多面体与球-习题

【模拟试题】一选题：球上有3个，其中任意两点的球面距都等于大圆周长的圆的周长为4，么这个球的半径为（）

，经过这3点的小

43

23

C.2D.

3如A、BC是表面积为

的球面上三点，，

，O为球心，则直线与面ABC所的角是（）

3arccosC.63把方形ABCD沿角线AC折，当以ABC、D四为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与BC的角为（）30B.°C.60D.90°已体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为、S、，则它们之的关123系是（）

12

3

1

2C.

2

1

21

3如，一个由三根细铁杆、、PC组的支架，三根杆的两两夹角都是°，一个半径为的球放在支架上，则球心点P距离是（）

3

2

C.2D.

已球的表面积为20，面上有ABC三，如果AB=AC=2，球心到平面ABC的距离为（）

BC2

，则B.

2

C.

3

地半径为R，在北纬30°圈上有两点ABA点经度为东经°B的经度为西经60、B点的球面距离为（）

R

C.

R3

R一正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是（）（1）（）C.（1）（2）二解题：如所示是球的径、D是面上两，且都在以为直径的小圆上，设小圆所在的平面为

（1求证：平面ABC⊥；（2D为BC

的中点与面所的角为球的半径OD且垂直于平面

的截面截BC弦点，与过OD的面圆的面积之比。在长为2R的方体容器内装满水，先把半径为R的放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中使出的水多这个球的半径应是多少？并计算放入两球后溢出的水量与容器容量之比。上靠近北纬30、东经°的A，洛杉矶靠近北纬30、西经120°点如果以美国新研制的倍音速的飞机，那么从洛杉矶起飞到上海需要多长时间？（)1.70

，音速为340m/s，球半径取R=6378km

33【试题答】一B解：球心为，题设知三棱锥—ABC正四面体，且ABC外接圆半径是，设球半径为R，则

，∴

3D解得该球的半径是23截面圆上AB=2BC=4ABC60

AC2截面

，则截面圆的圆心是BC中点，面圆半径是2，由球的知识知⊥1所以OAO是直线OA与面ABC所的角在

OAO中，2,21所以

cos1

13故直线OA与截面ABC所的角是

解：图，面ADC折到

AD

的位置，显然面ABC面

AD

时，体积最大，O是AC中点，连结、OD∵面ABC面

AD

∴

OD

又

OD∴在

Rt

中，

D

ODAD∴

，即

为等边三角形又AD//BC∴ADAD所的角即为ADBC所的角，即选。解：

S32

V

)

，

3S()∴

，得

2

1A解：图所示O为心O为切点E、的截面小圆的圆，EFP为正三角1

形设

∴

1

由射影定理知

OE1∴

13a3

3

∴球心点的离为

A解：图，设球的球心是，于到、B、C的离都是球的半径∴O在面ABC的射影的心在

ABC

中，由余弦定理得

cosA

2

222(23)222∴

设外圆半径为正弦定理得

BCsin120

=2

∵

球

2

∴

∴球O平面ABC的离

OO

2

2

D解：点A都北纬30点经度为东经20的经度为西经

60∴AB两的连线是纬线圈的直径，过B作⊥赤道平面于，则

BOE∵OO⊥道平面∴1

O601

∴

2∴过AB的大圆劣弧长1

AB

R解：截面平行于正方体的一条侧棱时，得）或（3截过正方体的角线

时，得（2论何都不能截出（二解）BC的中点

O

，连OO1

∵O是BC直径的圆的圆心1则OOO1

1

即OO面BCD1

又∵OO面ABC1∴面ABC面，即面ABC⊥

（2）为

的中点，则DO⊥，过OD且直于平面的面截弦，E1即是

O∴

OEB

∵AC⊥

∴AC面，

设BC

r

，则

CD

2

r

，

CD

2rtan

∴

2BC22rtan

r2∴

S

OEDS圆

S

DS圆

14

SABCS圆

1r421r22

2(2解设半径为R的的球心为O，后一球的球心为

O

，作出正方形的对角线，如图所示的矩形

AACC11

中，O点在对角线

1

中点处，欲使第二个球放入后溢出的水最多，则球心O也上，作OQAC于，P⊥AC于P设两球外切于11APO~1

E，则∴

QO11

由AC11∴AO1

12

R1

∴

(AE

)又

AER3R

∴

3)R此时所求比为

43)3)3

R

92

解析设地半径为

，

AB

所对球心角为

，

30

纬度圈的半径为r

，则

r

，