信用风险：估测违约概率

Chapter09信用风险：估测违约概率2/72引言信用风险来源于贷款的借贷方、债券发行人及衍生产品的交易对手的违约的可能性。?新巴塞尔协议?说明：银行在得到监管部门批准后可以采用自身的模型来估测违约概率，并计算应持有的资本金数量。这要求促使银行投入更多的人力物力来开发更好的估计违约率的方法。3/72引言本章内容：－讨论估测违约概率的不同方法；－解释风险中的违约概率与真实世界违约概率的差异。4/729.1信用评级穆迪、标准普尔及惠誉等评级公司专门从事信用评级业务，这些公司对企业债券提供信用评级。9-1各评级公司对企业债券评定的信用级别穆迪AaaAaABaaBaBCaaCaC标准普尔AAAAAABBBBBBCCCCCC惠誉AAAAAABBBBBBCCCCCC注：红色为投资级别5/729.1信用评级信用评级反映了有关违约概率的信息，人们往往认为公司的信用级别会经常随好消息或坏消息到达市场而被调整。实际上，公司信用级别的变化不频繁－评级机构评定信用级别的目标之一是保证级别的稳定性；－当有理由相信某公司的长期信用改变时才进行调整，以防止交易员的频繁交易〔并付出较多的交易费用〕；－评级机构遵循“考虑经济周期变化来评级〞原那么。6/729.1信用评级内部评级许多银行对于企业及个人客户的信用都设定了评级系统内部评级法：允许银行使用自身模型计算违约率采用内部评级法估计PD，往往会涉及资产回报率等财务标准以及负债与股权的比率等资产负债表中的其他指标。7/729.1信用评级Altman’sZ－得分模型EdwardAltman最先提出以公司的财务指标比率来预测违约率:－X1：流动资金/总资产(workingcapital/totalassets)；－

X2：留存收益/总资产(retainedearnings/totalassets)

；－X3：息税前利润/总资产(earningsbeforeinterestandtaxes/totalassets)；－X4：股票市值/负债账面总额(marketvalueofequity/bookvalueoftotalliabilities)

；－X5：销售收入/总资产(sales/totalassets)8/729.1信用评级Z-得分模型:Z=1.2X1+1.4X2+3.3X3+0.6X4+0.999X5

(9-1)Z-得分<1.81.8~2.72.7~3.0>3.0违约可能性很大有一定的可能性戒备状态不大9.1信用评级Altman的Z－得分模型的第I类错误〔模型预测公司不会违约，但事实上公司却违约了〕及第II类错误〔模型预测公司会违约，但事实上公司却没有违约〕的概率都很小。Altman的Z－得分模型适用于制造业上市公司。一些研究人员在Z－得分模型的根底上，开发出了适用于制造业的非上市公司以及非制造业公司的Z－得分模型。10/7214.1信用评级Example考虑一家公司，其流动资金为170000美元，总资产为670000美元，息税前利率为60000美元，销售额为2200000美元，股票市价为380000美元，总负债为240000美元，留存收益为300000美元。Z-得分模型计算结果为5.46。即这家公司在近期不会有违约的危险。11/729.2历史违约概率表9-2是由穆迪评级公司公布的一组典型数据，这些数据显示了公司的信用随时间推移而出现的不同变化。表9-21970~2003年的平均累积违约率〔%〕信用等级期限（年）123457101520Aaa0.0000.0000.0000.0260.1000.2520.5251.0041.204Aa0.0080.0180.0420.1060.1780.3440.5211.0941.884A0.0200.0940.2180.3420.4670.7621.3082.3964.082Baa0.1700.4780.8831.3601.8352.7944.3537.60110.510Ba1.1253.0195.2987.6489.80513.46518.46227.53334.852B4.66010.19515.56620.32524.69232.52740.92250.21252.375Caa17.72327.90936.11642.60347.83654.53964.92870.29872.78312/729.2历史违约概率表9-2显示具备投资级别的债券在一年内违约的概率随着期限的延长而有所增大。-原因：发行之初，债券的信用级别较好，但随着时间的推移，公司信用出现问题的可能性也会随之增大。对于最初信用级别较差的债券，每年的违约率常常是时间期限的一个递减函数。-原因：发行之初，债券能否生存会面临巨大挑战，但公司如果能够顺利渡过难关，公司今后的财务前景会变得乐观。9.2历史违约概率违约密度Caa级别债券在第3年的违约概率〔无条件违约概率〕：36.116％－27.909％＝8.207％Caa级别债券在第2年年底都不会违约的概率：100％－27.909％＝72.091％Caa级别债券在前2年没有违约的条件下，在第3年违约的概率：8.207％/72.091％＝11.38％14/729.2历史违约概率违约密度〔风险率〕λ(t)——时间t之前没有违约的条件下，违约发生在t与t+Δt之间的概率为λ(t)Δt。令V(t)是从今天到时间t公司仍然生存的累积概率，V(t+Δt)－V(t)是t与t+Δt之间的无条件违约概率，那么有：15/729.2历史违约概率对上公式求极限得：

