第12讲 正弦定理和余弦定理及其应用

222222222222222222222222222222222编制：审：基本信息课时安排

学员姓名课题名称

正余弦定理

学科课时计划

数第)课时

年级班级上课时间

高一年月日共)课时

时间：教学目标

教学重点教学难点个性化问题

正弦定理和余弦定理表达式及其变形式两个定理的灵活运用解题教学过程正弦定理和余弦定理及其应用第6[习目标]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，，C所对的边分别是a，b，，则正弦定理

余弦定理内容

ac＝＝＝sinAsinsinC

a

＝b＋c－bccosAb＝a＋c－cosB为△外接圆半径

c＝a＋b－cosa2sin，b2sin，c＝2Rsin；

cosA＝

b＋c－a2bc

；常见变形

ab(2)sin＝，sin＝，；

cosB＝

a＋c－b2ac

；ab∶c＝sin∶sin∶sinC

cosC＝

a

2

＋b－c2ab解决的问题

已知两角和任一边，求其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在△ABC中，已知a，b和时，解的情况(注意：解三角方程时直接就能判定)为锐角/6

为钝角或直角

22222π2391622222π23916图形关系式解的个数

a＝b一解

bA＜＜b两解

a≥b一解

a＞b一解4.三角形中常用的面积公式1＝(h表示边a上的高)．11＝＝ab＝sinB.1＝r(ab＋c)(r为△内切圆半径)．5.解三角形类实际问题中常见的角仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B的方位角为图2)．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等注意“方位角”与方向角”的区别位角大小的范围是0,2π)向角大小的范围一般是坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．辨析感悟1．三角形中关系的判断在△中，＞B的充分不必要条件是A.(×)(2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝，＝2＝，则A＝或2．解三角形

√)1在△中，a＝3，b5，sin＝，则＝.

√)9(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，＝4，cosA＝，则＝6./6

√)

2234D.2π22222b2＝2234D.2π22222b2＝.答案(1)A(2)22在△中，若＜cosA，则此三角形是钝角三角形．

√)在△中，若b＋c＞a，则此三角形是锐角三角形．[悟·提升]

×)1一条规律

在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞⇔a＞b⇔＞sinB，如1)．2．判断三角形形状的两种途径转换.

一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角考点一

利用正弦、余弦定理解三角形【例1】湖南卷)在锐角△中，角A所对的边长分别为，b.若2a＝，则角等于

()．π

B.

π

C.

π6

π12(2)(2014·杭州模拟)在中，角，B，对的边分别为，b，若a＝1，＝4，B＝45°，则sinC＝解析

在△ABC，由正弦定理及已知得·sin＝，3∵为△的内角，∴sin≠0.sin＝.∵△ABC锐角三角形，∴∈.32由余弦定理，得＝a＋－2cosB1－2×＝，即b5.c·sin所以C＝

242×455规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；★★★和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．★★★【训练1】(1)在△ABC中，a＝23，c＝22，＝60°，则＝()．A．B．45°或135°D．60°△中角B的对边分别是a－b＝bcC＝2B＝()．A．B．120°D．/6

22222bc2222222－22222bc2222222－ab22222abab2222222222

判断三角形的形状【例2】临沂一模在△ABC中ab分别为内角A，C对边，且2a＝b－c＋c－b.求角A的大小；

(2)若＋＝3试判断△ABC的形状．解

由2＝(2b－c)sinB＋(2－bC，得2a

2

＝(2b－cb＋(2c－b)c，即bc＝b

2

＋c

－

2

，b＋c－a1∴cosA＝＝，∴＝∵★★★★★＋＋＝180°，∴＋C＝－＝由sinB＋sinC＝，得sinB＋－B)＝3，∴Bsin120°cos－cos120°sinB＝3.3∴sinBcosB＝3，即sin(B＋＝1.

∵0°<B，∴B＋∴＋＝90°，B＝60°.∴＝B＝＝60°，△为等边三角形．规律方法解决判断三角形的形状问题一般将条件化为只含三角函数的关系式然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意，B，范围对三角函数值的影响．【训练】山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角A，C的对边分别为，，c，且2＝＋2＋ab，则△是

()．A．钝角角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．等边三角形在△中，若(a＋)sin(－B)＝(a－，则△的形状是

()．A．锐角角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰或直角三角形解析

11a＋b－c1由2c＝2a＋2b＋ab得a＋b－＝－ab所以cos＝＝＝－＜，所以90°＜180°即△ABC为钝角三角形．由已知(＋－B)(a－，b[sin(A)＋C]a[sinCsin(－B)]即bsinA＝aAsinB即sinBsinA＝sinAcosAsin，所以2＝sin2A由于，B三角形的内角，故02＜2，02＜2π★★★★＝2B2Aπ－2B即AB＋B.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案

(1)A(2)D考点三

解三角形实际应用【例题】如图所示位于A处的信息中心获悉在其正东方向相距40里的处有一艘渔船遇险，/6

2277142226在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线前往B救援，则θ等2277142226

217

B.

2114

C.

32114

D.

2128解析

如图所示，在△ABC中，＝40海里，AC20海里，∠BAC，由余弦定理，得BC

2＝＋AC－·cos＝2800故BC20海里)．由正弦定理，得sinACB·sin＝2由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，故cos＝.21故cosθ＝cos(ACB30°)cos∠－sin∠ACB30°答案

B基础巩固题组建议用时：分钟)一、选择题1．绍兴模拟)在△ABC中，若－＋b＝3ab则()A．BC．D．120°32．合肥模拟)在△ABC中，＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则的长为()．

32

B.3．23D．ππ3eq\o\ac(△,．)ABC的内角AC的对边别为ac知b＝2＝C＝则△ABC的面积为()．A．232B.C．23D.3－14．△的内角，B，所对的边分别为a，b，.B＝2A，a＝1，b＝，则＝()．/6

2242A．23B．2C.222425．陕西卷)设△的内角，B，所对的边分别为，，，若bcosC＋B＝，则△ABC的形状为()．A．直角角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．不确定二、填空题6．在△ABC中，角，B所对的边分别为，，，若a＝b＝2，＋cosB＝，则角的大小为_______．7．惠州模拟)在△ABC中，角，B，对边分别为a，b，.(a＋c－b)tanB＝ac，则角的值为________．18烟台一模)设△ABC内角，