集合复数与常用逻辑用语

第1讲集合、复数与常用逻辑用语(对应学生用书第1页)1.(2022·全国Ⅰ卷,文1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于(A)(A){0,2} (B){1,2} (C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.(2022·全国Ⅱ卷,文2)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B等于(C)(A){3} (B){5} (C){3,5} (D){1,2,3,4,5,7}解析:A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5}.故选C.3.(2022·全国Ⅲ卷,文1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B等于(C)(A){0} (B){1}(C){1,2} (D){0,1,2}解析:因为A={x|x-1≥0}={x|x≥1},所以A∩B={1,2}.故选C.4.(2022·全国Ⅱ卷,文1)i(2+3i)等于(D)(A)3-2i (B)3+2i(C)-3-2i (D)-3+2i解析:i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.故选D.5.(2022·全国Ⅲ卷,文2)(1+i)(2-i)等于(D)(A)-3-i (B)-3+i (C)3-i (D)3+i解析:(1+i)(2-i)=2+2i-i-i2=3+i.故选D.6.(2022·全国Ⅰ卷,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为(C)(A)∀n∈N,n2>2n (B)∃n∈N,n2≤2n(C)∀n∈N,n2≤2n (D)∃n∈N,n2=2n解析:根据特称命题的否定为全称命题,知p:∀n∈N,n2≤2n,故选C.1.考查角度(1)集合:考查集合的含义与基本运算,通常与不等式的解集、函数的定义域等问题进行综合.(2)复数:考查复数的概念、四则运算和几何意义,以考查四则运算为核心.(3)常用逻辑用语:考查命题、充分必要条件、逻辑联结词、量词等基本问题.2.题型及难易度选择题、填空题,难度较小.(对应学生用书第1~3页)集合【例1】(1)(2022·广西三校联考)如果集合M={x|y=5x-20(A){x|0<x<4} (B){x|x≥4}(C){x|0<x≤4} (D){x|0≤x≤4}(2)(2022·吉林百校联盟联考)已知集合A={x|3x2-4x+1≤0},B={x|y=4x(A)34,1 (B)3(C)13,34 (D)1(3)(2022·陕西延安模拟)全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,2},B={x|x2-1=0},则图中阴影部分所表示的集合为()(A){-1,0,1} (B){-1,0}(C){-1,1} (D){0}解析:(1)因为5x-20≥0,所以x≥4,则M={x|x≥4},而N={x|x>0},所以M∩N={x|x≥4}.故选B.(2)因为A={x|3x2-4x+1≤0}=x13≤x≤1B={x|y=4x-3}={x|4x-3≥0}=x所以A∩B=x13≤x≤1∩xx≥34=x3(3)B={x|x2-1=0}={-1,1},阴影部分表示的集合为∁U(A∪B),A∪B={-2,-1,1,2},∁U(A∪B)={0},故选D.(1)集合试题以集合的运算为核心,解题时首先求出涉及的集合,再根据集合运算的规则进行具体运算.(2)注意A∩B,A∪B,(∁UA)∩B,A∩(∁UB),∁U(A∪B)等的Venn图表示.热点训练1:(1)(2022·湖南湘潭联考)设全集U=R,集合A={x|log2x≤2},B={x|(x-2)(x+1)≥0},则A∩(∁UB)等于()(A)(0,2) (B)[2,4](C)(-∞,-1) (D)(-∞,4](2)(2022·广州综合模拟)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=2x+1},则A∩B中元素的个数为()(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:(1)集合A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4},B={x|(x-2)(x+1)≥0}={x|x≤-1或x≥2},∁UB={x|-1<x<2}.所以A∩(∁UB)={x|0<x<2}=(0,2).故选A.(2)因为A∩B=(x,y)x=(=(0,1),-45,-3所以A∩B中含2个元素.故选B.