湖南省株洲市2022年中考数学试卷

湖南省株洲市2022年中考数学试卷

阅卷入

——、单选题（共10题；共20分）

得分

1.（2分）-2的绝对值是（）

A.2BC--D.-2

-12

2.（2分）在0、g、一1、鱼这四个数中，最小的数是（）

A.0B-1C.-1D.V2

3.（2分）不等式4%-1<0的解集是（).

A.x>4B.x<4C.X"D.x<

4.（2分）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、

63、69、55、65,则该组数据的中位数为（)

A.63B.65C.66D.69

5.（2分）下列运算正确的是（）

A.a2-a3=a5B.(Q3)2=Q5

6

C.(ab)2=ab2D.—nj=a3(a*0)

6.（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y=5%+1的图象与y轴的交点的坐标为（）

11

A.(0,-1)B.(弋，0)C.隽，0)D.(0,1)

7.(2分)对于二元一次方程组('二：一照，将①式代入②式，消去y可以得到()

(,x+2y=7(2)

A.x+2x—1=7B.x+2x-2=7C.x+x-1=7D.x+2x+2=7

8.（2分）如图所示，等边△ABC的顶点4在。。上，边48、AC与。。分别交于点D、E,点F是劣弧

5E上一点，且与。、E不重合，连接OF、EF,则/DFE的度数为（）

A.115°B.118°C.120°D.125°

9.（2分）如图所示，在菱形ABC。中，对角线ZC与BD相交于点0,过点C作CE||8。交48的延长线

C.BC=^1AED.BE=CE

10.（2分）已知二次函数y=a/+放一c（a力0）,其中匕>0、c>0,则该函数的图象可能为

（）

阅卷入

二、填空题（共8题；共8分）

得分

11.（1分）计算：3+（-2）=.

12.（1分）因式分解：x2-25=.

13.（1分）某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能

中奖.若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是.（用最简分数表示）

14.（1分）4市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表:

人员领队心理医生专业医生专业护士

占总人数的百分比4%目56%

则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为.

15.（1分）如图所示，点。在一块直角三角板4BC上（其中乙4BC=30。），OMLAB于点M,ON1

BC于点N,若OM=ON,则乙4BO=度.

16.（1分）如图所示，矩形4BCD顶点4、。在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称

轴，且矩形4BCD的面积为6.若反比例函数y=1的图象经过点C,贝味的值为.

17.（1分）如图所示，已知NMON=60。，正五边形4BCDE的顶点4、B在射线OM上，顶点E在射线

0N上，则NAE0=度.

OABM

18.（1分）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容''之"方田圆池结角池图“方田

一段，一角圆池占之意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形

一角的两边均相切）”，如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线71B与。。相交于点M、N（点N

在点M的右上方），若4B的长度为10丈，。。的半径为2丈，则BN的长度为丈.

为鹏二同“鉴”

阅卷人

得分

19.（5分）计算：（一1）2°22+g_2sin30°.

20.（5分）先化简，再求值：（1+2）.7累+“其中％=4.

21.（10分）如图所示，点E在四边形ZBC。的边上，连接CE,并延长CE交B4的延长线于点F,已

知力E=DE,FE=CE.

（1）（5分）求证：△4EF三△£）£（；；

（2）（5分）^AD||BC,求证：四边形ABC。为平行四边形.

22.（10分）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段4C至山谷点C处，再从

点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处.如图2所示，将直线/视为水平面，山坡①的坡角乙4cM=

30°,其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i=L1,BNA.I于N,且CN=&千米.

（1）（5分）求NACB的度数；

（2）（5分）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.

23.（15分）某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与

民主测评，且民主测评的结果无弃权票.某作品的评比数据统计如下：

专业评委给分（单位：分）

①88

②87

③94

④91

⑤90

（1）（5分）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；

（2）（5分）对于该作品，问元的值是多少？

（3）（5分）记“民主测评得分”为力“综合得分”为S,若规定：①?="赞成”的票数X3分+“不赞

成”的票数X（-1）分；②S=0.7元+0.39.求该作品的“综合得分”S的值.

