-新教材高中数学课时检测9空间中的距离含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE9课时跟踪检测（九）空间中的距离[A级基础巩固]1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为()A.10 B．3C．eq\f(8,3) D．eq\f(10,3)解析：选D点P到平面α的距离d＝eq\f(|eq\o(PA,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq\f(10,3).2.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为()A．1 B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(\r(6),2) D．eq\f(3,2)解析：选C以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E(1，1，eq\r(2))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，\f(\r(2),2)))，所以|eq\o(EF,\s\up7(→))|＝eq\r(（1－2）2＋（1－1）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),2)，故选C.3．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则点A到平面B1D1DBA．eq\r(2) B．2C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(3\r(2),2)解析：选C以D为原点，eq\o(DA,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(DD1,\s\up7(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1，1，0)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(0，1，0).容易证明eq\o(AC,\s\up7(→))是平面B1D1DB的一个法向量，于是A到平面B1D1DB的距离为d＝eq\f(|eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))|,|eq\o(AC,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).4.如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为()A．eq\r(13) B．eq\r(23)C．eq\r(33) D．eq\r(43)解析：选B∵eq\o(AC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→))，∴eq\o(AC′,\s\up7(→))2＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→)))2＝eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))2＋eq\o(CC′,\s\up7(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CC′,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))·eq\o(CC′,\s\up7(→)))＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos60°＋2×3cos60°)＝14＋2×eq\f(9,2)＝23，∴|eq\o(AC′,\s\up7(→))|＝eq\r(23)，即eq\o(AC′,\s\up7(→))的长为eq\r(23).5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BEA．eq\f(6\r(5),5) B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)解析：选B建立空间直角坐标系如图所示，则eq\o(BA,\s\up7(→))＝(0，2，0)，eq\o(BE,\s\up7(→))＝(0，1，2)，设∠ABE＝θ，则cosθ＝eq\f(|eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BE,\s\up7(→))|,|eq\o(BA,\s\up7(→))||eq\o(BE,\s\up7(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2,5)eq\r(5).故A到直线BE的距离d＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|sinθ＝2×eq\f(2,5)eq\r(5)＝eq\f(4,5)eq\r(5).6．已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1解析：设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，易得eq\o(AC1,\s\up7(→))＝a＋b＋c，则|eq\o(AC1,\s\up7(→))|2＝eq\o(AC1,\s\up7(→))·eq\o(AC1,\s\up7(→))＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以|eq\o(AC1,\s\up7(→))|＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)7．已知棱长为1的正方体ABCD­EFGH，若点P在正方体内部且满足eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，则点P到AB的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)(1，0，0)＋eq\f(1,2)(0，1，0)＋eq\f(2,3)(0，0，1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，0，0)，eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\f(eq\o(AB,\s\up7(→)),|eq\o(AB,\s\up7(→))|)＝eq\f(3,4)，所以P点到AB的距离为d＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(eq\o(AB,\s\up7(→)),|eq\o(AB,\s\up7(→))|)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(181,144)－\f(9,16))＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则eq\o(C1A,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，eq\o(C1B1,\s\up7(→))＝(0，1，0)，eq\o(C1B,\s\up7(→))＝(0，1，－1).设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(eq\o(C1A,\s\up7(→))·n＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y－1＝0，,eq\o(C1B,\s\up7(→))·n＝y－1＝0，))解得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1，1))，则所求距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(eq\o(C1B1,\s\up7(→))·n,|n|)))＝eq\f(1,\r(\f(1,3)＋1＋1))＝eq\f(\r(21),7).答案：eq\f(\r(21),7)9．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则eq\o(EF,\s\up7(→))＝(1，－2，1)，eq\o(FA,\s\up7(→))＝(1，0，－2).|eq\o(EF,\s\up7(→))|＝eq\r(12＋（－2）2＋12)＝eq\r(6)，eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(EF,\s\up7(→))＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，eq\o(FA,\s\up7(→))在eq\o(EF,\s\up7(→))上的投影长为eq\f(|eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(EF,\s\up7(→))|,|eq\o(EF,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,\r(6)).