广东省珠海市2021-2022学年高二数学上学期期末考试试卷【含答案】

珠海市2021-2022学年度第一学期期末普通高中

学生学业质量监测高二数学

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.直线“+岛+3=°的倾斜角是（）

7157汽21

A.6B.6C.3D.3

B

£=(0,1,4),J(l,T0),则F++()

2.已知空间向量

V19V17

A.B.19C.17D.

D

3.已知数列{“〃}是等差数列，S，为数列｛%｝的前〃项和，囚=1,■=18,则£*=()

A.54B.71C.81D.80

C

22

rV

三—J=l（a〉0,b〉0）-1

4.已知双曲线c：才b~'与椭圆E.94有相同的焦点，且一条

渐近线方程为,："一2y=°,则双曲线C的方程为()

2

一九1X2.x2/_

----V=1-XH----=1

A.4B.4-C.4D.

2

X,1

一+y2-1

4-

B

5,已知长方体'88—中，AB=BC=2,"4=1,则直线4。与8R所成角

的余弦值是（）

_L」立_V5

A.5B.5C.5D.5

c

6,已知点尸在抛物线CA=2蛆(加6七祖”0)上，点尸为抛物线0的焦点,

处尸।=12,点2到y轴的距离为4,则抛物线C的方程为()

A./=64XB.y2=±64xc.y2=32XD

y2=±32x

D

7.我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位(1533・1606年)所著,该书中有如下

问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：

“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？

”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有()盏.

A.192B.128C.3D.1

A

8.己知直线/：点一夕一3m+1=0恒过点/>,过点P作直线与圆°：

0-1)+(1)=25相交于/,§两点，则I阴的最小值为()

A.4石B.2C.4D.2石

A

9.如图，已知多面体/8CQE,其中A/BC是边长为4的等边三角形，四边形"CD"是矩

形，AE=2,平面NC0E1平面46C,则点C到平面的距离是（）

C

10.已知数列也｝的通项公式是4=（T）0〃—3）,则为+%+?+…+%021=（）

A10100B.-10100C.5052D.-5052

D

二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

11.已知圆“：f+V_4x+3=0,则下列说法正确的是（）

A.点（4°）在圆〃内B.圆/关于x+3y-2=°对称

C.半径为百D.直线％一岛=°与圆M相切

BD

12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.

"三角垛''最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.…设第"层有4个球，从上

往下〃层球的总数为则。

A.Q“+「%=〃B.Ss=35

11112021

-----1-------1-------F•••H----------=---------

Da｝a2a3^20211011

BCD

三、填空题：本题共44小题，每小题55分，共020分.

13.已知直线-2》+歹+1=°在两坐标轴上的截距分别为4,6,则4+6=.

2##~0.5

14.己知数列｛%｝是公差不为零的等差数列，%,%,孙成等比数列，第1,2项与第

10,11项的和为68,则数列｛""｝的通项公式是_

an=377—1

15.已知四面体O48C中，D,E分别在Z8,OC上，且=O£=2£C,若

DE=aOA+/3OB+yOC则a+4+y=

DB

1

3

二-Jl，、

16.已知双曲线。：97,耳，鸟是其左右焦点.圆E：/+/-4歹+3=0,点

P为双曲线。右支上的动点，点。为圆E上的动点，则归°卜仍用的最小值是.

5+275^275+5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.在①4+4+即）=°,②—2%=%，③这三个条件中任选一个，补充在下面

问题的题设条件中.

问题：等差数列包｝的公差为"（"'°）,满足“2+%+%=-15,?

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛%｝的前〃项和S”得到最小值时〃的值.

（1）选择条件见解析，4=3〃T7

⑵"=5

【小问1详解】

解:设等差数列，"｝的公差为

得Q[=-5-3d

选①q+以+40=3q+14d=-15+5d=0

得"=3,

故q=T4,

・a=3/2-17

♦•n

选②-2%=-2《-2d=a]+12d=a|3

得3q=-15-9d=-14d,得d=3,

故「―叱

・a=3n-ll

••n

选③a3a5=(«|+2d)(q+4d)=3+6d丫=姆，

(-5-1)(-5+")=(一5+3”)2,得d=3,

故“广一巴

...%=3〃-17；

【小问2详解】

由(1)知""=3〃一",%=-14<0,d=3>0,

数列｛%｝是递增等差数列.

(172

由a“=3〃T7W0,得〃-3+3,

.•.〃45时，见<0,

〃时，见>。，

.•.〃=5时，S”得到最小值.

18.如图，矩形4BCD,点、E,尸分别是线段Z8,C。的中点，AB=2,BC=\,以EF为

轴，将正方形AEFD翻折至与平面£86垂直的位置""94处请按图中所给的方法建立空

间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题

（i）求证：直线"4'平面4c77；

（2）求直线EC与平面4c户所成角的正弦值.