因此：定义为时间

t之前的违约概率，可得：

16/729.2历史违约概率

或者：

其中：为介于0与时间t的违约密度的平均值。Example假定违约密度为1.5％/每年，截止第3年年末的违约概率为1-e-0.015×3=0.0440；截止第4年年末的违约概率为1-e.-0.015×4=0.0582；在前3年没有违约的前提下，第4年违约的条件概率为(0.0582-0.0440)/(1-0.0440)=0.0149。17/729.3回收率当一家公司破产时，公司的债权人会对公司的资产进行追索。有时公司进行重组，这时候债权人同意接受债务的局部归还，而在其他情形下，公司的局部资产被债权清算人变卖，所得资金最大限度地用于偿债。在债务追索过程中，有些债权具有优先权，必须优先归还。18/729.3回收率表14-3给出了美国几种不同种类债权的历史平均回收率。表14-31982~2007年企业债券的回收率〔以面值的百分比计量〕

债券分类平均回收率（%）债券分类平均回收率（%）优先有担保（Seniorsecured）51.89次级债券（Subordinated）31.19优先无担保（Seniorunsecured）36.69更次级债券（Juniorsubordinated）23.95优先次级债券（Seniorsubordinated）32.4219/729.3回收率回收率同违约概率有很强的负相关性。穆迪通过检验1983~2007年的无抵押债券的平均回收率及平均违约率，发现以下经验公式比较符合实际数据:

平均回收率=0.52－6.9×平均违约概率这一公式意味着在一些年景，如果违约率很高，往往低回收率会使得情形〔违约率〕变得更差。20/729.4信用违约互换信用违约互换〔CDS〕是一种对违约概率进行估计最有效的产品。CDS合约给信用违约互换的买入方提供了对某家公司的信用保险，而此处的某家公司被称为参考实体〔referenceentity〕，这家公司的违约事件被定义为信用事件〔creditevent〕。信用违约互换〔保险〕的买入方在信用事件发生时有权利将违约公司的债券以券面面值的价格卖给信用违约互换的卖出方，而这一债券的面值也就被称为信用违约互换的面值〔notionalprincipal〕。21/729.4信用违约互换信用违约互换的买入方必须向卖出方定期付款。付款的期限为信用违约互换的到期日或信用事件发生的日期，这里定期付款时间通常在每一季度末、每半年末或者每年年末。在违约事件发生时，合约的交割方式为债券实物或现金支付。22/729.4信用违约互换Example假设某两家公司在2021年3月1日进入了一个5年期的信用违约互换，信用违约互换的面值为1亿美元，信用违约互换的买入方付费为每年90个基点，买入方因此得到了对某参考实体的信用保护。

