第四五章课后作业答案-new

第4章数值积分与数值微确定下列求积中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积具有的代数精∫ （1）f(x)dx≈Af(−h)+Af(0)+ 解（1）中给出的求积中,已给出三个求积节点分别为：x0=−h,x1=0,x2=h,相应的求积系PS:想要求得求积的代数精度,则必须给出完整的求积,即,求积节点和求积系数必须都已知。因此,在求求积的代数精度之前需先求出求积系数。三个未知数需三个方程,假设该求积公将f(x)=1,x,x2分别代入两端并令其左右相等,A−1+A0+A1=3−hA−1+hA1=0,h2A−1+h2A1=2h3.3解得A−1=A1=h,A0=4h,从而求积至少具有2次代数精度.则求积为 ∫ 又由于f(xx3,x4时

f(x)dx f(−h)33

f(0) f ∫x3dx

1x4|h=0

(−h)3

∫

̸ x4dx

h5

h53

(h)43

(3∫因此−hf(x)dx

hf(−h)

hf3(h)具有3次代数分别用梯形和计算下列积分0（1）∫1xdx,n0解:有题意(n=8)知,利用复合梯形和复合计算积分。 ∫ hf(x)dx=

[f(xk)+f(xk+1)]=2[f(a)

f(xk)+f(b)],h

用复合梯形,a=0,b=1,n=8,h=1,f(x) x,xk=1k,k=1,2,··· 复

T8

2[f(0) f(xk)+f(1)]= ∫f(x)dx

h

[f(xk)+4f(xk+1)+f 6 h 6[f(a)+b−

f(xk+1)2

f(xk)+f1h ,xk=a+kh,xk+1=a+(k x

12用复合,a=0,b=1,n=8,h=8,f(x)=4+x2,xk=8k,xk+12

(k+),k=1,2,···,S8

h[f(a)+4

f(xk+1)2

f(xk)+f(1)]= 04. 求积分∫1e−xdx并估计误差0解: b− a+S [f(a)+4f )+f 故 S

− 方法一：误差

=6

+4e2+ ]= R[f]=−b−a(b−a)4f)ηη∈(a, 从|R[f]| |

b−

(b−a

η 1η∈[0,1]180 1 1e0= 180以上解题过程适用于误差表达式已知的情形.若误差未知可通过求积的精度得到误差方法二 求 0f(x)dx≈6[f(0)+4f(2)+f0可验证其具有3次代数精度,则R[f]=Kf31)ηη∈(a,b),K待定.利用f(x)=x4代入求积可0∫ 1[0+4( 044K4!=R[f]44

xdx− 2)+1]=−120,K=−从而|R[f]|=|1f)η≤ 2 2方法三：积分可以求出准确

1e−xdx=−e−x|1=1−e−1.求积S=1[e−0+4e−1

],则求积的余项为R[f]

∫1

dx−S

2e–2e–

–7

≈ 10.试构造型求积

∫1

√f(x)dx≈A0f(x0)+A1f 解:该为两点型求积,需要确定四个未知参数方法一：确定四个未知参数,则需要四个方程。分别令f(x)=1,x,x2,x3代入求积精确成立,A0+A1=A+,2A1=

可解得x0=1(3−

√6),x1=1(3+

x3A0+x3A1=√ 6)进而可得A01

√5,A1=1−

√5.则可得7求

∫ ∫ 1 1 x0√f(x)dx≈(1+ 6)f(7(3− 5))+(1−x0

)f((3+

5优缺点：思路简单 计算复杂x 2 0方法二：权函数ρ(x)=√1。利用正交多项式的方法(∫1p(x)ω(x)dx=0,p(x)∈H)先求出 求积的求积节点, x 2 0型求积的求积节点是关于权函数ρ(x)=

的正交多项式零点x0及x1,设ω2(x)=xx(x−x0)(x−x1)=x2+bx+c,由正交性知ω2(x)与1及x带权 正交,即x 于是可

1×0

ω2(x)dx=0,

x×0

xω2(x)dx=由此解得b−6,c=3.

2+2b+2c=

2+2b

2c=3

ω2(x)=x2−6x+3 令ω2(x)=0,则得x0=1(3−26),x1=1(3+26).由于两个节点的型求积具有3次代 精度, 对f(x)=1,x精确成立 A0+A1=3x0A0+x1A1=3 由此可得A0=1+15,A0=1−15.则可得型求积 3∫1 1

1 x0√f(x)dx≈(1+ 6)f(7(3− 5))+(1−x0

)f((3+

5优点：思路清晰 分解计算，减少计算量114.用下列方法计算积分31dy1（2）三点及五点∫解：可使用-勒让德,因其节点已确定.先将积分区间变换到[−1,1],作变换y=t+∫则当y∈[1,3]时,t∈[−1,1]且dy= 31dy=∫ 11三点-勒让德,其中f(t)=1

−1∫ ∫∫ ∫ dy1

f(t)dt≈9f(−5)+9f(0)+9f

)= 5五点-勒让德,其中f(t)=1∫3

dy

∫f(t)dt≈ f )+ f 1∫3

f(0)+ f )+ f 3因为1ydy=lny|1=ln3−ln1= ,可见五 更精确用列主元消去法解线性方

第5章解线性方程12x1−3x2+x3=−18x1+3x2−x3=−15,x1+x2+x3=6,并求出系数矩阵A的行列式（即detA）解：列主元消去法每次 消去法之前需要先选列主元3(A|b)3,1116因max{|12||18||1|}18,第一行和第二行交换3⇒3,1116令m21=−2,m31=−1,消去除列主元外的第一列 3 30 0 因max{|1||7|}=7,第二行和第三行交换 7令m32−67

3−183 3 所以解得x33x22x1矩阵交换行改变矩阵的行列式。

1 3 1 1 1|A|= 2

22= 5用直接三角分解（尔分解）求线性方程1x1+1x2+1x3= 1x1+1x2+1x3 21x1+x2+x3=2的解解:

u11 A 2则有对应元素相等,2

U的第一行u11=1,u12=1,u13=1 L的第一列l21u11=1⇒l21=4,l31u11=1⇒l31 U的第二行l21u12u22=1⇒u22=−1,l21u13u23=1⇒u23 L的第二列l31u12l32u22=1⇒l32=U的第三行l31u13l32u23u33=1⇒u33=13故A的尔分解为

111456111456A 0−1 −

= 2−36 其中L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵.线性方程组Ax=b转化为两个三角矩阵Lyb,Ux解Ly=b,得y19y2=−4y3解Ux=y,得x3=−177.69x2=476.92x1=11.下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角矩阵U为上三角矩阵）？若能分解那么分解是12311126A241,B 1,C25.46 33 615解且分解是唯一123467A241⇒241=467123解：A解且分解