江苏省常州市2020-2021学年高一上学期期末学业水平监测数学试卷含答案

常州市教育学会期末学业水平测试

高一数学2021年1月

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.命题“Vx>l，x2〉l”的否定是

A.Vx>1,X2<1B,3x<LX2<1

C.Vx<1,X2<1D.3x>1,X2<1

2,已知集合M={dQ—2)Q—a)=。},N=4,3},若MDN=0,MUN=6,2,3},

则实数”的值为

A.1B.2C.3D.4

3.学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度

为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为

A.0.6raJB.6radc.60radD.600raJ

4.若函数/Q)=lgx+x-3的零点所在的区间为Q,a+l),则整数0的值为

A.0B.1C.2D.3

5.函数/1)=上二的图象大致为

X5

6.已知4,b都是正数，贝I］“ab24”是“a+b=ab”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了叉数，

对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数

的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍已知1g2“0.3010,1g3“0.4771,

设N=45X27I。，则N所在的区间为

C.1()17,1018)

A.1015,1016B.1016,1017D.1018,1019

8.已知/Q）是定义在Ll，l］上的奇函数，且当dbeLl,l］且a+bHO时，

:'”>0.已知。€（-三，三,若/Q）<4+3sin。-2cos20对VxeLlj］恒成立,

a+b<22；

则。的取值范围是

兀7171兀、，兀冗、

A.—，—B.9

62~2~J）。（J丁了）。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.下列命题中，正确的有

A.若。>>>0,则ac2>bc2

B,若a<b<0,则a2〉ab>/>2

C.若。>b〉0且c>0,则"+

a+ca

D,若。<人<0且c<o,则£_<£

<721）2

10.某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2

元，则发行价就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为

A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元

11.对于函数/Q）=COS（3X-VJ

（其中（o>0）,下列结论正确的有

A.若V恒成立，则05的最小值为2

B.当s=；时，/Q）的图象关于点，0）中心对称

C.当8=2时，/Q）在区间（0,今］上是单调函数

D.当（。=1时，/Q）的图象可由gQ）=sinx的图象向左平移半个单位长度得到

12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析

x为有理数关于函数。Q）有以下四个命题，其中真命题有

式为|o,x为无理数

A.既不是奇函数也不是偶函数

B.VreQ,D（x+r）=D（v）

C.VxeR,r＞（D（x》=l

D.3x,y£R,D（x+yKD（x）+D（y）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若角a的终边经过点尸（—3,4）,则sin（a+2021兀）=

14.计算：（；广26+（0.125注

15.已知函数,fQ）=<2-2/”-2），，24,”是幕函数，且xe6,+8）时，/Q）单调递减，则

logJ制的值为

2jx,0<x<lz\z\

16.已知函数/Q）=<1若关于x的方程/e［_加=（）在［0,4］上有3

一,X1

X

个不相等的实数根，则实数〃，的取值范固是,

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知全集U=R,函数心岳的定义域为集合A,集合

CIX2-（2m+3）r+m（tn+3）＞0

B—

⑴若加=1,求ACB.

（2）设〃：xeA；q：xe尻若p是4的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

18.（12分）

l-2cos2a

（1）,求1------：-----的--值-;

sin2a-sinacosa

2

(2)已知sinp+cos。=w，且P为第四象限角，求sinp-cosp的值.

19.(12分)已知/(J是定义在R上的奇函数，当x>0时，/Q)=2x—x2

(1)求/G)的解析式；

⑵求不等式/4市x)〉/(cosx)的解集.

20.（12分）

已知函数/Q)=AsinQw+(p]A>0,co>0,例<gI的部分图象如图所示.

(1)求/G)的解析式:

(2)将/Q)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到gG)的图

象若一)=；,求与一

sin0+sin20-±i的值.

21.（12分）

设矩形/8CD的周长为20,其中A8>CQ如图所示，把它沿对角线/C对折后，交。C

于点汽设AO=x,DP=y.