图14-1信用违约互换违约保护买入方违约保护卖出方参考实体违约时的付款

每年90个基点违约保护买入方每年90个基点违约保护买入方参考实体违约时的付款

每年90个基点违约保护买入方违约保护卖出方参考实体违约时的付款

每年90个基点违约保护买入方违约保护卖出方参考实体违约时的付款

每年90个基点违约保护买入方违约保护卖出方参考实体违约时的付款

每年90个基点违约保护买入方23/729.4信用违约互换如果参考实体没有违约，信用违约互换的买入方将不会得到任何收益，而信用违约互换的买入方在2021年、2021年、2021年、2021年和2021年的3月1日必须向信用违约互换的卖出方支付900000美元。当有信用事件发生时，卖出方须向买入方支付一笔可观的赔偿。24/729.4信用违约互换假设在2021年6月1日〔即第4年的第3个月〕信用违约互换的买入方通知卖出方信用事件已经发生。如果合约约定的交割方式为实物交割，信用违约互换买入方可以要求卖出方以1亿的价格买入面值为1亿美元的由参考实体所发行的债券。9.4信用违约互换如果合约约定的交割方式为现金交割，这时一个独立于买入方和卖出方的第三家公司会在违约发生后某一指定时间在市场上取得不同于交易商对违约债券的报价。原因：为了找出最廉价可交割债券的中间价。例如，这一违约债券每100美元面值的市场价值为35美元，这时信用违约互换卖出方必须向买入方支付6500万美元。26/729.4信用违约互换信用事件发生后，信用保护的买入方向卖出方所支付的每3个月、半年或一年的定期付款将会马上终止。因为付款的准确时间为每个时间区间的段末，因此最后买入方必须向卖出方支付最后的应计付款。此例中，当违约事件发生在2021年6月1日时，买入方必须向卖出方支付由2021年3月1日到2021年6月1日的应计付款〔≈225000〕27/729.4信用违约互换信用违约互换溢价〔CDSspread〕:为了买入信用保护，买入方付出占本金的百分比。-市场上有假设干家大银行是信用违约互换的做市商。-例如对于某公司5年的信用违约互换溢差的报价，有做市商给出的买入价为250个基点，卖出价为260个基点。许多公司和国家已经成为CDS合约的参考实体。-付款频率：常常每3个月一次-种类〔以时间划分〕：1年、2年、3年、5年〔最为流行〕、7年和10年28/729.4信用违约互换CDS合约的关键是对违约的定义：关于欧洲参考实体的CDS合约通常将债务重组被定义为信用事件，关于北美洲参考实体的CDS合约却有所不同。CDS市场存在其它衍生品市场所不存在的信息不对称问题。〔P216业界事例〕29/729.5信用溢差信用溢差：投资人因为承担某种信用风险而每年索取的额外回报。CDS溢差是信用溢差的一种。另外一种是债券收益率溢差，该溢差等于企业债券收益率高出无风险利率的局部。30/729.5信用溢差信用违约互换可以对企业债券风险进行对冲。假定某投资人买入了一个5年期的企业债券，债券收益率为7%。同时投资人又进入一个5年期信用违约互换。在信用违约互换中投资人买入关于债券发行人的违约保护，信用违约互换的溢差为每年200个基点〔2％〕。9.5信用溢差这里信用违约互换的作用是将企业债券转换为无风险债券。