2023高考数学一轮复习第5章数列热点探究训练3数列中的高考热点问题文北师大版

PAGEPAGE1热点探究训练(三)数列中的高考热点问题1．(2022·广州综合测试(一))数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.[解](1)设数列{an}的公比为q，因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.2分因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.因为公比q≠0，所以q＝2.所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*).5分(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，所以anbn＝(2n－1)2n，7分那么Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×eq\f(41－2n－1,1－2)－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.12分2．(2022·四川高考)数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)假设a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－eq\f(y2,a\o\al(2,n))＝1的离心率为en，且e2＝2，求eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＋…＋eeq\o\al(2,n).[解](1)由Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.3分由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3所以a3＝2a2，故q所以an＝2n－1(n∈N*).5分(2)由(1)可知an＝qn－1，所以双曲线x2－eq\f(y2,a\o\al(2,n))＝1的离心率en＝eq\r(1＋a\o\al(2,n))＝eq\r(1＋q2n－1).8分由e2＝eq\r(1＋q2)＝2解得q＝eq\r(3)，所以eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＋…＋eeq\o\al(2,n)＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋eq\f(q2n－1,q2－1)＝n＋eq\f(1,2)(3n－1).12分3．(2022·南昌模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6.正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)假设λbn>an，对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．【导学号：66482267】[解](1)∵等差数列{an}中，a1＝1，S3＝6，∴d＝1，故an＝n.2分由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1·b2·b3·…·bn＝2Sn，①,b1·b2·b3·…·bn－1＝2Sn－1，②))①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，b1＝2S1＝21＝2，满足通项公式，故bn＝2n.5分(2)λbn>an恒成立，即λ>eq\f(n,2n)恒成立，7分设cn＝eq\f(n,2n)，那么eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(n＋1,2n)，当n≥1时，cn＋1≤cn，{cn}递减，∴(cn)max＝c1＝eq\f(1,2)，故λ>eq\f(1,2)，∴λ的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).12分4．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－eq\f(4,an＋3)，数列{bn}满足bn＝eq\f(1,an＋1)(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)证明：eq\f(1,b\o\al(2,1))＋eq\f(1,b\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,b\o\al(2,n))<7.[解](1)由题意得an＋1＋1＝2－eq\f(4,an＋3)＝eq\f(2an＋2,an＋3)，bn＋1＝eq\f(1,an＋1＋1)＝eq\f(an＋3,2an＋2)＝eq\f(an＋1＋2,2an＋1)＝eq\f(1,an＋1)＋eq\f(1,2)＝bn＋eq\f(1,2).3分又b1＝eq\f(1,2)，∴数列{bn}是首项为eq\f(1,2)，公差为eq\f(1,2)的等差数列，∴bn＝eq\f(n,2).5分(2)证明：当n＝1时，左边＝eq\f(1,b\o\al(2,1))＝4<7不等式成立；6分当n＝2时，左边＝eq\f(1,b\o\al(2,1))＋eq\f(1,b\o\al(2,2))＝4＋1＝5<7不等式成立；8分当n≥3时，eq\f(1,b\o\al(2,n))＝eq\f(4,n2)<eq\f(4,nn－1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，左边＝eq\f(1,b\o\al(2,1))＋eq\f(1,b\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,b\o\al(2,n))<4＋1＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝5＋4eq\b\lc\(\rc\)(\