课线代件另一6-1二次型及其形

复习1.方阵A可对角化：①n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量推论:如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等,则A可对角化．②A可对角化对A的每个特征值λ,皆成立的对角线元素为A的特征值，P的n列为对应的特征向量.2.实对称矩阵的正交对角化①特征值全为实数.②对每个特征值λ

，都有③属于不同特征值的特征向量必正交。A可正交对角化，即存在正交阵Q，使思考题:设n阶实对称阵A满足A2

=

A

，且r(A)=

r，求|2I

-A|的值.解：设

∵A是实对称阵，且r(A)=

r可逆阵P

，使∴A

-2I

有特征值-2(n–r重)和-1(r重)思考题:已知3阶实可逆阵A、B,A的特征值为此处为互异正整数，若B的特征值为－5,1,7,且求，并写出的相似对角阵.解:由题意知A可对角化，即存在可逆阵P，使……第六章二次型二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵第一节二次型及其标准形二次型及有关概念第六章二次型化二次型为标准形例对二次曲线作坐标变换可化为标准形线性变换称为二次型.1、定义一、二次型及有关概念含有n个变量的二次齐次函数当aij是复数时，f称为复二次型．当aij是实数时，f称为实二次型．说明：我们只考虑实二次型．

只含有平方项的二次型称为标准形．例如都为二次型；而也为标准形.(1)用和号表示对二次型2、表示法取aij=aji,则2aijxixj=aijxixj+ajixj

xi,于是(2)用矩阵表示若记则二次型可记作f

＝xTAx，其中A为实对称矩阵．二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系：任给一个二次型可唯一地确定一个对称矩阵；任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．实对称矩阵A称为二次型f

的矩阵；

f称为实对称矩阵A的二次型；实对称矩阵A的秩称为二次型f

的秩；标准形的矩阵为对角阵.【例1】

试写出下列二次型的矩阵【解】说明虽然实际表达式中只有三个不同变量，但必须按记号中出现的变量个数为准．不过一般不特别指明的话，总以实际出现的不同变量数为其矩阵的维数．【解】以题意，该二次型的矩阵应为【例2】试写出下列二次型的矩阵．【解】一般二次型f(x)＝xTBx的矩阵为(因为f(x)=fT(x))问题：给定二次型，如何即即x=Py(|P

|≠0)，使二次型在新变量下成标准形，即关于为标准形,也即要使成为对角阵.确定一个可逆的线性变换由于对任一对称阵A，总可找到正交阵Q，使二、化二次型为标准形定义：对n阶方阵A,B，若存在满秩阵P，使成立B=PTAP,则称A与B合同．合同关系满足：自反性，对称性，传递性化二次型为标准形使实对称矩阵合同于实对角矩阵即A与既相似又合同.定义:

若Q为正交阵，则线性变换y=Qx

称为正交变换．定理1

任给二次型总有正交变换x＝Qy，使f化为标准形其中为f的矩阵A=(aij)的特征值．1、正交变换法【例3】

求正交变换x＝Qy，将化为标准形.并问f＝2表示什么曲面？【解】对应的特征向量

规范化记,则令x＝Qy，则表示双曲面.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：1.将二次型表成矩阵形式f

＝xTAx

，求出A；2.求出A的所有特征值;

3.求出对应于特征值的特征向量；4.将特征向量正交化，单位化得，记；5.作正交变换x＝Qy，则得f的标准形注意:(1)f

＝xTAx

经过正交变换化成的标准形，其系数一定是A的特征值．(2)正交变换保持向量的长度不变.

即若x＝Qy是正交变换，则必有

(3)用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．【例4】设二次型经正交变换x＝Qy

化成则常数a=___、b=___、r(A)=___.【解】f

＝xTAx,A的特征值0，1，4.由0+1+4=1+a+1得a=3再由|A|=0可得b=1进一步可求出正交变换x＝Qy

r(A)=2

对应于特征值0、1、4的特征向量规范化得记则正交变换为x＝Qy.

【例5】已知A为3阶实对称矩阵，二次型f

＝xTAx经正交变换x=Qy化为标准形，其中矩阵，且．试求所作的变换x=Qy．【解】由Q正交知，两两正交，且由题设知A的特征值为1,1,－4,是对应于－4的特征向量．设A的对应于特征值1的特征向量为，则由知由此可得A的对应于特征值1的线性无关特征向量经正交化，规范化得即因此，正交变换x=Qy为用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何问题：形状不变．2.(拉格朗日)配方法有没有其它方法,也可以把二次型化为标准形？令即记满秩阵则x=Pz时，有用配方法例3中用正交变换可化为标准形规范形为令即记满秩阵则x=Pz时，有用配方法用正交变换x＝Qy可化为标准形例4中规范形为1.若二次型含有xi的平方项，则直接配方;拉格朗日配方法的步骤：2.若二次型中不含有平方项，但是aij≠

0(i≠j),则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再配方.即

【例6】化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换．得标准形所作的可逆线性变换为x=P1P2

z

，即

【解】令即x=P1

y，

可逆有再令即即

y=P2

z，

可逆规范形可见，二次型的标准形是不唯一的.但不论变换如何，标准形中非零系数的个数总是确定的，即为r(A)也即为二次型的秩.进一步还有：西尔维斯特(Sylvester)惯性律:对给定的二次型f

＝xTAx

，其任一标准形中正系数个数和负系数个数均为确定的数，分别称为f的正惯性指数和负惯性指数，记作称为符号差.由Sylvester惯性律可进一步将标准形规范化：称为二次型f的规范形.规范形的系数分别为1,…,1,－1,…,－1,0,…,0在这个顺序下，二次型的规范形是唯一的.

所以一个二次型的标准形可以不止一个，但它的规范形是唯一的.由此可给二次型分类.(1,－1,0可以不同时出现).复习2.二次型:f(x1,x2,…,xn)＝xTAx其中A=AT

二次型f与对称阵A一一对应,A的秩称为f

的秩