如果债券发行人不违约，投资人收益为每年5%，投资人在违约发生前的收益回报率为5%。如果债券发行人违约，信用违约互换合约可以保证投资人用债券换回债券的本金，投资人在收到本金后可以将资金以无风险利率在债券的剩余期限内进行投资。32/729.5信用溢差n年期信用违约互换溢差应该大约等于n年企业债券的收益率与n年无风险债券收益率的差价。假设违反此原那么，那么存在套利时机。尽管时机不算完美，但在正常市场条件下，仍会使得信用违约互换溢差接近于企业债券收益率与无风险债券收益率的差价。33/729.5信用溢差无风险利率CDS溢差是对信用溢差的一个直接估算。为了由债券收益率来估计信用溢差，我们需要对无风险利率作出假设。当交易员对债券收益率溢差给出报价时，具有某个期限的无风险利率一般是对应于类似期限的国债利率。9.5信用溢差研究人员比较了债券收益率与CDS溢差，并以此来得出隐含无风险利率。要求是将CDS的期限与债券期限进行匹配，并由无套利利率得出无风险利率。Example5年期的债券收益率为4.7%，5年期的CDS溢差为80个基点，那么5年期的隐含无风险利率为3.9%。35/729.6由信用溢差来估算违约概率某一5年期的信用溢差〔CDS互换〕为240个基点，回收率为40%，违约带给企业债券持有人损失的期望值为240个基点。我们得出，在没有前期违约的条件下，每年的条件违约密度为0.024/(1－0.4)=4%，一般来讲条件违约概率满足：式中，h为每年的违约密度，s为企业债券收益率与无风险收益率的溢差，R为预期回收率。36/729.6由信用溢差来估算违约概率假定对于假设干不同期限，信用溢差为，我们可以通过息票剥离方式来求得违约密度的期限结构。Example假定3年、5年、10年期限的CDS溢差分别为50、60和100个基点，违约回收率为60％，3年平均违约密度近似为0.005/(1-0.6)=0.0125；5年平均违约密度近似为0.006/(1-0.6)=0.015；10年平均违约密度近似为0.010/(1-0.6)=0.025。因此，3年与5年之间的违约平均密度为(5×0.015－3×0.0125)/2=0.01875；5年与10年之间的违约平均密度为(10×0.025－5×0.015)/5＝0.03537/729.6由信用溢差来估算违约概率以上计算对CDS溢差较为适用，当标的债券价格接近于面值时，以上计算方法对于资产互换溢差也可给出比较好的近似。下面我们给出一个更加准确的计算，这一方法对债券价格不接近于面值时也适用。-假设关于某企业5年债券资产互换的溢差为200个基点，无风险利率〔LIBOR/互换利率〕为5%〔连续复利〕，企业债券的券息为每年6%〔半年付息一次〕，债权预期回收率为40%。为了简单起见，假设企业债券每年的违约率为Q，并且违约只会发生在0.5年、1.5年、2.5年、3.5年及4.5年时，即刚好发生在付券息之前〔这里的分析可以被推广到违约发生得更为频繁的情形〕。38/7214.6由信用溢差来估算违约概率表14-4由债券的每年违约概率Q来计算违约损失，本金=100美元表14-4由违约率Q计算了预期亏损。我们考虑表14-4中对应3.5年的一行，在3.5年时，债券价格的期望值为:

时间（年）违约概率回收的量（美元）无风险价值（美元）损失贴现因子预期损失的贴现值（美元）0.5Q40106.7366.730.957366.08Q1.5Q40105.9765.970.927761.20Q2.5Q40105.1765.170.882557.52Q3.5Q40104.3464.640.839554.01Q4.5Q40103.4663.460.798550.67Q总计288.48Q39/7214.6由信用溢差来估算违约概率由14-4节回收率定义得出，违约发生时债券回收价值为40，因此违约出发损失为104.34－40=64.34，这一损失所对应的贴现值为54.01，因此违约预期亏损为54.01Q。表14-4显示预期亏损的总和为288.48Q，该预期亏损也就是资产互换溢差支付的贴现值，即等于面值为100，券息率为2%，每六个月支付一次的现金流贴现，每六个月一次的现金流为1美元，所以现金流的贴现值为：因此，288.48Q=8.73840/7214.6由信用溢差来估算违约概率由此得出Q=3.03%，即每年3.03%的无条件概率与以上数据一致。由近似方法得出的违约密度为0.02/(1－0.4)=0.0333

即3.33%，这一结果比更为准确方法得出的结果要高，利用这一违约密度所得出的债券价格会低于面值。41/7214.6由信用溢差来估算违约概率如果对于假设干期限，我们资产互换的溢差，可以利用息票剥离方法来求得违约概率的期限结构。例如，我们有在3年、5年、7年和10年到期的债券，我们可以利用第1个债券来估计前3年每年的违约概率，利用第2个债券来估计第4年和第5年的违约概率，利用第3个债券来估计第6年和第7年的违约概率，利用第4个债券来估计第8年、第9年和第10年的违约概率。42/7214.7违约概率的比较由历史数据来估算的违约概率要远远小于由债券价格中隐含估算出的违约概率。如表14-5所示：表14-57年平均违约密度〔每年，%〕级别历史违约密度由债券价格计算的违约密度比率差距Aaa0.040.6016.60.56Aa0.050.7415.00.69A0.111.1610.61.05Baa0.402.135.31.73Ba2.074.672.32.60B5.627.971.42.35Caa11.2618.161.66.9043/7214.7违约概率的比较利用历史数据计算违约密度，我们采用式〔14-2〕及表〔14-2〕得出式中，为截止到时间t的平均违约密度〔或违约风险〕；为截止到时间t的累积违约概率。Q(7)的数值直接来自于表14-2。例如，对于信用评级为A的公司，Q(7)的数值为0.00762，因此，7年违约密度的平均值为44/7214.7违约概率的比较由债券价格计算违约密度，我们需要式〔14-3〕。在计算中，我们采用了美林证券〔MerrillLynch〕发表的数据，数据覆盖时间为1996年12月至2007年10月；回收率假设为40%；无风险利率假设为7年互换利率减去10个基点。例如，对于A级证券，美林证券所报告的收益率为5.933%，平均互换利率为5.398%，因此平均无风险利率为5.298%，7年的平均违约率为45/7214.7违约概率的比较表14-5显示，对于投资级债券，由债券价格计算出的违约概率与由历史数据计算出的违约概率的比率很大，但这些比率随着信用级别的降低而降低，两种违约概率的差随着信用级别的降低而有所增加。