24.（10分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，点A、B分别在函数y1=£（%<0）、y2=^（%>

0,k>0）的图象上，点C在第二象限内，AClx轴于点P,3。，丁轴于点、，连接力B、PQ,已知点

A的纵坐标为-2.

（1）（5分）求点A的横坐标；

（2）（5分）记四边形4PQB的面积为S,若点B的横坐标为2,试用含k的代数式表示S.

25.（10分）如图所示，△ABC的顶点4、B在。。上，顶点C在。。外，边AC与。。相交于点D,

ABAC=45°,连接OB、0D,已知ODIIBC.

（1）（5分）求证：直线BC是。。的切线；

（2）（5分）若线段0。与线段4B相交于点E,连接BD.

①求证：AABDFDBE；

②若BE=6,求。。的半径的长度.

26.（10分）阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦・韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的

关系，可表述为“当判别式0时，关于％的一元二次方程a/+bx+c=0（a芋0）的两个根Xl、%2

有如下关系：X1+x2=--,=今.此关系通常被称为“韦达定理”.已知二次函数y=a/+bx+

CLa

c(a>0).

（1）（5分）若a=l,b=3,且该二次函数的图象过点（1,1）,求c的值；

（2）（5分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与久轴相交于不同的两点

4Q1，0）、B（%2，0）,其中41<0<久2、kJ>|x2l>且该二次函数的图象的顶点在矩形力BFE的边

EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N,BE与y轴相交于点P,且满足tan乙4BE=*

①求关于》的一元二次方程a/+bx+c=0的根的判别式的值；

②若NP=2BP,令T=[+当c，求7的最小值.

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：-2的绝对值是2,故答案为：A.

【分析】一个负数的绝对值等于它的相反数。

2.【答案】C

【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得：72>|>0>-1,

.♦.在0、4、一1、四这四个数中，最小的数是一L

故答案为：C.

【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两

个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：4x-l<0

移项得:4x<l

不等号两边同时除以4,得：x<l

故答案为：D.

【分析】根据移项、系数化为1的步骤可得不等式的解集.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：将原数据排序为：55、63、65、67、69,

所以中位数为：65.

故答案为：B.

【分析】将数据按照由小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：A、a2-a3=as,故本选项正确，符合题意；

B、(a3)2=a6,故本选项错误，不符合题意；

C、(ab)2=a2b2,故本选项错误，不符合题意；

D、联a4(at0),故本选项错误，不符合题意.

故答案为：A.

【分析】同底数累相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；塞的乘方，底数不变，指数相乘，据

此判断B；积的乘方，先对每一个因式进行乘方，然后将所得的基相乘，据此判断C；同底数累相

除，底数不变，指数相减，据此判断D.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：令x=0,y=l,

...一次函数y=5x+l的图象与y轴的交点的坐标为(0,1).

故答案为：D.

【分析】令直线方程中的x=0,求出y的值，可得一次函数的图象与y轴的交点坐标.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：将①式代入②式得，

x+2(x-l)=7,即x+2x-2=7.

故答案为：B.

【分析】直接将①代入②中，即用(x-1)替换②中的y,然后去括号可得结果.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：ABC是等边三角形，

:.乙4=60°,

zDF£,=180o-Z/l=120o,

故答案为：C.

【分析】根据等边三角形的性质可得NA=60。，由圆内接四边形的对角互补可得NA+NDFE=I8O。,

据此计算.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,

：.AC1DB,AO=OC,

:.乙AOB=90°,

'：CE||BD,

：.Z.ACE=Z.AOB=90°,

ACE是直角三角形，故B选项正确；

'：AACE=^AOB=90。，4CAE=^OAB,

Rt△ACE〜Rt△AOB,

^~CE~~AE~~AC~T

11

，OB=*CE，AB=^AE，故A选项正确；

ABC为RtAACE斜边上的中线，

.'.BC=^AE,故C选项正确；

现有条件不足以证明BE=CE,故D选项错误.

