材料力学课件 梁的强度问题（内力）

梁的强度问题§平面弯曲的概念及梁的计算简图§梁的剪力和弯矩§剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图§剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用弯曲内力

弯曲内力§工程中的弯矩构件一、弯曲的概念1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。3.工程实例弯曲内力弯曲内力工程中可以看作梁的杆件是很多的:桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。

弯曲内力工程中可以看作梁的杆件是很多的:石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。

弯曲内力工程中可以看作梁的杆件是很多的:

火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。弯曲内力屋顶的大梁上的孔为什么开在中间？上、下两边各开一个半圆孔可以吗？弯曲内力弯曲内力4.平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内(纵向对称面、载荷作用面、曲挠面重合）。对称弯曲（如下图）——平面弯曲的特例。纵向对称面MP1P2q曲挠面载荷作用面弯曲内力非对称弯曲——若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。下面内容中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。弯曲内力二、梁的计算简图梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。2.载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。3.支座简化弯曲内力①固定铰支座2个约束力。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。②可动铰支座1个约束力。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。弯曲内力③固定端3个约束力。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。FAXFAYMA4.梁的三种基本形式①简支梁M—集中力偶q(x)—分布力②悬臂梁弯曲内力③外伸梁—集中力Pq—均布力5.静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。弯曲内力[例]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径D=1m，壁厚t=10mm，钢的密度为：7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高0.8m，外伸端长1m，试求贮液罐的计算简图。解：q—均布力弯曲内力＝6KN/mq—均布力§梁的内力及其与外力的相互关系一、弯曲内力：弯曲内力[举例]已知：如图，P，a，l。求：距A端x处截面上内力。PaPlFYAFAXFBAABB解：①求外力ABPFAYFAXFBmmx弯曲内力②求内力——截面法AFAYFSMFBPMFS∴弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CC弯曲内力2.剪力：FQ

构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3控制面集中力作用点的两侧集中力偶作用面的两侧集度相同的均布载荷起点和终点处截面3.内力的正负规定:①剪力FQ:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。FQ(+)FQ(–)FQ(–)FQ(+)M(+)M(+)M(–)M(–)[例]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。xy解：截面法求内力。

1--1截面处截取的分离体如图（b）示。图（a）二、例题qqLab1122qLFQ1AM1图（b）x1弯曲内力2--2截面处截取的分离体如图（c）xy图（a）qqLab1122qLFQ2BM2x2弯曲内力图（c）弯曲内力1.内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。2.剪力图和弯矩图：)(xMM=弯矩方程(

FQ=FQ(x)剪力图的图线表示)(xMM=弯矩图的图线表示§剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图

FQ=FQ(x)

剪力方程弯曲内力[例]求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。解：①求支反力②写出内力方程PFYOL③根据方程画内力图M(x)xFQ

(x)FQ(x)PLxxPM(x)MO弯曲内力解：①写出内力方程②根据方程画内力图LqM(x)xFs(x)FQ(x)x–qLM(x)弯曲内力解：①求支反力②内力方程q0FA③根据方程画内力图FBLFQ

(x)xxM(x)弯曲内力一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系对dx

段进行平衡分析，有：§剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ

(x)FQ

(x)M(x)dxAy剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯曲内力q(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ

(x)FQ

(x)M(x)dxAy弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系是：二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0FQ图特征M图特征CPCm水平直线xFQ>0FQ<0x斜直线增函数xx降函数xCFQ1FQ2FQ1–FQ2=P自左向右突变xC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM倒伞状xM伞状自左向右折角

自左向右突变弯曲内力xM折向与P同向MxM1M2弯曲内力简易作图法:

利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。[例]用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。控制点:端点、分区点（外力变化点）和最大内力点等。aaqaqA弯曲内力aaqaqA左端点：分区点A：右端点：FQxqa–xM根据q,FQ,M三者之间的关系弯曲内力[例]用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力左端点A：B点左：B点右：C点左：M的驻点：C点右：右端点D：qqa2qaRARDFsxqa/2qa/2qa/2––+ABCDqa2/2Mqa2/2qa2/23qa2/8x–+弯曲内力§按叠加原理作弯矩图一、叠加原理：

多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。弯曲内力二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理叠加方法步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。弯曲内力[例]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。qqPP=+AAABBBxM2xM1xM

=++++弯曲内力

三、对称性与反对称性的应用：

对称结构在对称载荷作用下，FQ图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，FQ图对称，M图反对称。弯曲内力[例]

作下列图示梁的内力图。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0FsxFs1xFs2x–0.5P0.5P0.5P–+–P弯曲内力PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0MxM1xM2x0.5PLPL0.5PL–++0.5PL+弯曲内力[例]

改内力图之错。a2aa