(1)将y表示成x的函数，并求定义域:

(2)求E14Z)P面积的最大值.

22.(12分)

已知函数/Q)=3*+3-*,函数gQ)=f(2x)-mf(x)+6.

(1)填空：函数/Q)的增区间为;

(2)若命题“mxeR，gQ)〈O”为真命题，求实数〃?的取值范围；

(3)是否存在实数机,使函数//Q)=log,、gQ)在［0,1］上的最大值为0?如果存如果存在,

VH-3/

求出实数〃7所有的值.如果不存在，说明理由.

常州市教育学会学业水平测试

高一数学2021年1月

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.命题“Vx>l,X2〉1”的否定是

A.Vx>LX2<1B.3x<1,X2<1

C.Vx<1,X2<1D.3x>1,X2<1

【答案】D

【考点】全称量词命题的否定

【解析】由题意，全称量词命题的否定需要将“V”改为幼”，结论否定即可，所以答案

选D.

2,已知集合M={dQ—2)Q—a)=。},N=%,3},若“riN=0,M\JN=^,2,3),

则实数。的值为

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【考点】集合的运算

【解析】由题意可知当集合”为双元素集合时,"=“},因为N=83},MDN=0,

MUN=&2,3},则不符合题意，所以集合M为单元素集合，即a=2,故答案选B.

3.学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度

为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为

A.O.bradB.6radc_6。radD.600raJ

【答案】A

【考点】弧度制与角度制、扇形的弧长

【解析】由题意可知弧长/=6,且R=10,所以a=:=4=0.621,故答案选A.

R10

4.若函数/Q)=lgx+x-3的零点所在的区间为Q'a+1),则整数0的值为

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【考点】函数的零点概念及零点存在性定理的应用

【解析】由题意可知/6)=-2<0,/(2)=lg2—1<0,/G)=lg3>0,所以满足

/（2）/（3）＜0,所以零点所在的区间为（2,3）,故答案选C.

5.函数的图象大致为

X5

【考点】函数的图象识别与判断

【解析】由题意可知该函数/1）=詈，满足/（-'）=曾=一?=一/1）,

则函数为奇函数，所以选项A、c错误，可排除；因为

心）J：；一黑，显然所以排除选项B,故答案选D.

35243

6.已知。，b都是正数，则是“a+b=ab”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【考点】逻辑用语中条件的判断

【解析】由题意可知当，必24时，可取。=1,〃=4,显然不满足〃当

时，且。〉0，6＞。,所以a+b=abN2亚F,即Qi＞）2N4ab,解得N4或出＞W0,

所以“ab24”是“a+b=ab”的必要不充分条件，故答案选B.

7.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了叉数，

对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数

的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多借已知1g2*0.3010,1g3“0.4771,

设N=45X27I。，则N所在的区间为

(()16,1017C,1017,1018)D.(018,1019)

A.M015.10167B.

【答案】C

【考点】指对数的运算

【解析】由题意对N取常用对数，<#lgN=lg4sx27i0=lg4s+lg27io=51g4+101g27=

51g22+101g33=101g2+301g3»17,323,则N=10心23e(ogoJ,故答案选c.