故答案为：D.

【分析】根据菱形的性质可得ACLBD,AO=OC,由平行线的性质可得NACE=NAOB=90。，据此

判断B；易证△ACEsaAOB,根据相似三角形的性质可判断A；根据直角三角形斜边上中线的性

质可判断C.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：对于二次函数y=a%2+bx-c(a不0),

令x=0,则y=-c,

.♦.抛物线与y轴的交点坐标为(0,-c)

Vc>0,

—cV0,

.•.抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，

...可以排除A选项和D选项；

B选项和C选项中，抛物线的对称轴久=?>0，

2a

■:b>0,

a<0,

.•.抛物线开口向下，可以排除B选项.

故答案为：C.

【分析】令x=0,得y=c,结合c>0可得抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为

x=_/,结合各个图象确定出a的正负，据此判断.

11.【答案】1

【解析］【解答】解：3+(-2)

=+(3-2)

=1,

故答案为：1.

【分析】绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小

的绝对值，据此即可算出答案.

12.【答案】(x+5)(x-5)

【解析】【解答】解：%2-25

=%2-52

=(%+5)(%—5)

故答案为：(x+5)(x-5).

【分析】根据平方差公式分解即可.

13.【答案】1

【解析】【解答】解：•••每一箱都有6件产品，且每箱中都有2件能中奖，

AP(从其中一箱中随机抽取1件产品中奖)=|=|,

故答案为：

【分析】利用能中奖的件数除以每箱的总件数可得能中奖的概率.

14.【答案】40%

【解析】【解答】解：该批医护工作人员中“专业医生''占总人数的百分比为：1一4%-56%=

40%；

故答案为：40%.

【分析】根据百分比之和为1就可求出“专业医生”占总人数的百分比.

15.【答案】15

【解析】【解答】解：由题意，ON1BC,OMLAB,OM=ON,

即点O到BC、AB的距离相等，

/.OB是N4BC的角平分线，

,：/.ABC=30°,

-,-Z.ABO=JzXSC=15°.

故答案为：15.

【分析】由题意可得OB为NABC的角平分线，然后根据角平分线的概念进行解答.

16.【答案】3

【解析】【解答】解：设BC交x轴于E,如图,

Vx轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6,

/.四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3,

设C(m,n),贝！IOE=m,CE=n,

•••矩形DOEC的面积是3,

mn=3,

VC在反比例函数y=J的图象上，

BPk=mn,

m

/.k=3.

故答案为：3.

【分析】设BC交x轴于E,根据矩形的对称性可得矩形DOEC面积是3,设C(m,n),则

OE=m,CE=n,根据矩形的面积公式可得mn=3,根据点C在反比例函数图象上可得mn=k,据此可

得k的值.

17.【答案】48

【解析】【解答】解：：四边形ABCDE是正五边形，/EAO是一个外角

在^AEO中：

^AEO=180°-/.EAO-乙MON=180°-72°-60°=48°

故答案为：48.

【分析】根据外角和定理可得NEAO=等=72。，然后根据内角和定理进行计算.

18.【答案】(8-2迎)

【解析】【解答】解—：如图,

设。。与AD边的切点为点C,连接0C,

则0C=2（丈），OCLAD,

由正方形的性质知NEAD=90°,对角线AB平分ZEAD,

・"OAC=^EAD=45°,

.,.AO=.=2X,=2V2（丈），

smZ-OACsin45°鹿队

.'-AN=ON+AO=2+2V2（丈），

・；BN=AB-AN=10-（2+2应）=8-2痘（丈）.

故答案为：（8-2及）.

【分析】设。O与AD边的切点为点C,连接OC,则OC=2丈，OC1AD,根据正方形的性质可得

NEAD=90。，对角线AB平分NEAD,则NOAC=45。，根据三角函数的概念可得AO,由

AN=ON+AO可得AN,然后根据BN=AB-AN进行计算.

