2023版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.1简单几何体的结构、三视图和直观图试题理北师大版

PAGEPAGE16第八章立体几何与空间向量8.1简单几何体的结构、三视图和直观图试题理北师大版1．简单几何体的结构特征(1)旋转体①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．(2)多面体①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．2．直观图画直观图常用斜二测画法，其规那么是：(1)在图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；(3)图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的eq\f(1,2).3．三视图(1)主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．(2)在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线面虚线．(3)同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．(4)清楚简单组合体是由哪几个根本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．【知识拓展】1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形．2．斜二测画法中的“三变〞与“三不变〞“三变〞eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形改变.))“三不变〞eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改变，,与x，z轴平行的线段的长度不改变，,相对位置不改变.))【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(×)(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(×)(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的局部仍是圆柱．(×)(6)菱形的直观图仍是菱形．(×)1．(教材改编)以下说法正确的选项是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．假设两条线段平行，那么在直观图中对应的两条线段仍然平行答案D解析由直观图的画法规那么知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．2．(2022·宝鸡千阳中学二模)某几何体的三视图如下图(单位长度：cm)，那么此几何体的外表积是()A．(16＋6eq\r(2))cm2 B．22cm2C．(12＋6eq\r(2))cm2 D．(18＋2eq\r(3))cm2答案A解析由三视图可知，该几何体为三棱柱．三棱柱的外表积为5个面的面积之和，又因为底面是等腰直角三角形，直角边长为2，棱柱的高为3,所以S＝2S底＋S侧＝2×eq\f(1,2)×2×2＋3×(2eq\r(2)＋2×2)＝16＋6eq\r(2)(cm2)．3．(教材改编)如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．直角三角形答案D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，复原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图复原为平面图形是直角三角形．应选D.4．(2022·长春三模)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为()A．20 B．18C．14＋2eq\r(3) D．14＋2eq\r(2)答案A解析由三视图可得该几何体的直观图如下图，其为一个正方体截掉4个角后形成的几何体，故该几何体的外表积为S＝2×2＋eq\r(2)×eq\r(2)＋4×eq\f(1,2)×2×2＋4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(22＋\f(1,2))＝20.5．某四棱台的三视图如下图，那么该四棱台的体积是______．答案eq\f(14,3)解析由四棱台的三视图可知，台体上底面面积S1＝1×1＝1，下底面面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝eq\f(1,3)(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)h＝eq\f(1,3)×(1＋eq\r(1×4)＋4)×2＝eq\f(14,3).题型一简单几何体的结构特征例1给出以下命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，假设两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，那么该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．(1)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)给出以下四个命题：①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．答案(1)B(2)①②③解析(1)命题①错，因为这条边假设是直角三角形的斜边，那么得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，应选B.(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，假设底面不是矩形，那么③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．题型二简单几何体的三视图命题点1几何体，识别三视图例2(2022·济南模拟)如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下图，那么其主视图和左视图正确的选项是()答案D解析主视图的轮廓线是矩形DCFG，点E在平面DCFG上的投影为DG的中点，且边界BE，BG可视，故主视图为选项B或D中的主视图，左视图的轮廓线为直角梯形ADGE，且边界BF不可视，故左视图为选项D中的左视图，应选D.命题点2三视图，判断几何体的形状例3(2022·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．假设该几何体的体积是eq\f(28π,3)，那么它的外表积是()A．17πB．18πC．20πD．28π答案A解析由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一个球挖掉它的eq\f(1,8)得到的(如下图)．设该球的半径为R，那么eq\f(7,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28,3)π，得R＝2.所以它的外表积为4π×22－eq\f(1,8)×4π×22＋3×eq\f(1,4)×π×22＝17π.应选A.命题点3三视图中的两个视图，判断第三个视图例4(2022·石家庄质检)一个三棱锥的主视图和俯视图如下图，那么该棱锥的左视图可能为()答案D解析由题图可知，该几何体为如下图的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，应选D.思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意主视图、左视图和俯视图的观察方向，注意看到的局部用实线表示，不能看到的局部用虚线表示．(2)由几何体的局部视图画出剩余的局部视图．先根据的一局部三视图，复原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下局部三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的局部三视图是否符合．(3)由几何体的三视图复原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图复原为实物图．(1)(2022·全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的外表积为()A．18＋36eq\r(5)B．54＋18eq\r(5)C．90D．81(2)如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图，那么该几何体的左视图为()答案(1)B(2)B解析(1)由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，eq\r(45)，几何体的外表积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×eq\r(45)×2＝54＋18eq\r(5).(2)由直观图、主视图和俯视图可知，该几何体的左视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．题型三空间几何体的直观图例5(1)正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，那么原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形答案(1)D(2)C解析(1)如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，那么C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.应选D.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm.∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．应选C.思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．如下图，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么△ABC的面积为______．答案eq\f(\r(6),2)a2解析建立如下图的坐标系xOy″，△A′B′C′的顶点C′在y″轴上，边A′B′在x轴上，把y″轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得eq\f(OC′,sin∠OA′C′)＝eq\f(A′C′,sin45°)，所以OC′＝eq\f(sin120°,sin45°)a＝eq\f(\r(6),2)a，所以原三角形ABC的高OC＝eq\r(6)a，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.10．空间几何的三视图典例将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，那么该几何体的左视图为()错解展示解析结合正方体中各顶点投影，左视图应为一个正方形，中间两条对角线．答案C现场纠错解析左视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.答案B纠错心得确定几何体的三视图要正确把握投影方向，可结合正方体确定点线的投影位置，要学会区分三视图中的实虚线．1.“牟合方盖〞是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为表达其直观性所作的辅助线，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案A解析当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖〞相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，应选A.2．(2022·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的外表积为()A．20π B．24πC．28π D．32π答案C解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝eq\f(1,2)×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的外表积S＝8π＋16π＋4π＝28π，应选C.3．(2022·大连一模)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，那么三棱锥P－A1B1A的左视图是()答案D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1、A1、A的投影分别是C1、D1、D；AB1的投影为C1D，且为实线，PA1的投影为PD1，且为虚线．应选D.4．(2022·北京)某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2答案C解析根据三视图，可知该几何体的直观图为如下图的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝eq\r(2)，在Rt△VBD中，VD＝eq\r(VB2＋BD2)＝eq\r(3).5．(2022·黄山模拟)一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、俯视图如下图，那么其左视图为()答案C解析根据一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、俯视图可得几何体的直观图为所以左视图为应选C.6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如下图的一个正方形，那么原来的图形是________．答案①解析由题意知，平面图形的直观图为正方形，且边长为1，对角线长为eq\r(2)，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2eq\r(2).7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，那么三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为________．答案1解析如题图所示，设正方体的棱长为a，那么三棱锥P－ABC的主视图与左视图都是三角形，且面积都是eq\f(1,2)a2，故面积的比值为1.8．(2022·北京改编)某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的外表积是________．答案2＋2eq\r(5)解析由三视图可得该三棱锥的直观图如下图，其中PA＝1，BC＝2，取BC的中点M，连接AM，MP，那么AM＝2，AM⊥BC，故AC＝AB＝eq\r(BM2＋AM2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，由主视图和左视图可知PA⊥平面ABC，因此可得PC＝PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋5)