过控第二章数学模型

主要内容了解过程建模的基本概念；掌握被控过程机理建模的方法与步骤；熟悉被控过程的自衡和非自衡特性；熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表达式；重点掌握单容、多容对象的特点、被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图方法和数据处理。第二章被控过程特性及其数学模型

被控过程不同，其过程特性也不相同。一般可分为：

2.1被控过程的特性自衡特性无自衡特性单容特性多容特性振荡非振荡2.1被控过程的特性（1）自衡的非振荡过程自衡：在原平衡状态出现干扰时，无需外加任何控制作用，被控过程能够自发地趋于新的平衡状态。自衡非振荡：阶跃输入信号作用下，输出响应曲线能没有振荡地从一个稳态趋向于另一个稳态.2.1被控过程的特性（1）自衡的非振荡过程具有纯滞后的一阶惯性环节具有纯滞后的二阶非振荡环节具有纯滞后的高阶非振荡环节过程的静态增益（或放大系数）过程的纯滞后时间过程的时间常数clearallnum=[1];den=[2,1];G=tf(num,den);set(G,'InputDelay',1);G[y0,t0]=step(G,0:0.01:10);plot(t0,y0);clearallnum=[2];den=[2,3,1];G=tf(num,den);set(G,'InputDelay',2);G[y0,t0]=step(G,0:0.01:20);plot(t0,y0);clearallnum=[1];den=[4,4,1];G=tf(num,den);set(G,'InputDelay',1);G[y0,t0]=step(G,0:0.01:20);plot(t0,y0);2.1被控过程的特性（2）无自衡的非振荡过程无自衡：在原平衡状态出现干扰时，当没有外加任何控制作用时，被控过程不能重新到达新的平衡状态

无自衡非振荡：阶跃输入信号作用下，输出响应曲线会没有振荡地从一个稳态一直上升或下降，不能达到新的稳态2.1被控过程的特性（2）无自衡的非振荡过程具有纯滞后的一阶积分环节具有纯滞后的二阶非振荡环节具有纯滞后的高阶非振荡环节过程的纯滞后时间过程的时间常数clearallnum=[1];den=[1,0];G=tf(num,den);set(G,'InputDelay',1);G[y0,t0]=step(G,0:0.01:5);plot(t0,y0);clearallnum=[1];den=[1,1,0];G=tf(num,den);set(G,'InputDelay',1);G[y0,t0]=step(G,0:0.01:5);plot(t0,y0);clearallnum=[1];den=[1,2,1,0];G=tf(num,den);set(G,'InputDelay',1);G[y0,t0]=step(G,0:0.01:5);plot(t0,y0);（3）自衡的振荡过程2.1被控过程的特性自衡振荡：阶跃输入信号作用下，输出响应曲线呈现衰减振荡特性，最终被控过程趋于新的稳态值。clearallnum=[1];den=[1,1,1];G=tf(num,den);set(G,'InputDelay',1);G[y0,t0]=step(G,0:0.01:20);plot(t0,y0);阶跃输入信号作用下，被控过程的输出先降后升或先升后降，即过程响应曲线在开始的一段时间内变化方向与以后的变化方向相反，（4）具有反向特性的过程2.1被控过程的特性正向积分特性反向惯性特性冷水量对水位的直接影响冷水量影响水中气泡量，使水位发生变化反向特性自衡特性传递函数的典型形式一阶惯性环节二阶惯性环节二阶惯性+

纯滞后环节一阶惯性+

纯滞后环节无自衡特性传递函数的典型形式一阶环节二阶环节二阶+纯滞后环节一阶+纯滞后环节被控过程的数学模型----过程的输入变量与输出变量之间的定量关系。2.2被控过程的数学模型—概念作用于过程的控制作用和干扰作用过程的被控变量

控制通道：控制作用到输出变量的信号联系。干扰通道：干扰作用到输出变量的信号联系。①参量形式模型微分方程形式:传递函数形式:差分方程形式:脉冲传递函数:

②非参量形式模型：曲线、表格等2.2被控过程的数学模型—类型白箱方法-----解析法（机理演绎法）黑箱方法-----实验辨识法（系统辨识与参数估计方法）灰箱方法-----解析法与实验辨识相结合的混合方法2.2被控过程的数学模型—方法建模的基本方法解析法-------根据被控过程的内在机理，运用已知的静态和动态物料平衡、能量平衡等关系，用数学推理的方法求取被控过程的数学模型。解析法单位时间内进入被控过程的物料或能量,减去单位时间内从被控过程流出的物料或能量,等于被控过程内物料或能量的变化率。不足：需要有足够和可靠的验前知识，否则，推导的结果就可能出现失真。优点：在过程控制系统没有建立之前就先推导出数学模型，对于系统事先设计和方案论证十分有利。过程辨识-----根据测试数据确定模型结构（包括形式、方程阶次及时滞等）。参数估计-----在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定模型的参数。实验辨识法-------根据过程输入、输出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计得出数学模型。实验辨识法（1）对被控过程中机理比较清楚的部分采用机理演绎法推导其数学模型，对机理不清楚或不确定的部分采用实验辨识法获得其数学模型。（2）先通过机理分析确定模型的结构形式，再通过实验数据来确定模型中各个参数的大小。混合法建模步骤根据建模对象和建模使用目的作合理假设根据过程的内在机理，建立静态和动态平衡关系方程模型简化（模型降阶处理；线性化）2.3解析法建立过程数学模型—步骤明确过程的输入变量、输出变量和中间变量消去中间变量，求取过程的数学模型自衡：被控过程在扰动作用下，平衡状态被破坏后，不需要操作人员或仪表的干预，依靠自身能够恢复平衡。无自衡：平衡状态被破坏后，被控量会不断变化下去，不能再平衡。2.3解析法建立过程数学模型—单容过程单容过程-------只有一个贮蓄容量的过程。例2-1某水箱系统如图所示。输入液体体积流量Q1通过阀门1的开度来改变。