19.【答案】解：（一1）2022+眄一2$也30。

1

=1+3—2X5

乙

=1+3-1

=3

【解析】【分析】根据有理数的乘方法则、算术平方根的概念以及特殊角的三角函数值将原式化简，

然后计算乘法，再计算加减法即可.

〜一人,一1、x+lx+14-l%+1x+2x+11

2。■【答案】解：（1+布）•西菽西二中一.酉石百二布.不彳=1，

将x=4代入得，

原式=与=击="

%+244-26

【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后约分即可对原式进

行化简，接下来将X的值代入计算即可.

21.【答案】（1）证明：.."aEF与/DEC是对顶角，

C./LAEF=乙DEC,

在2L4EF与40EC中，

AE=DE

Z.AEF=乙DEC,

FE=CE

：.^AEF三△DEC（S4S）

（2）证明：由（1）^^AEF=AD£C,

：.^AFE=乙DCE,

：.AF//DC,

・・•点尸在的延长线上，

：.AB//DC,

又FD||BC,

・•・四边形/BCD为平行四边形.

【解析】【分析】（1）根据对顶角的性质可得NAEF=NDEC,由已知条件知AE=DE,FE=CE,然后

利用全等三角形的判定定理SAS进行证明；

（2）根据全等三角形的性质可得NAFE=NDCE,推出AF〃DC,然后根据两组对边分别平行的四

边形是平行四边形进行证明.

22•【答案】（1）解：:山坡②的坡度i=1：1,

tanz.BC/V==y=1,

"BCN=45°,

・・,乙4CM=30°,

：.Z.ACB=180°一乙BCN-Z.ACM=180°—45°-30°=105°,

（2）解：..,4BCN=45。，CN=4ikm，

・CN42

**cos/-BCN=瓦=苴、

：.BC=2千米，

Vz/ICM=30°,AM=0.6fcm,

••sinZ-ACM=二］，

/.AC=1.2km,

，该登山运动爱好者走过的路程.AC+BC=1.2+2=3.2km.

【解析】【分析】（1）根据山坡②的坡度结合特殊角的三角函数值可得/BCN=45。，然后根据平角的

概念进行计算；

(2)根据/BCN的余弦三角函数的概念及/ACM的正弦三角函数概念可得BC、AC的值，然后求

出AC+BC即可.

23.【答案】(1)解：50-40=10张;

(2)解：x=(88+87+94+91+90)+5=90分；

(3)解：:=40x3+10X(-1)=110分;

S=0.7X90+0.3X110=96分.

【解析】【分析】(1)利用参与民主测评的总人数减去赞成的票数即可求出不赞成的票数；

(2)首先求出各个评委的给分总和，然后除以评委数可得平均数；

(3)首先根据赞成票数义3+不赞成票数x(-l)可得民主测评得分，再根据s=0.7元+0.3歹可得综合得分S

的值.

24.【答案】(1)解：将y=-2代入y1=|(%<0)中，

—2=2,解得：x=-1,

X

AA(-1,-2).

(2)解:由题意可得B(2,3,

轴,轴,

/.C(-1,如

「・S=SAABC-SAPCQ

11

=^ACBC-^PCCQ

1k1k

=5(2+引(2+1)—»x»x1

乙乙乙乙

3kk

=3+彳-4

=3+1

【解析】【分析】(1)将y=-2代入yi=|中求出x的值，据此可得点A的坐标;

(2)由题意可得B(2,切，则C(-1,切,然后根据5=$”8<:£口进行解答.