复数【例2】(1)(2022·山东潍坊三模)若复数z满足z(2-i)=(2+i)(3-4i),则|z|等于()(A)5 (B)3 (C)5 (D)25(2)(2022·四川成都一模)对于两个复数α=1-i,β=1+i,有下列四个结论:①αβ=1;②αβ=-i;③αβ=1;④α2+β(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(3)(2022·安徽江南十校二模)已知复数z满足z2=12+16i,则z的模为()(A)20 (B)12 (C)25 (D)23解析:(1)由题意z(2-i)=(2+i)(3-4i)=10-5i,则z=10-5i(2)对于两个复数α=1-i,β=1+i,αβ=(1-i)·(1+i)=2,故①不正确;αβ=1-i1+i=(αβ=|-i|=1,故③α2+β2=(1-i)2+(1+i)2=1-2i-1+1+2i-1=0,故④正确.故选C.(3)设z=a+bi,a,b∈R,则由z2=12+16i,得a2-b2+2abi=12+16i,则a2-b2即|z|=a2+b2=(1)复数的考查核心是四则运算,特别是乘法和除法运算,解题中首先要确保运算的准确性.(2)含有单个复数z的方程类似实数中解一元一次方程,直接求解即可,如果方程中含有z,z,|z|,z2等,就要设复数z=a+bi(a,b∈R),然后利用两复数相等的充要条件得出关于实数a,b的方程组,求出a,b后再得出复数z.热点训练2:(1)(2022·安徽合肥一中最后一卷)已知a∈R,i是虚数单位,复数z的共轭复数为z,若z=a+3i,z·z=4,则a等于()(A)3 (B)-3(C)7或-7 (D)1或-1(2)(2022·江西南昌二模)若实数x,y满足x1+(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限(3)(2022·河北石家庄二模)若复数z满足2z+z=3-i,其中i为虚数单位,则|z|等于()(A)2 (B)3 (C)2 (D)3解析:(1)由z=a+3i,得z=a-3i,又z·z=4,可得a2+3=4,所以a=±1,故选D.(2)因为x1+所以x+y+yi=(1+i)(2+i)=1+3i,所以x解得y=3,x=-2.则x+yi在复平面内对应的点(-2,3)位于第二象限.故选B.(3)设复数z=x+yi(x,y∈R),则2z+z=2x+2yi+x-yi=3x+yi=3-i,则x=1,y=-1,所以z=1-i,所以|z|=2,故选C.常用逻辑用语考向1命题与充要条件【例3】(1)(2022·安徽芜湖5月模拟)以下命题正确的个数是()①函数f(x)在x=x0处导数存在,若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则p是q的必要不充分条件;②实数G为实数a,b的等比中项,则G=±ab;③两个非零向量a与b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角;④平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫抛物线.(A)3 (B)2 (C)1 (D)0(2)(2022·豫南九校质考二)命题p:x,y∈R,x2+y2<2,命题q:x,y∈R,|x|+|y|<2,则p是q的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:(1)若f'(x0)=0,则x=x0不一定是f(x)的极值点,若x=x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0,故p是q的必要不充分条件,故①正确;实数G为实数a,b的等比中项,则G=±ab,故②正确;两个非零向量a与b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或夹角为π,故③错误;平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹,当点不在直线上时叫抛物线,当点在直线上时,为直线,故④错误.故选B.(2)如图,不等式x2+y2<2,表示图中圆面O(不包括边界),不等式|x|+|y|<2表示正方形ABCD内部.可知p⇒q,q⇒/p.故选A.(1)命题真假的判断需要综合运用所学知识,在判断命题真假时要特别注意各种特殊情况,如a·b>0时,a,b的夹角为锐角或者0,b2=ac时,如果b=0,a,c至少有一个为0时,a,b,c就不能成等比数列等.(2)要善于从集合的观点理解充分条件和必要条件,如果满足p的对象的集合是满足q的对象的集合的真子集,则p是q的充分不必要条件、q是p的必要不充分条件,如果满足p,q的对象的集合相等,则p,q互为充要条件,如果满足p,q的对象的集合互不包含,则p既不是q的充分条件也不是必要条件.