8.已知/Q)是定义在Lil上的奇函数，且/Ql)=—1,当a,且。+匕HO时,

,”>0.已知。e［-三，三］,若fQ)<4+3sin。-2COS20对VxeLl,l］恒成立,

a+bV22J

则。的取值范围是

【答案】A

【考点】函数的性质综合

【解析】由题意/Q)是在匚1，11上的奇函数，且当a,beLl,l］且"+匕。0时,即a-b,

/()+［')>o可化为/Q)工Q")=>0,则/Q)在L口］上单调递增，

a+ba-ba-b

又,所以/G)=i,所以/Q)=/O=i,则时，

maxI22J

/G)<4+3sin。一2cos2。对VXELl,l］恒成立，即1<4+3sin。一2cos2。对

max

卜亘成立，此时sin。w(-1,1),则化简为2sin2。+3sin6+1>0对

7171恒成立，即（2sin。+l）（in。+1）>。，因为sinOe（-1,1）,所以sinO>-1

0G—,—

22

c（71711

解得一不，爹，故答案选A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.下列命题中，正确的有

A,若。>匕>0,贝l]ac・2>bc2

B,若。<》<0,则

〃+,、h

c.若a>b>0且c>0,贝I]>

Q+Ca

D,若。<b<0且c<0,贝i]±<_L

。2次

【答案】BC

【考点】不等式的基本性质

【解析】

法一:由题意可取特殊值验证，对于A选项，取。=2,b=1,当c=0时,不能推出碇2>hc2,

故选项A错误；对于选项B,取。=-2,b=-\,则”2>ab>从，故选项B正确；对于

b+c3b1

选项C,取a=2,8=1,c=2,可得=>=c,故选项c正确；对于选项D,

a+c4a2

C\C\

取a=—2,b=-1,c=l,可得-―-=—<-—=—,故选项D正确；所以答案选BC.

。24匕21

法二：由题意，对于A选项，由不等式的基本性质可得，当c=0时，不ac2>bc2能推出，

故选项A错误；对于选项B,因为a<b<0,所以“2>出>且时>人2,则42〉时>。2,

故选项B正确；对于选项C,因为a>b>0且c>0,所以

b+cba（b+c）-bQi+c）c（a-t>）八h+cb„工

————=-----f一—=-f一V0.所以——>-,故选项C正确；对于选项

a+caavi+c）avi+cJa+ca

]]cc

D,因为a<6<()且c<°,所以。2>从>0,所以0<—<--,所以—>--,故选项

42bl。21)2

D正确；所以答案选BC.

10.某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2

元，则发行价就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为

A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元

【答案】BC

【考点】解决实际问题

【解析】由题意可设杂志最高定价为x元，总销售收入为y元，则

y=x1000005000=-25000x2+15000x,因为销售收入不少于22.4万元时,

可得至ijy=-25000x2+15000x2224000,解得2.84x43.2,所以答案选BC.

11.对于函数/1)=««(3'-3](其中(0>0),下列结论正确的有

71

A.若恒成立，则①的最小值为2

12

B.当(0二5时,，0中心对称

当8=2时，/Q)在区间

C.0.1上是单调函数

当3=1时，/Q)的图象可由gQ)=sinx的图象向左平移g个单位长度得到

D.

【答案】ABD

【考点】三角函数的图象与性质及变换

【解析】由题意，对于选项A,若恒成立，则/1,

COJI71

则：丁_丁=2依，kwZ,解得3=24攵+2,ZeZ,因为3〉()，所以3的最小值为2,

126

故选项A正确；对于选项B,当8=1时，函数解析式为/Q)=cos

,且

2\26y

所以/Q)的图象关于点

中心对称,故

选项B正确;对于选项C,当3=2时,函数解析式为/Q)=

COS1X--，因为

I6

7t5兀则函数)》在一上单调递增，在

所以2》-储--,----/Q=cos2q3,0

66

。片

上单调递减，故选项C错误；对于选项D,当3=1时，函数解析式为

=s/+B所以/(J的图象可由gQ)=sinX

l3J

71

的图象向左平移可个单位长度得到，故选项D正确；所以答案选ABD.