46/7214.7违约概率的比较表14-6是对这些结果的另一种解释，此表显示出不同信用级别的投资人超出无风险利率之上的投资回报，无风险利率等于7年互换利率减去10个基点。表14-6债券的额外预期回报〔基点〕级别债券收益率超出国债收益率的溢差（基点）无风险利率超出国债收益率的溢差（基点）历史违约的溢差（基点）预期额外溢差（基点）Aaa7842234Aa8742342A11242763Baa1704224104Ba32342124157B52142337142Caa11324267641447/7214.7违约概率的比较我们考虑A级债券，这种债券的收益率超过国债收益率的平均溢差112个基点，在这112个基点中的42个基点是我们选取的无风险利率与7年期国债收益率的溢差，补偿预期违约需要7个基点，最终我们得出额外预期回报为63个基点。表14-5及表14-6显示，虽然两种违约概率差距很大，但对应的债券价格的额外预期回报相对较小，且随着信用级别的降低而有所增加。表14-6中的额外回报并不总是常数，信用溢差在2001年、2002年及2003年的前半年很高，之后一段时间较低，一直到2007年8月即在信用危机开始后，信用溢差急剧增加。48/7214.7违约概率的比较在衍生产品定价中，最重要的理论莫过于风险中性定价〔riskneutralvaluation〕理论,在这一理论中，我们可由如下方式来对某衍生产品进行定价：假定所有的投资人均为风险中性计算预期的现金流对将来的现金流以无风险利率来进行贴现这一理论可以使我们在所有投资人为风险中性的前提下，对现金流进行定价，采用风险中性定价，可以求得的产品价格、计算出的价格无论是在真实世界或风险中性世界均适用。49/7214.7违约概率的比较风险中性概率：由债券收益率所隐含的违约概率。-我们考虑表14-4有关违约概率的计算，在计算过程中我们假定对预期亏损可以用无风险利率进行贴现，这意味着表14-4中的违约概率为风险中性概率。真实世界的违约概率：由历史数据所隐含的概率。-表14-6中的额外预期回报直接起源于真实世界及风险中性世界违约概率的不同，当没有额外预期回报时，真实世界违约率等同于风险中性违约率，这一结果反过来也成立。50/7214.7违约概率的比较为什么真实世界中的违约概率与风险中性世界的违约概率会相差甚远呢？-企业债券的流通性较差，债券交易员会因此而索求更高的回报，但这只占整体额外回报的一小局部，这一说法大概可以解释额外回报中的25个基点。-债券交易员的主观违约率假设可能比表14-2中给出的违约率高很多，交易员所假想的萧条情形可能要比1970~2007年中的真实情形更差。以上两种说法很难解释大局部的额外回报。51/7214.7违约概率的比较导致表14-5及表14-6中结果的最主要原因是债券违约并不是相互独立的。在有些时间段违约率较低，而在其他时间段违约率较高。债券违约的相关性会触发系统风险，债券交易员因承担风险自然会索取回报，年与年之间违约率的不同可能要归咎于整体的经济条件，或者某公司的违约会触发其他公司的违约〔此现象被研究人员称为信用连锁反响〔creditcontagion〕〕。52/7214.7违约概率的比较除了我们刚刚讨论的系统风险，每一个债券还会伴有非系统〔或特殊〔idiosyncratic〕〕风险。不同于股票，债券收益具有非常大的偏态性，而且上涨的幅度有限〔例如，对于单一证券可能在一年内有99.75%的概率收益率为7%，而有0.25%的概率收益率为-60%，第一个情形对应于没有风险，第二个情形对应于违约发生〕，这类风险难以分散，我们必须持有成千上万的债券才能将风险分散。在实际中，很多证券组合并没有做到完全的风险分散，因此，证券交易员对于自身所承担的非系统风险也要求额外回报。53/7214.7违约概率的比较在信用分析中我们是应该采用真实世界的违约率还是风险中性世界的违约率？答案取决于我们分析的目的：-当是对衍生产品定价或者分析违约对产品价格的影响时，我们应该采用风险中性违约概率。这是因为在分析中会涉及计算将来预期的现金流的贴现值，在计算中会不可防止地采用风险中性定价理论。-当采用情景分析法来估测因违约而触发的损失时，应该采用真实世界的违约率，在计算监管资本金时采用的违约概率也应为真实世界的违约概率。54/7214.8利用股价来估计违约概率当我们采用类似14-2的数据来估计公司真实世界的违约概率时，我们必须依赖公司的信用评级，但是公司的信用评级更新较慢，因此有些人认为股票价格对估测违约概率提供了及时的信息。在1974年，默顿〔Merton〕提出了一个模型，在模型中公司的股票被当做公司资产的期权。55/7214.8利用股价来估计违约概率假设公司仅发行一个零息债券，债券到期时间为T，定义：V0：公司资产的当前价值VT：公司资产在时间T的价值E0：公司股票的当前价值ET：公司股票在时间T的价值D：在时间T公司发行债券的本息总和ϭV：资产波动率〔假设为常数〕ϭE：股票的瞬时波动率56/7214.8利用股价来估计违约概率当VT<D时，公司会对自己发行的股票违约，此时公司的股价为0；当VT>D时，公司会支付自己在时间T时的负债，在时间T的股票价格为VT－D。在默顿的模型中，在时间T时，公司的股价为以上公式显示出公司的股票可以看做对公司资产的看涨期权，期权的执行价格为债券应归还的本息总量。14.8利用股价来估计违约概率Black-Scholes公式给出了这一期权的当前价格〔14-4〕式中式中，代表累积正态分布函数，债券今天的价格等于V0－E0。

57/7214.8利用股价来估计违约概率公司在时间T时的违约风险中性概率为N(－d2)，为计算这一数量需要V0及σv，但这两个变量都不能在市场上直接观察。但是如果公司是一家上市公司，我们可以观察到E0,这意味着式〔14-4〕是V0及σv必须遵守的一个等式，我们此时也可以估计σE，由随即微积分中的伊藤引理〔Ito’sLemma〕，我们得出式中是股票的Δ值，它就是N(d1)，所以〔14-5〕

58/7214.8利用股价来估计违约概率式〔14-5〕是V0及σv必须遵守的另一个等式。式〔14-4〕及式〔14-5〕给出了一组关于V0及σv的方程组，由此可求得V0及σv的解。59/7214.8利用股价来估计违约