6+6x10=105.

故选：B.

【点睛】

此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.

11.B

【解析】

12

由，是第二象限角且sin”一知：cos6=-s/1-sin20----,tan0=----.

13135

―,八万、tan6>+tan45°7

r)\"UU“IZT—)---------------------=------.

41-tantan45017

12.B

【解析】

根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.

【详解】

r2

•・・双曲线c与3-丁=1的渐近线相同，且焦点在y轴上,

22

...可设双曲线C的方程为菅-尢=1,一个焦点为(。,5)'

；.k+4k^25,：.k=5,故C的标准方程为上一三=1.

520

故选：B

【点睛】

此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-6

【解析】

由配=而可求死，然后根据向量数量积的坐标表示可求福•BC-

【详解】

■:AB=(1，2),AC=(-3,1),/.BC-AC—AB=(-4,-1),

贝!I丽•BC=1X(-4)+2x(-1)=-6

故答案为-6

【点睛】

本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题.

14.164

【解析】

只需令x=O,易得as,再由(X+1)3(X+2)2=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3,可得内=C；+2C：+C；.

【详解】

令x=O,得痣=(0+1)3(0+2)2=4,

而(X+1)3(X+2)2=(X+1)3[(X+1)2+2(X+1)+1]=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3；

则。4=C；+2C：+C；=5+8+3=16.

故答案为：16,4.

【点睛】

本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.

15.（0,0）

【解析】

利用动点P到直线x=-l的距离和他到点P（1,0）距离相等，，可知动点P的轨迹是以尸（1,0）为焦点的抛物线,从而可

求曲线的方程，将.V=%（x-4）,代入V=4x,利用韦达定理，可得玉々+X%=0，从而可知以A8为直径的圆经过

原点O.

【详解】

设点P（x,y）,由题意可得x+I=J（x-1）2+/,（x+1）2=（x-l）2+y2,x2+2x+\=x2-2x+l+y2,可得

V=4x,设直线AB的方程为丁=左（犬一4）,代入抛物线可得

“丁-4（2K+l）x+16左2=0,4（%,凹）,8（工2，、2），中2=16,%+x=

2"?1叫,

K

•••0>2=去（着一4）&一4）,

2

：.x^x2+y1y2=（炉+1）玉工2—4攵*（玉+x2）+16Z:

=16俨+1）-4&2^^+16/=0,

K

：,OAOB^O>以AB为直径的圆经过原点。.

故答案为：（0,0）

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，

属于中档题.

16.l<e<V5

【解析】

法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得/6加入=],4c2=|5「+|昨『，1黑乙叫耳=翳（又由双曲线

的定义得|吗|-阿司=2。,将离心率表示成关于|摩段的式子,再令局=122,则f+1_2'令

/（。=「+；,对函数求导研究函数在[2,+8）上单调性，可求得离心率的范围.

法二：令|峙|=、|明|=弓，ZMF^O,tan^>2,/;=2csin。，根据直角三角形的性质和勾股定理得

IT

乙F\MF?=3,将离心率表示成关于角。的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于tan。的函数，可求得离

心率的范围.

【详解】

法一:•忻玛=2|OM|,.•./［奶=曰2幽

:Ac=\MFtf+\MF2f,tanZMF2F1

丽+|闷

2

2=4c=|叫『+.眉2=_________/周2_________

•••阿制一|摩|=2访

222

4a2(\MFt\-\MF2\)\MFX|-2\MFt\\MF2\+\MF21'

产+1।2

\ME\/—............=1+——；-----

设鼎=C2,贝/，

/-2f+1/n-1---2N

令+所以f>2时，/'")>0，/")在［2上单调递增,

J152r

・・，+-22+7二不，/.1<e2<5，1<e<v5.

t22

法二：.「I耳用|=2|QM|,令I孙|=小闾=G，ZMF2F^0,tan^>2,(=2csin9,

1

r2=2ccos。,2。=4-r2=2c(sin0-cos0)e=---------------

sin6-cos。

1_sin2^+cos20_tan2^+1

=1+-------------------<5

2

(sin。一cosOFsin?e+cos?e-2sin6cos。tan6+1-2tan6tan0+--------2

tan。

:A<e<\/5-

故答案为：l<e4火.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的〃,4c有关，从而将离心率表示关

于某个量的函数，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2275

17.(1)—+^-=1(2)-(3)m=—

4333

【解析】

试题分析：（1）千+5=1；（2）由椭圆对称性，知小，］,所以《一1,一此时直线方程为3x-4.y-3=0,

故而=下"二'=§♦（3）设AG。,%）,则3（-玉）,一%），通过直线和椭圆方程，解得

-----1

7

3yo-3.

8-5%-3%I(急)，所以'辛=1，即存在，〃=9.