12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著狄利克雷函数就以其名命名，其解析

式为。Q)=<:关于函数有以下四个命题，其中真命题有

0,x为无理数

A.。(0既不是奇函数也不是偶函数

B.VrGQ,£)Q+r)=£>Q)

C.VxwR,Q(D(r》=l

D.yGR,£>Q+y)=£>Q)+£>(y)

【答案】BCD

【考点】新定义函数的性质及应用

【解析】由题意，对于选项A,当x为有理数时，-x为有理数，则O(—x)=0Q)=l,同

理当X为无理数时，一X为无理数，则。（―X）=DG）=0,所以当尤eR时，。QX）=D（r）,

所以函数为偶函数，故选项A错误；对于选项B,当x为有理数时，x+r为有理数，所以

O（r+r）=O（r）=l,x为无理数时，x+r为无理数，。（丫+厂）=。（0=0,所以

VreQ,O（r+r）=O（r）,故选项B正确；对于选项C,当x为有理数时，

O（DQ》=OG）=I,当x为无理数时，D（DQ》=OW=I,所以VXWR,D（DG））=1,

故选项C正确；对于选项D,当X、y均为无理数，可令x=JI,y=r时，x+y为无

理数，则。Q+）,）=。，£>Q）+£>（>）=0+0=0满足£>Q+y）=。（\）+。（》），所以

Hr,yeR,r>Q+y）=O（r）+O（），），故选项D正确；所以答案选BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若角a的终边经过点尸（一3,4）,则sin（a+202W）=

4

【答案】一手

【考点】三角函数的概念、诱导公式

【解析】由题意sina=-=i=f,则sinQ+2021兀）=sinQ+7t）=-sina=--,

434+4255

4

故答案为一弓.

14.计算：+（0.125）；=

【答案】10

【考点】指对数运算

【解析】由题意，原式=6+83=6+^^~=6+4=10,故答案为10.

15.已知函数,/1[）=[2_2加_22，，24,”是幕函数，且xw（0,+8）时，/Q）单调递减，则

【答案】I

【考点】幕函数的概念及性质

【解析】由题意可得加2—2加一2=1,解得机=3或加=-1,当加=3时，/Q)=XT在

(0,+8)上单调递减，满足题意，所以log^H=log3=Ilog3=1；当机=一1时，

/Q)=X5在(0,+8)上单调递增，不满足题意，故舍去，综上，m=3,logH=l.

2jx,0<x<l

已知函数/Q)=<

16.若关于X的方程-阳=0在［0,4］上有3

一,x>1

x

个不相等的实数根，则实数机的取值范固是.

11

【答案】—,—

42

【考点】用数形结合思想解决函数的零点问题

【解析】由题意/G)=则原方程可化为/Q)-〈-机=。在［0,4］上有3个不相等的实

数根，即函数|/Q)-的图象与函数y=用的图象在［0,4］上有三个交点，所以

2^/x--,0<x<1/、/、

1；,可作出函数I/Q)-的图象

,由图像可知在［0,4］上

1-1,X>1

x2

有三个交点，得到.或函数I/Q)-/G)的图象可先作出函数/Q)的图象，再向

下平移：个单位长度，最后再把X轴下方的图象翻折到X轴上方得到.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知全集U=R,函数t的定义域为集合A集合

(2/??+3%+mCn+3)>0^

(1)若机=1,求Anc,#；

(2)设p：xeA；g：xe民若p是4的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

【考点】集合的运算、逻辑用语中条件的应用

【解析】

。a

(1)由二20化简得二■《(),解得一4<xW3,所以4=(-4,3]，.....2分

4+xx+4

当m=1时，B=CI%2-5x+4>Coo,llu[4,+oo),..............3分

A0C8=(-4,3卜)(1,4)=(1,31......................5分

U

C-lx2-(2m+3)r+m()n+3)>()}=(-oo,znlljCn+3,+00),

(2)B=..................7分

因为p是q的充分不必要条件，所以/工8,..............8分

所以m23或加+3<-4,解得m>3或加<-7................10分

18.(12分)

已知cosG+a)=2cos|--a,l-2cos2a

(1)求1------：--------的值;

一(2sin2a-sinacosa

2

(2)已知sinp+cos。=Q,且B为第四象限角，求sinB-cos0的值.