所以点A到EF的距离d＝eq\r(|FA→|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(6))))\s\up12(2))＝eq\r(\f(29,6))＝eq\f(\r(174),6).10.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝eq\f(1,2)AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D.(1)求BP的长；(2)求点P到平面EC1D的距离．解：(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)，设P(a，b，1)，eq\o(BP,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))，λ∈[0，1]，eq\o(ED,\s\up7(→))＝(0，1，1)，eq\o(EC1,\s\up7(→))＝(1，1，0)，eq\o(BD,\s\up7(→))＝(－1，2，0)，则eq\o(BP,\s\up7(→))＝(a－1，b，0)＝(－λ，2λ，0)，∴P(1－λ，2λ，1)，eq\o(PF,\s\up7(→))＝(λ，1－2λ，0)，设平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(ED,\s\up7(→))＝y＋z＝0，,n·eq\o(EC1,\s\up7(→))＝x＋y＝0，))取x＝1，得n＝(1，－1，1)，∵PF∥平面EC1D，∴eq\o(PF,\s\up7(→))·n＝λ－1＋2λ＝0，解得λ＝eq\f(1,3)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，1))，∴BP的长|eq\o(BP,\s\up7(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)＋（1－1）2)＝eq\f(\r(5),3).(2)由(1)得平面DEC1的法向量n＝(1，－1，1)，eq\o(EP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(1,3)，1))，∴点P到平面EC1D的距离：d＝eq\f(|eq\o(EP,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).[B级综合运用]11.如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQA．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(5),3)解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2).根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0，1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0，1]，则PQ＝eq\r(（1－μ）2＋（μ－λ）2＋4λ2)＝eq\r(2μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,5)μ))\s\up12(2)＋\f(9,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(5,9)))\s\up12(2)＋\f(4,9))，当且仅当λ＝eq\f(1,9)，μ＝eq\f(5,9)时，线段PQ的长度取得最小值eq\f(2,3).12．(多选)如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DFA．a B．eq\r(3)aC．2a D．2eq\r(3)a解析：选AC∵CF⊥平面B1DF，∴CF⊥DF.在矩形ACC1A1中，设AF＝mCD2＝DF2＋CF2＝CCeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋DCeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝10a2，①CF2＝4a2＋m2，DF2＝(3a－m)2＋a2联立①②得m＝a或m＝2a，则AF的长度为a或213.如图所示，在已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝eq\r(3)，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为________，二面角A­BE­C的余弦值为________．解析：如图，以D为原点，eq\o(DA,\s\up7(→))、eq\o(DC,\s\up7(→))、eq\o(DD1,\s\up7(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，eq\r(3)，1)，过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝eq\r(3)，∴B(1，2eq\r(3)，0)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝(0，2eq\r(3)，0)，eq\o(BE,\s\up7(→))＝(－1，－eq\r(3)，1).设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(BE,\s\up7(→))＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2\r(3)y＝0，,－x－\r(3)y＋z＝0，))∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1).∵eq\o(AA1,\s\up7(→))＝(0，0，2)，∴A1B1到平面ABE的距离d＝eq\f(|eq\o(AA1,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).又B1(1，2eq\r(3)，2)，∴eq\o(BB1,\s\up7(→))＝(0，0，2)，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(1，eq\r(3)，0).设平面BCE的一个法向量为n′＝(x′，y′，z′)易得x′＝－eq\r(3)y′，z′＝0，取n′＝(eq\r(3)，－1，0)，n′与n所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(n·n′,|n|·|n′|)＝eq\f(\r(3),\r(2)×2)＝eq\f(\r(6),4).答案：eq\r(2)eq\f(\r(6),4)14.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若二面角D­PC­A的余弦值为eq\f(\r(5),5)，求点A到平面PBC的距离．解：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)设AP＝h，取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，h)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0))，B(0，2，0)，eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－h))，eq\o(DC,\s\up7(→))＝(0，1，0)，设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(PC,\s\up7(→))＝0，,n1·eq\o(DC,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x1＋\f(1,2)y1－hz1＝0，,y1＝0，))取x1＝h，∴n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h，0，\f(\r(3),2))).由(1)知平面PAC的一个法向量为eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(3,2)，0))，∴|cos〈n1，eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))〉|＝eq\f(\f(\r(3),2)h,\r(h2＋\f(3,4))×\r(3))＝eq\f(\r(5),5)，解得h＝eq\r(3)，同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝(3，eq\r(3)，2)，∴点A到平面PBC的距离为d＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n2|,|n2|)＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).[C级拓展探究]15.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝eq\r(2)，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2