CD8+5%

5—2/5—2XQ)5+2x0□+2x03+0/_3-3o3x033

5+2x05-2x()

试题解析:

22a2

（1）设椭圆方程为x二+3=1（。＞方＞0）,由题意知：，

19

a~----1------==1।

a2破

a=22y2

解之得：所以椭圆方程为：—x+^-=1

b=y/343

（2）若AF=FC,由椭圆对称性，知A（l，|），所以1，-g

此时直线Bb方程为3x—4y-3=0,

'3x-4y-3=0,

由x2/，得7X2_6X-13=O,解得尤=?(尤=一1舍去),

I43

BF1-(-1)7

故而一13一1

-----1

7

(3)设Alx。，%),则B(—%),—%),

V22

直线A歹的方程为，=37（彳-1）,代入椭圆方程二+匕=1,得

"43

2

(15-6x0)x-8北一154+24Ao=0,

8—5XQ

因为x=x°是该方程的一个解，所以C点的横坐标左=

5—2%

又C&,无)在直线y=T4(x-i)上，所以为=产7(4一1)=^^

AQ—1AQ—1J—ZAQ

/8+5x3yo)

同理，。点坐标为(足(}

5+2x0'

即存在〃z=3,使得k,=2占.

3-3

9

18.(1)/(x)极大值为——21n2；极小值为-6+21n2；(2)见解析

4

【解析】

(1)对函数f(x)求导，进而可求出单调性，从而可求出函数的极值；

(2)构造函数F(x)^f(x)-f(l-x),xe(0,，求导并判断单调性可得F(x)<0,从而/(x)</(I-x)在(0,上

恒成立，再结合王40,；［,/伍)=/(%)</(1一%),可得到&>1一礼即可证明结论成立.

【详解】

(1)函数fM的定义域为((),+<»),/'(x)=2x-5+|=QI,-2)(X>0),

所以当Xe(o,g)u(2,+8)时,r(x)>0；当时,f\x)<0,

则f(x)的单调递增区间为和(2,+8),单调递减区间为(J,2).

故f(x)的极大值为/=；—1+2111；=-1-21112；/(0的极小值为/(2)=4—10+21112=-6+21112.

\乙JI4乙I

(2)证明油(1)知0<%<3<%2<2<刍，

设函数F(x)=f(x)-f(l-x),xe(0,,

贝(JF(x)=*2-5x+21n尤一—5(1—x)+21n(l-x),

尸=(2x-l)(x-2)+(2x-l)(x+l)=2(21)2

x\-xx(l-x)，

则?（x）＞0在j0,：］上恒成立，即F（x）在j0,；］上单调递增,

\乙）\乙）

故F(x)<F0

=0，贝!J/(x)=/(x)-/(l-x)<o,xefo,1

即/(x)</(I-x)在［0,g)上恒成立.

因为不€（。，；1,所以/（芭）＜/（1一%）,

又/（电）="与），则了（电）＜一（1一%），

因为王」一为n2〕,且/（X）在仁,21上单调递减,

所以%＞1一%,故X［+巧＞1.

【点睛】

本题考查函数的单调性与极值，考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键，属于难题.

9

19.（1）—;（2）见解析.

【解析】

事件A,表示男学员在第i次考科目二通过，事件B,表示女学员在第i次考科目二通过（其中i=l,2,3,4,5）（1）这对

夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X元可能取值为400,600,

800,1000,1200,根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望.

【详解】

事件A,表示男学员在第i次考科目二通过，

事件与表示女学员在第i次考科目二通过（其中i=1,2,3,4,5）.

（1）事件M表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.

P（M）=p（A4+4瓦5+无+可为瓦心）

=P（A4）+P（4瓦&）瓦巴）

434131431413

--X-+-X-X-+-X-X-+-X-X--

545445545544

（2）X的可能取值为400,600,800,1000,1200.

433

P（X=4OO）=P（A3B3）=-X-=-,

P（X=600）=瓦与+44员）41314327

二——X—X1——X—X—=--------,

544554100

1413411113II

P(X=800)=网用4瓦巴+4瓦瓦+)=——X—X—X1X—X—4——X—X—=-------,

5544544554100

141111137

P（X=IOOO）=P（44瓦瓦+44瓦纥）=—X—X—X—+—X—X—X—=--------,

55445544400

11111

p（X=1200）=P（44瓦瓦）—X—X—y——___

5544400,

则X的分布列为:

X40060080010001200

3271171

D

r

5100100400400

327117I

故EX=400x=+600x—+800x—+1000x——+1200x——=510.5（%）.

5100100400400

【点睛】

本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础

题.

f。八

20.(1)y=c+=更适宜(2)y=5+当(3)x为2时，烧开一壶水最省煤气

xx

【解析】

(1)根据散点图是否按直线型分布作答；

(2)根据回归系数公式得出y关于。的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程;

(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.

【详解】

(1)y=c+4更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.

X

£(叱一可(》-亍)162

<2)由公式可得：d=a-nj--------；=——=20,

(一\~U.01

c=y-dvv=20.6—20x0.78=5，

20

所以所求回归方程为y=5+-r.

x~

(3)设，=区，则煤气用量S=W=依15+当〔=5依+迎22小必亚=20人,

2()4-

当且仅当5息=-^-时取“="，即x=2时，煤气用量最小.

x

故X为2时，烧开一壶水最省煤气.

【点睛】

本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.

21.(1)60;(2)V13+5.

【解析】

(1)利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果;

(2)由面积公式，可以求得。c,再利用余弦定理，即可求得“，结合8+C即可求得周长.

【详解】

A

(1)由题设得。sinC=ccos—.

2