【考点】三角函数：同角三角函数关系式、诱导公式综合应用

【解析】

(1)由cosGi+a)=2cos|三一a|得一cosa=2sina,.......................2

分

显然cosa。()，否则sina=cosa=0与sirua+cos2a=1矛盾，................3分

sina1.八

所以tana=-----=一-........................4分

cosa2

l-2cos2asiiva-cos2a

所以

sin2a-sinacosasin2a-sinacosa

tansa-1

.........................6分

tan2a-tana

24

(2)由sinp+cosp=—平方得1+2sinpcosB=一,

39

所以2sinpcosP=--1,.....................8分

所以GinP-cosP)2=1-2sinPcosP=^-,

.....................10分

因为P为第四象限，sinp<0,cosp>0,

QQJ14

所以sinp-cosp=.....................12分

19.(12分)已知/(J是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x-x2

(1)求/(J的解析式;

（2）求不等式/4也口>/（005。的解集.

【考点】函数的奇偶性及其应用

【解析】

（1）当x<0时，-x〉0,所以/QX）=2QX）-Qx）=-2X—X2

因为/Q）是奇函数，所以/1）=一/（一D=2X+X2...........................3分

又因为/Q）是定义在R上的奇函数，所以/。）=0,.....................4分

2X-X2x>0

所以./■［）=«9.....................5分

2x+X2,x<0

⑵因为当xNO时，/G）=2X-X2=-（X-1）2+1,所以/Q）在b,J上递增,

当x<0时，/Q）=2x+X2=Q+1%一1所以/Q）在Ll,cJ上递增，

所以/Q）在L1」］上递增，.....................8分

因为sinx,cosxeLl,l1所以由/《inx）〉/Gosx）可得sin尤〉cos尤，

........10分

715兀

所以不等式的解集为，#2也+4<X<2%兀+彳，ZEZ卜12分

20.（12分）

已知函数/Cc）=AsinCox+cpJA〉0,co>0e，l何l<2兀）的部分

图象如图所示.

（1）求/Q）的解析式:

（2）将/G）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不

变)，得到gQ)的图象若g3)=(,求sin|1^1-6)+sin2(04兀

的值.

【考点】三角函数的图象与性质、诱导公式、同角三角函数关系综合应用

【解析】

(1)由图可知A=1,1分

,12K7i3兀2兀

由一T-------才得T=_=兀，所以8=2,3分

4116co

所以/Q)=sin(2x+＜p).

sin(l+(p7t7t7t

因为/=1,所以可+9=2也+亍,&eZ,即(p=2M+—,keZ,

6

因为帆＜：,所以＜P=：,所以/Q)=sin2x+：.5分

26I6J

(1)由题意，gQ)=sin(x+亲,由g@)=；得sin.711

+7分

-64,

l^l-e]+sin2(e47T+sin2(0+£)-3兀

sinsin2TI-0+—

I6T

=-sinl0+—I+COS2I0+-l=-sinl0+—l+l-sin^lO+-^-1.............10分

...................12分

21.(12分)

设矩形/BCD的周长为20,其中如图所示，把它沿对角线/C对折后，4B交DC

于点R设A。=x,DP=y.

A

(1)将y表示成x的函数，并求定义域:

(2)求L/OP面积的最大值.

【考点】运用基本不等式解决实际问题

【解析】

(1)因为矩形/8C。的周长为20,AD=x,所以4B=10—x,

由AB>CZ)得0<x<5...............................2分

由对称性可知，BP=DP=y,所以AP=A3-3P=10-x—y,

因为尸2=人尸2,所以82+尹=G()-x—y),

解得>=七四，定义域为6,5)...............................6分

10-x

〃T014八八”1150-10x25x-5x2(\八

(2)口力。尸的面积S=—AD-DP=—xy=—x--------=---------,xGS,5/...8分

22210-x10-x

令，=10—x,piijrGG,10),x=l0-t,

。