考向2逻辑联结词与量词【例4】(1)(2022·湖南益阳联考)已知命题p:若复数z满足(z-i)(-i)=5,则z=6i;命题q:复数1+i1+2i(A)(p)∧(q) (B)(p)∧q(C)p∧(q) (D)p∧q(2)(2022·湖南益阳4月调研)已知命题p:“∀a≥0,a4+a2≥0”,则命题p为()(A)∀a≥0,a4+a2<0 (B)∀a≥0,a4+a2≤0(C)∃a0<0,a04+a02<0 (D)∃a0≥0,解析:(1)因为(z-i)(-i)=5,所以z=5-所以命题p为真,因为复数的虚部是实数,所以命题q为假.故选C.(2)由已知,命题p为全称命题,其否定需由特称命题来完成,并将其结论否定,即p:∃a0≥0,a04+(1)“或”命题一真即真、“且”命题一假即假、“非”命题一真一假.(2)对含有量词的命题进行否定时注意:只改全称量词为存在量词、存在量词为全称量词,并否定结论,特别注意不要否定量词后面的内容,如本例(2)中不要否定∀a≥0中的a≥0.热点训练3:(1)(2022·陕西省西工大附中六模)下列说法正确的是()(A)“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”(B)在△ABC中,“A>B”是“sin2A>sin2B”的必要不充分条件(C)“若tanα≠3,则α≠π3(D)∃x0∈(-∞,0),使得3x0<(2)(2022·广东珠海一中联考)下列选项中,说法正确的是()(A)若a>b>0,则lna<lnb(B)向量a=(1,m),b=(m,2m-1)(m∈R)垂直的充要条件是m=1(C)命题“∀n∈N*,3n>(n+2)·2n-1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n+2)·2n-1”(D)已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,则命题“若f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题(3)(2022·河北省石家庄二中模拟)已知函数f(x)=x1+|x|+ex,则x1+x2>0是f(x1)+f(x2)>f(-x(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:(1)A中的否命题应该是:“若a≤1,则a2≤1”,故A不正确;选项B,在△ABC中,A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB,应该是充要条件,故B不正确;C中,“若tanα≠3,则α≠π3”的逆否命题“若α=π3,则tanα=D中,由指数函数y=34x的性质可知,x0∈得34

x0>1,即3(2)函数f(x)=lnx是增函数,a>b>0,所以lna>lnb,选项A错误;a⊥b⇔a·b=0⇔(1,m)·(m,2m-1)=0⇔m+m(2m-1)=0⇔m=0,选项B错误;C项中命题的否定是∃n∈N*,3n≤(n+2)·2n-1,选项C错误;D中命题的逆命题是已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,若f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,则f(a)f(b)<0,由反例“f(x)=x2,x∈(-1,1)”可知逆命题是错误的,是一个假命题.故选D.(3)令h(x)=x1+当x>0时,h(x)=x1+x=1-而h(0)=0,故h(x)在R内单调递增,所以f(x)=x1+|x易知f(-x)是减函数,令g(x)=f(x)-f(-x),知g(x)是增函数,则x1+x2>0⇔x1>-x2⇔g(x1)>g(-x2)⇔f(x1)-f(-x1)>f(-x2)-f(x2)⇔f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2).故选C.【例1】(1)(2022·福建龙岩4月质检)已知集合A={x|x2-ax≤0,a>0},B={0,1,2,3},若A∩B有3个真子集,则a的取值范围是()(A)(1,2] (B)[1,2)(C)(0,2] (D)(0,1)∪(1,2](2)(2022·河南名校压轴考)已知集合A={x|x>a},B={x|x2-4x+3≤0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是()(A)(3,+∞) (B)[3,+∞)(C)(-∞,1] (D)(-∞,1)(3)(2022·浙江教育联盟5月适应考)已知集合A={1,2},B={x|x2-(a+1)x+a=0,a∈R},若A=B,则a等于()(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2解析:(1)A={x|x2-ax≤0,a>0}={x|0≤x≤a},B={0,1,2,3},由A∩B有3个真子集,可得A∩B有2个元素,所以1≤a<2,即a的取值范围是[1,2),故选B.(2)由题得B={x|1≤x≤3}.因为A∩B=B,所以B⊆A,所以a<1.故选D.(3)因为A={1,