常见的求函数值域的方法

，，常的函值的法朱欢，广东省中山市第一中学528400函数是中学数学的重要基本概念之它与代数式、方程、不等式、三角函数、导数与积分等内容有着密切的联,应十分广泛．函数的基础性强、概念,其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之,是考的常见题型．下面就函数值域的求法举例说明．．直法对于常见的基本初等函数，可以根据其性质直接求出其函数的值域．一次函数

的定义域为，值域为；反比例函数

y

kx

(

的定义域为

{x

，值域为

{y0}

；二次函数

f(x)

bc定义域R，当a时，值域为{y

44当时值域为{|4a

2

}

．【1）知函数

yx

2

x[1,2]

则该函数的值域________．（2）函数f(xaxx的大值和最小．【析）x因为．所以当y；时所以所给函数的值域．

．（2）()

，对称轴为．①当a时，由图①可知，fx

f

，f(x

f(2)a

．②当≤＜1时，由图②可知，f()

fa

，x

fa

．③当≤≤2时，由图③可知，f()

fa

，fx

f(0)

．④当a时由图④可知，f(x)f(2)，f)(0)综上所述，当a时f()f(x)；

．当≤a＜1时f

，fx

；当≤a≤2时f

，f()

；当a，f(x)

a

，f)

f(2)af(x

f(0)【注二函

在区[m]上的域同考最值最值

minmin55(6；k142，minmin55(6；k142，一是过论称与间左位关，确函在间上大图，合像找数最点最点进步定大和小，般需分种况论即

b2

;m;;aaa

．单性【2已知数

，则该函数的值域是．【析此函数的定义域为[1,

，且是增函数，当

x

时，y

，函数的值域为【注函解式的个分函在一间同同，这时可利单性函的域【式已知函数

yx

，

则该函数的值域是．【析函数其定义域

(]

上是减函数，当时，y

112

．故所求函数的值域是

112

,

．．分常法【3求函

5xx

的值域．【析yx

，值域为{y5}

．【注形

ax(

可分常法值，域

a{}y

或y

sinxsinx

的数用离数求域对分、母为次的式函求域．也用离数，将子次一式求若数为比型数由，直知yx

(0)

，【变式】已知函数y

3x

，则该函数的值域为．【析y

3(x

，∵xx

404x

，∴值域是[

．．换法【4已知数

xx

，则该函数的值域是________．

【析令在[0,

，2，以yt)，，函数2上是增函数以t时y故求函数的值域是[2,．min．三换法【5已知函数yxx

，则该函数的的值域是．【解析】y4xx

43

，

可设x

23

i，

,]2

，∴，3

23

22coscos3

433

1y2．xx3y，1y2．xx3y，∵

，∴所给函数的值域为

23[]33

．【注对被方含平的式可利三函知识行角元换的的让子的号掉简化子便解围常见是利平关换，

其中元

的围限要不响

的值运方为则【式已知函数yx1

该函数的值域是．【析设cos

,

2sin()4

，∵0

4

4

,∴

)4

，即值域为[

．．有性【6求函y

的值域．【析由

11

，得x

．∵x1y

，∴

．∴y

，即函数值域为－．【注在中出x或或sinx或x型，以解x

，用

的达来述

x

2或ax

或

sinx

或

cos

等然利其围到于的不式通解等得求值【式已知函数；该函数的值域是．sinx【析由sinx

sin2

32

y

13

函数值域为[]．方

．m【已函数1x的最大值为M最小值为m则的值为．M【析易知

，

y

2

(1xx

2当

时，

y

取得最大值

M

，当

x

时，

取得最小值

，2．M2【注注根的构征平后式边

能消根里一二函，可二函求最或由

()(

均值等求大典特是个式被方之为值如

1【式】知函数

y

则该函数的值域_．【析易[．

，y22[2,4]

，又0

，故函数的值域是．别法

y且x349(x499yyx，1y且x349(x499yyx，11【】求函数

y

xx

的值域．【析∵x

恒成立，∴函数的定义域为R

．由

y

xx

得：

(yx

yy

①①当y

即

时，①即

3，

．②当y

即2

时，∵时方程(

2

yy0

恒有实根，∴

y

0，∴1y且y2，∴原函数的值域为[1,5]．【注原式数义是体数即任实数x都等成，价一二次程有个数，需判式非数可特应意的，于

的程(yx

2

yxy

是二方，有元次程实范内解才使判式这是别法基原．【式已知函数y

xx

，

则该函数的值域．【解析

y

x

32

yxy

．若

y0,yx

y0

有两个实数解，

得

3y0.y4若

y0,

0.

x

，符合题意函的值域是。y[]x49．基不式【9】（）函数

x

(

的值域．（）正数xy满足x

，则的值范围是．【析由

x

1yx

||yx

，即

．所求函数的值域为(

．（2）xy

，x

)4，且仅当yxxxyx

255

时取等号．【注在值时在中现

1x

这类或化这类的目可用本等求．用本等求要到一，定三等．【式】知函数yxxx

，则该函数的最小值为

()A．－3B．．．－【析x

11(x

，当且仅当x

1

即时“”号．∴

ylogx5)log,选Bx．分讨法【】已知函数f()x||

，则该函数的值域为．

33232332324【析(x)2画出函数图象，图所示值域为24

[2,

．【式已知函数f(

x

，则该函数的值域是．x【析(x

画出函数图象，得值域为

[2,

．．导法【11已知函数f(x)＝x＋＋bx＋c，曲线y＝fx在点x＝1处的切线l的程为3x－y＋10，在点x＝处y＝(x)得极值．(1)求，b，c的；求y＝fx)区间[－，1]的最大值和最小值．【析由fx)x＋＋＋，得f)＝3x＋2＋b由f′(1)＝3，可得2a＋＝．①由f（）0可得4＋b40②由①②，解得a＝，．由于切点的横坐标为，所以f＝，1＋a＋b＋c＝，所以c＝．

．

(2)由(1)可得()＝x