高中数学必修2-3第二章2.12.1.1离散型随机变量

第二章随机变量及其分布2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量问题导航(1)随机变量和离散型随机变量的概念是什么？随机变量是如何表示的？(2)随机变量与函数有什么区别与联系？1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个________试验结果都用一个________确定的数字表示．在这个对应关系下，________数字随着________试验结果的变化而变化．像这种随着________试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母________X，Y，ξ，η，„表示．2．离散型随机变量所有取值可以________一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．()(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．()答案：(1)×(2)√(3)×2．下列变量中，A．掷一不是随机变量的是()枚骰子，所得的点数B．一射手射击一次的环数C．某日上证收盘指数D．标准状态下，水在100℃时会沸腾答案：D3．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是()A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点答案：D4．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．答案：共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品1．对随机变量的再认识(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．2．离散型随机变量的特征(1)可用数值表示．(2)试验之前可以判断其出现的所有值．(3)在试验之前不能确定取何值．(4)试验结果能一一列出．随机变量的概念判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；(2)2016年1月1日到6月1日期间所查酒驾的人数；(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1000cm3的球半径长．[解](1)旅客人数可能是0，1，2，„，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，„，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1000cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．扫一扫进入91导学网()随机变量的概念1．(1)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率解析：选C.对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C0，1，2，是随机变量．(2)指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．意掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；(最上面的数字)；中取到次品的件数可能是①任②掷一枚质地均匀的正方体骰子出现的点数③某个人的属相随年龄的变化关系．解：①任意掷一枚质地均匀的硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②掷一枚质地均匀的骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．离散型随机变量的判定指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30m有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获奖等次(3)一天内气温的变化值X.[解](1)桥面上的路灯是可数的，编号(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)一天内的气温变化值X，可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机X；X可以一一列出，是离散型随机变量．变量．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．2．下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某网站未来1小时内的经过的车辆数X是一个随机变量；点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为()A．①②B．③④D．②④1小时内经过该收费站的车辆可一一列出．②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出．③是，1小时内网站的访问次数可一一列出．④不1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．C．①③解析：选C.①是，因为是，用随机变量描述随机现象写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有2个白球和5个球黑，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[解](1)ξ可取0，1，2.ξ＝，表示取出的3个球中有个白球，iii3－个黑球，其中i＝0，1，2.(2)设所取卡片上的数字之和为X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片；„X，则X＝3，4，5，„，11.X＝11，表示取出标有5，6的两张卡片．解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是()A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点解析：选D.抛掷2枚骰子，其中1枚是x点，另1枚是y点，其中x，y＝1，2，„，6.而ξ＝x＋y，1，x＝2，x＝ξ＝4⇔或y＝3y＝2.(2)写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．①在2016年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；②射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．解：①X可能取值0，1，2，3，4，5，X＝i表示i人，其中i＝0，1，2，3，4，5.②ξ可能取值为0，1，当ξ＝0时，表面试通过的有明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．易错警示因对随机变量的部分取值遗漏而致误(2015·南充高二检测)一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ的试验结果有________种．[解析]从6个球中选出当ξ＝3时，另两个球从1，2中选取，有一种抽法；当ξ＝4时，另两个球从1，2，3中任取两个球，有＝3种；3个球，C23当ξ＝5时，另两个球从1，2，3，4中任取两个球，有C＝6种；24当ξ＝6时，另两个球从1，2，3，4，5中任取两个球，有C＝10种．25所以，ξ的试验结果共有1＋3＋6＋10＝20种．[答案]20[错因与防范]本题易遗漏ξ＝3，4，5的情况；对题目中给出的条件作出正确判断是篮球的最大号码”指的是“随机解决数学问题的关键，如本例中“以ξ表示取出的抽取3个篮球”中的最大号码，而不是ξ＝6.4．袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，求随机变量的取值．解：设所需要的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，„，10，11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，„，11.1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和D．倒出的三个小球的颜色的种数解析：选D.A.小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；C.三个小球的质量D.颜色的种数是一个离散型B.倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；之和是一个定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量了；随机变量．2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，取后不放回X，则X的可能取值为()B．1，2，3，„，D．1，2，„，解析：选B.因红球共有6个，在取到白球前可取6次，第X可能取值有1，2，3，„，7.直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量A．1，2，3，„，67C．0，1，2，„，557次取球只能取白球停止，所以3．下列随机变量中是离散型随机变量的是________．①某鱼塘所养的鲤鱼中，重量在2.5千克以上的条数X；②任意取直线y＝x上的整点的个数X；③放学后，小明同学离开学校大门的距离X；④网站中，歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数解析：③中距离X可取某区间内的任意值，∴③中X不是离散型随机变量．①②④的X可以一一列举，且②中的X是无限的．答案：①②④4．某篮球运动员在罚球时，罚中ξ是一个随机变量．(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；(2)若记该队员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示在5次罚球中分别罚中0次，1次，2次，3次，4次，5次．(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示X.1球得2分，罚不中得0分，该队员在5次罚球中命中的次数解：5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．[A.基础达标]1．出给下列四个命题：①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．其中正确的个数是()A．1C．3B．2D．4解析：选C.①②③是正确的，④中方程x－2x－3＝0的根有2个是确定的，不是随机2变量．2．抛掷两枚骰子一次，()A．0≤X≤5，X∈NB．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈ND．－5≤X≤5，X∈Z解析：选D.两次掷出点数均可取∴X∈[－5，5]，X∈Z.3．袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为1～6所有整数，A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率解析：选B.袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到球的个数是一个固定的A，取数字，不是随机变量，故不选到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D不正确，故选B.4．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红X，则表示“放回5个球”的事件为()球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为A．X＝4C．X＝6B．X＝5D．X≤4解析：选C.第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球„„共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.5．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中X所有可能值的个数是()任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则A．6C．10B．7D．25解析：选C.X的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．6．(2015·济南高二检测)Y＝2X为散离型随机变量，Y的取值为1，2，3，4，„，10，则X的取值为______________________．1由题意可知X＝Y.2解析：又Y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，132527292故X∈，1，，2，，3，，4，，5.21232527295答案：，1，，2，，3，，4，，27．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．解析：若答对0个问题得分－300；1个问题得分－100；2个问题得分100；若答对若答对若问题全答对得分300.答案：－300，－100，100，3008．某射手射击一次所击中的环数为ξ(取整数)，则“ξ＞7”表示的试验结果是________．解析：射击一次所中环数ξ的所有可能取值为0，1，2，„，10，故“ξ＞7”表示的试验结果为“该射手射击一次所中环数为8环、9环或10环”．答案：射击一次所中环数为8环或9环或10环9．(2015·南京高二检测)小王钱夹中只剩有20元、10元、X表示这两张金额之和．写出5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．解：X的可能取值为X＝6，表示抽到的是X＝11，表示抽到的是1元和10元；X＝15，表示抽到的是6，11，15，21，25，30.其中，1元和5元；5元和10元；X＝21，表示抽到的是X＝25，表示抽到的是1元和20元；5元和20元；X＝30，表示抽到的是10．一个袋中装有10元和20元．5个白球和5个黑球，从中任取ξ的值；3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的(2)若规定抽取都加上解：(1)ξ0123结果取得个黑球取得1个2个黑球取得1个黑球取得3白球2个白球3个白球{0，1，2，3}，∴η对应的(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的可能取值为{6，11，16，21}，显然η为离散型随机变量．[B.能力提升]5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中B．第5次未击中1．某人进行射击，共有则“目标目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标解析：选C.ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．2．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A．20B．24D．18C．4解析：选B.由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A＝24种．443．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是________．解析：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3