25.【答案】(1)证明：・・・NBAC=45。,

.\ZBOD=2ZBAC=90°,

AOD1OB,

VOD//BC,

/.CB±OB,

VOB为半径，

・,・直线BC是。。的切线；

(2)解：①・・・/BAC=45。，

AZBOD=2ZBAC=90°,OB=OD,

/.ZODB=45°,

.\ZBAC=ZODB,

VZABD=ZDBE,

△ABDDBE；

(2)V△ABDfDBE,

.AB_BD

：.BD2=AB-BE,

'：AB•BE=6,

：.BD2=6,

'：OD2+OB2=2OB2=BD2,

：.0B2=3,

.,.OB=6或一百(舍去).

即。。的半径的长为V5.

【解析】【分析】(1)根据圆周角定理可得/BOD=2/BAC=9()。，结合OD〃BC可得CBLOB,据此

证明；

(2)①根据等腰直角三角形得/ODB=45。，故/BAC=NODB,然后根据有两组角对应相等的两个

三角形相似进行证明；

②根据相似三角形的性质结合已知条件可得BD2=6,根据勾股定理可得OD2+OB2=2OB2=BD2,代入

计算可得0B的值，据此可得。0的半径长.

26.【答案】(1)解：将a=1,b=3代入y=ax2+bx+c(a>0)得y=x2+3x+c,

将(1,1)代入y=%2+3%+(：得，

l=l2+3xl+c,解得：c=-3

2

(2)解：①；(型一％i)2=(X1+%2)-4%1%2=°一产

b2-4ac

・・,抛物线的顶点坐标为:

b,2—4.ac,b2—4.ac

3

AtanZ-ABE=-^54Q

^b2-4ac4

••b1—4ac=9

②***h2—4ac=9

VOP//M/V

・NP_0M

^BP=OB

•b—b+3_

F：~2^~=

.\b=2

22-4ac=9

,当a=义时，TM小=-4.

【解析】【分析】(1)将a=l、b=3代入y=ax2+bx+c中可得y=x2+3x+c,将(1,1)代入就可求出c

的值；

(2)①根据完全平方公式结合根与系数的关系可得(X2-X|)2=(X|+X2)2-4X|X2=《r竺，表示出X2-XI,

即AB,根据顶点坐标公式表示出顶点坐标，得到AE,然后根据三角函数的概念进行解答；

②根据①的结论可得X2=与地，根据平行线分线段成比例的性质可得罂=罂，代入求解可得b的

ZuDrUD

值，然后表示出c,根据题意可得T,接下来利用二次函数的性质就可得到T的最小值.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：103分

客观题（占比）25.0(24.3%)

分值分布

主观题（占比）78.0(75.7%)

客观题（占比）15(57.7%)

题量分布

主观题（占比）11(42.3%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题8(30.8%)8.0(7.8%)

解答题8(30.8%)75.0(72.8%)

单选题10(38.5%)20.0(19.4%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(53.8%)

2容易(38.5%)

3困难(7.7%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1平均数及其计算15.0(14.6%)23

2实数的运算5.0(4.9%)19

3一元二次方程的根与系数的关系10.0(9.7%)26

4角平分线的定义1.0(1.0%)15

5有理数的加法1.0(1.0%)11

6圆内接四边形的性质2.0(1.9%)8

7二次函数图象与系数的关系2.0(1.9%)10

8概率公式1.0(1.0%)13

9切线的性质1.0(1.0%)18

10同底数零的乘法2.0(1.9%)5

11中位数2.0(1.9%)4

12一次函数图象与坐标轴交点问题2.0(1.9%)6

13积的乘方2.0(1.9%)5

14平行线的性质2.0(1.9%)9

15因式分解-运用公式法1.0(1.0%)12

16实数大小的比较2.0(1.9%)2

17切线的判定10.0(9.7%)25

18三角形的面积10.0(9.7%)24

19直角三角形斜边上的中线2.0(1.9%)9

20角平分线的判定1.0(1.0%)15

21平行线的判定10.0(9.7%)21

22菱形的性质2.0(1.9%)9

23坐标与图形性质10.0(9.7%)24

24矩形的性质1.0(1.0%)16

25三角形内角和定理1.0(1.0%)17

26二次函数的最值10.0(9.7%)26

27条