输出液体体积流量Q2通过阀门2的开度来改变。

液位高度h为被控量。

要求：试列写h与Q1之间的数学表达式。2.3解析法建立过程数学模型—单容过程解根据动态物料平衡关系:表示为增量形式有:

—偏离某平衡状态的增量水箱截面积2.3解析法建立过程数学模型—单容过程静态时：单位时间内水箱内液体流入量与流出量之差水箱内液体容量变化率假定q2与h近似成线性正比关系，与阀门2处的液阻R2

成反比关系，则2.3解析法建立过程数学模型—单容过程根据压力关系:阀门阻力，即流量增加1m2/s时的液位升高量拉氏变换，得到传递函数形式经整理得到单容液位过程的微分方程增量表示2.3解析法建立过程数学模型—单容过程综合上述两类关系：(1)令：过程的时间常数T=R2A=R2C

过程的放大系数K=R2过程的容量系数C=A则：单容自衡过程可以采用一阶惯性环节加以描述。2.3解析法建立过程数学模型—单容过程容量：贮存能力大小，即引起单位被控量变化时，被控过程贮存量变化程度。单容过程传递函数的结构方框图Q2(s)Q1(s)H(s)水箱的输入量/输出量之间的动态平衡关系阀2的静压力关系2.3解析法建立过程数学模型—单容过程假设流经长度为l的管道所需时间为τ0，得出具有纯时延的单容过程的微分方程和传递函数分别为推广1：考虑输入液体体积流量为Q0

当进水阀1的开度产生变化后，需流经长度为l的管道才能进入水箱，使液位发生变化。T0=R2AK0=R2C=Aτ0与l有关2.3解析法建立过程数学模型—单容过程参照：无时延自衡有纯时延自衡0tt1QOt0QOOthOth2.3解析法建立过程数学模型—单容过程推广2：考虑输出液体体积流量为Q2通过泵来调节液位高度变化时，出口处静压力不会对泵产生影响，Q2不变。解

根据动态物料平衡关系:定量泵导致:整理后得到其增量化方程为：单容非自衡过程可以采用积分环节加以描述。2.3解析法建立过程数学模型—单容过程得到其传递函数为：无时延非自衡有纯时延非自衡0tt1QOt0QOOthOth意义：进水量增加，出水量不变，液位会升高，直到溢出。2.3解析法建立过程数学模型—单容过程多容过程------由多个贮蓄容量组成的被控过程。2.3解析法建立过程数学模型—多容过程例2-3

图所示为一分离式双容液位槽。过程输入量为Q1过程输出量第二个液位槽的液位h2假设：不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所造成的时间延迟，试求h2与Q1之间的数学关系。2.3解析法建立过程数学模型—多容过程解根据动态平衡关系，有水槽1水槽2阀2阀32.3解析法建立过程数学模型—多容过程令：水槽1的过程时间常数T1=R2A1=R2C1水槽2的过程时间常数T2=R3A2=R3C2过程的放大系数K=R3获得双容液位过程的传递函数为双容自衡过程可以采用二阶环节加以描述。2.3解析法建立过程数学模型—多容过程分析：

1）两个具有负实根的惯性环节串联，即ξ=1过阻尼，响应不振荡。2）双容过程在两个槽之间存在液体流通阻力，延缓了h2的变化，导致响应过程一开始较慢，较单容过程时延大。3）随着相连接容器的增加，过程时间延迟越长。4）模型简化：采用单容过程近似。2.3解析法建立过程数学模型—多容过程拐点推广1：考虑n个水槽（容器）依次分离式连接类推出多容过程（n个）的传递函数若各个容器的容量系数相同，各阀门的液阻也相同，则注：多容过程模型简化过程与双容过程简化为单容过程方法类似。2.3解析法建立过程数学模型—多容过程过程的总放大系数各单容过程的时间常数假设流经管道所需时间为τ1，则具有纯时延多容过程传递函数为推广2：考虑两水槽之间的管道长度