（1）证明见解析；

（2）2.

【分析】（1）以尸为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直,

即可证明线面垂直；

（2）根据（1）中所求平面4c77的法向量，利用向量法，即可容易求得结果.

【小问1详解】

矩形Z8C。中，点E,尸分别是线段8的中点，.尸。，瓦EC.•.翻折后

FD、1EF

・.♦平面EFD[A[，平面EBCF,且面EFD}A}nEBCF=EF,u面EFD&,

故可得4/J"面E3CF,又FCu面EBCF,：.FDJFC,故尸瓦“，£2两两垂直，

.•.分别以户E,FC,FQ为x,ytz轴建立如图所示空间直角坐标系:

.：AB=2,8c=1则尸(°，°，°),EO，。，。),4。，0，l),C(0,1,0)Z).(0,0,1)

5^=(1,0,-1)可=(1,0,1)定=(0,1,0)

，，

..屏•豆=1-1=0D^EFC=0.席，可D^EIFC

•，，•♦，

.D}E1FA{D^ELFC乂〃।cEC=面4c/

.•邛，平面4b

【小问2详解】

由(I)知，平面4b的法向量为*=(1,0,-1),又向量C£=(l,-l,0)(

则向量区与法向量为*所成角的余角即是直线EC与平面4CF所成角,

设直线EC与平面4c尸所成角为a,向量而与法向量为所成角为夕，

DEFE\_

sina=cos°=

\DE\-\FE\2

则

故直线EC与平面A'CF所成角正弦值为2.

19,已知圆。过点“(4°),)6),且圆心。在直线/：x—y—3=0上.

(1)求圆0的方程:

(2)若从点“(—4，1)发出的光线经过x轴反射，反射光线4刚好经过圆心C,求反射光线

1的方程.

(x-6)2+(y-3)2=13

(1)

(2)2x—5y+3=0

20.如图，三棱锥P—NSC中，PAIAB,PALACtAB1ACtAB=AC=2t

P/=4,点加■是pi的中点，点。是/c的中点，点N在尸8上，且PN=2NB.

(1)证明：8011平面。儿加；

(2)求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.

(I)证明见解析

2

⑵3

【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标，

(1)求出平面C的法向量，利用80咽=°证明即可；

(2)由(1)知平面CW的法向量，再求平面48C的法向量，利用向量的夹角公式即可

求解.

【小问1详解】

证明：三棱锥尸—"8C中，PA±AB,PA±AC9AB±AC

,分别以AC,AP为x,V,z轴建立如图所示空间直角坐标系

z

vAB=AC=2t尸/=4,点/是p/的中点，点。是4c的中点，点N在尸8上且

PN=2NB

.^(0,0,0)5(2,0,0)C(0,2,0)A/(0,0,2)2)(0,1,0)

设平面CNN的法向量〃=(/，加z°),

CM=(0,-2,2)(CN=|j「2，][丽=(—2,1,0),

n-CM=-2j^+2z=01

00%=_z

今z0=-2

%0=-1

得｝=-2

..而G=(-2,1,0)(-1,-2,-2)=0

.・.BD-L〃又BDa平面CMN

：.平面CA/N.

【小问2详解】

PAVAB,PA1ACtABcAC=A

P/_L平面Z8C

，PA为平面ABC的法向量AP=(°°4)

则4P与的夹角«的补角是平面ABC与平面CMN所成二面角的平面角0

cos^=-cosa=-^4-8_2

\AP\-\n473-3

2

二平面MNC与平面ABC所成角的余弦值为3.

21.己知数列"J是正项数列，%=2,且-4+(+《川=2片+2a”.

(1)求数列｛""｝的通项公式；

b,=2

⑵设"a",数列也｝的前〃项和为J若/对〃eN*恒成立,

求实数加的取值范围.

⑴a"=2"

(2)I幺)

22

r0+匕=1(«＞指)

22.已知椭圆j：。6'7G的左右焦点片，巴是双曲线G的左右顶点,

V6

G的离心率为3,G的离心率为④，点E在G上，过点E和耳，B分别作直线交椭

圆G于尸，G和M,N点，如图.

（1）求a,G的方程；

（2）求证：直线£耳和EF2的斜率之积为定值;

1+_L

（3）求证：附|阿M为定值.

《+J1

+-12

（DG：18T,C,：X-/=1

（2）证明见解析（3）证明见解析

【小问1详解】

V6a2-6

由题设知，椭圆G的离心率为3a

解得/=18

（-26，°）

♦.•椭圆&的左右焦点£,鸟是双曲线G的左右