第2讲 三角函数(教师版)

2第二讲角函2【识理一、内容提示：1．y=sinx，x∈R和y=cosxx∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2.三角函数的基本内容）y=sinx和y=cosx的性质：y=sinx

y=cosx五点法5个特殊点

(0,0)(2(2

3,1)((2

,-1)

(0,1)(2(2

3,0)((2

,0)定义域

x∈R

x∈R值域

［－1，1］

［－1，1］最大值最小值周期性奇偶性单调性（增）减

当且仅当x＝＋2kπk∈取得最大值1当且仅当x＝－＋2kπk∈取得最小值－12kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期最小正周期是2π奇（正弦曲线图象关于原点O对称）在每一个闭区［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到3在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－

当且仅当x＝2kπ，k∈Z，取得最大值1当且仅当x＝(2k＋1)πk∈取得最小值－12kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π偶（余弦曲线关于y轴对称）在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数其值从－增加到1在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1（2）正切函数的性质：1定义域：

xz

2值域：R3周期性：

T4)．奇偶性：tan数

xxx3xxx35)．单调性：在开区内，函数单调递增3.三角函数图像问题：（1）y＝Asin(ωx：其中表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间T

，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数

，称为振动的频率相位；时的相T

称为初相（2）三角函数变换：1）sinyA：y=Asinx，x且A图象可看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的倍得到的它的值域[-A,A]，最大值是A,最小值是-A，若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折A

称为振幅，这一变换称为振幅变换2）sinxy

x：函数y=sinωx,x(ω>0且ω图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来倍（纵坐标不变ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期，这一变换称周期变换3）yx

)：函数y＝sin(x

)，x∈R(其

≠0)的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左(0时)或向右(0时)平行移动个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向加左减右”)y＝sin(x与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换【型题【例1】求函＝sinπ的单调增区间解：将原函数变形为y－sinπ因此只需求sinπ＝y的减区间即可∵ｕ＝π为增函数∴只需求sinｕ的递减区间∴2k＋≤π≤2π＋22解之得：4k+2≤≤4+4(k∈∴原函数的单调递增区间为［k＋，4k＋］(∈Z)

y＝－2sin2x－·【例2】0≤≤条件下，求＝cos2x－sincosx－2x的最大值和最小值y＝－2sin2x－·解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有1cosx＝2(cos2x－sin2)－1＝2(cos2cos

－sin2xsin)－14＝2cos(2＋)－1∵0≤x≤，≤2x＋≤4443cos(2x＋)在［0，）上是减函数8故当x＝时有最大值

当x＝

8

时有最小值－13cos(2x＋)在［，］上是增函数82故当x＝

8

时，有最小值－1当x＝时，有最大值－

综上所述，当x0时，y＝1max当x＝

8

时，y＝－22－1min

步高校—生成主【例3】求函＝cos

2－3sinx最大值解：y＝cos

2x－3sin＝－sin

2x－3sinx＋＝－(sinx＋)

2

＋

∵－1≤sinx≤，∴当sinx＝－1时，y＝3max说明：解此题易忽视sinx∈［－，］这一范围，认为sinx＝－时，y有最大值，造成误解2．注意条件中角的范围【堂习1、求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么1sin2x，x∈R2y=sin(3x+)-12下列三角函数的周期y=sin(x+)2+)3y=|sinx|23、不通过求值，指出下列各式大于0还是小于(1)sin(－

)－sin(－

)；(2)sin(－)(－)．44、函数y=ksinx+b的最大值为2,最小值为-4，求k,b的值5、求函数y＝sin

π的单调增区间6、求函数y＝sin

2x＋cosx＋a－(0≤x≤)的最大值27、画出函数y＝sin(＋)，x∈R，＝sin(－)，x∈R简图8若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x)，则原来的函数表达式为()Ay＝sin(x＋)By＝sin(x＋)Cy＝sin(x－)Dy＝sin(x＋)－49、函数y＝＋()

的图象，可由y＝sinx图象经过下述哪种变换而得到A向右平移

个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍4/6

步高校—生成主1B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍1C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍311D向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍310知函数y＝Asin(x同一周期内x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为()Ay＝2sin(3x－)By＝2sin(3x＋)Cy＝2sin(

xx＋)Dy＝2sin(－)3611．函数

sin(2

是上的偶函数，则的值是（）A．

B．

C.

D.

12数

)3

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2坐标不变再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是（）3A．

1

B．

1x

)

C.

1x)

D.

sin(2

)2

2

2

2

613．在函数ysin、ysin、ysin(2x正周期函数的个数为（）A．B．个C个D个

2

)、ycos(2x)中，最小14．若函数(x)kx

)最小正周期

T

满足

1

,则自然k的为______.15．满sinx

的的集合为________________________