当阀2的开度变化后，需流经长度为l的管道才能进入贮罐2，使液位h2发生变化。T0

τ0+

τ1Oth2h2(∞)2.3解析法建立过程数学模型—多容过程推广3：考虑输出液体体积流量为Q3通过泵来调节

------水槽1的液位高度变化，会对Q2产生影响。----水槽2的液位高度变化，不会对Q3产生影响。解

根据多容过程类推关系:得到其传递函数为：注：只要多容过程中存在一个无自衡环节则为无自衡多容过程。2.3解析法建立过程数学模型—多容过程例2-4

一串并联式双容液位槽。要求：试求h2与Q1之间的数学描述。2.3解析法建立过程数学模型—多容过程R2同时受到h1和h2的影响。解根据动态平衡关系，有水槽1水槽2阀2阀32.3解析法建立过程数学模型—多容过程令：水槽1的过程时间常数T1=R2A1=R2C1水槽2的过程时间常数T2=R3A2=R3C2过程的放大系数K=R3获得串联双容液位过程的传递函数为水槽1与水槽2之间的关联时间常数R3C12.3解析法建立过程数学模型—多容过程本过程的阶跃响应仍是单调上升的，传递函数可等效为等效时间常数为2.3解析法建立过程数学模型—多容过程使用条件！工艺过程复杂，物料平衡关系对应微分方程困难。！工艺过程特性为高阶微分方程，存在非线性，求解困难。！建模简化中存在近似，导致模型不精确。2.4实验辨识法建立过程数学模型目的及要求先验知识实验设计最终模型信号发生存储数据测量辨识方法模型验证过程模型模型结构假定模型结构确定2.4实验辨识法建立过程数学模型—步骤内在规律阶跃响应法------通过操作过程的调节阀，使过程的控制输入产生一个阶跃变化，将被控量随时间变化的响应曲线用记录仪或其它方法测试记录下来，再根据测试记录的响应曲线来求取过程输出与输入之间的数学关系。响应曲线法-------通过测取过程的阶跃响应或脉冲响应曲线辨识数学模型的方法。响应曲线法辨识过程模型--阶跃响应法注意事项1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态2）在相同条件下应重复多做几次试验，减少随机干扰的影响3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的非线性程度4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段时间再做第二次试验5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影响试验结果。模型结构的确定在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构。对于大多数过程，数学模型（传递函数）为注意：

在保证辨识精度的前提下，数学模型结构应尽可能简单自衡对象无自衡对象（1）根据阶跃响应确定一阶环节参数直角坐标图解法半对数坐标图解法响应曲线法辨识过程模型--阶跃响应法设阶跃输入变化量为x0，一阶无时延环节的阶跃响应为以K0x0/T0为斜率作切线，在t=T0处与y(∞)相交。响应曲线法辨识过程模型--阶跃响应法（1）根据阶跃响应确定一阶环节参数---直角坐标图解法

分析过程趋于新的稳态：t=0时斜率：t=T0时：①由阶跃响应曲线确定y(∞)

，再由K0=y(∞)/x0确定K0。②由t=0处作切线，其与y(∞)的交点所对应的时间为T0（OB段）。tOABT0响应曲线法辨识过程模型--阶跃响应法（1）根据阶跃响应确定一阶环节参数---直角坐标图解法

tOtO扩展：由于t=0处，阶跃响应的数值小，切线不易确定。采用三个典型点取值的平均来确定T0。响应曲线法辨识过程模型--阶跃响应法（1）根据阶跃响应确定一阶环节参数---直角坐标图解法

三个典型点响应曲线法辨识过程模型--阶跃响应法（2）根据阶跃响应确定具有纯滞后的一阶环节参数ABCDtOT0响应曲线法辨识过程模型--阶跃响应法（2）根据阶跃响应确定具有纯滞后的一阶环节参数---图解法

拐点在t=0时斜率几乎为零，之后斜率逐渐增大，达到某点（称为拐点）后斜率又逐渐减小，曲线呈现S形状。转换y(t)为相对值：tO1响应曲线法辨识过程模型--阶跃响应法（2）根据阶跃响应确定具有纯滞后的一阶环节参数---计算法

选取两个不同的时间点：联立求解取自然对数响应曲线法辨识过程模型--阶跃响应法（2）根据阶跃响应确定具有纯滞后的一阶环节参数---计算法

最小二乘辨识过程模型最小二乘法是1795年高斯在预测星体运行轨道最先提出的，它奠定了最小二乘估计理论的基础．到了20世纪60年代瑞典学者Austron把这个方法用于动态系统的辨识中，在这种辨识方法中，首先给出模型类型，在该类型下确定系统模型的最优参数。设时不变SISO系统的数学模型为

其中扰动量e(k)为均值为0的不相关的白噪声。最小二乘辨识过程模型最小二乘辨识过程模型将上式写成差分方程的形式：令则上式可以写为：最小二乘辨识过程模型

将上述式子扩展到N个输入、输出观测值{u(k),y(k)},k=1,2,…,N+n,将其代入到上式中，写成矩阵的形式为：其中：最小二乘