福建省厦门市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

200220000+n4n1n2111200220000+n4n1n21111学年福建省厦门高二（上期末数学试（理科）一、选题：本大题小题，每题5分，共60分，每个题给出四个选项，只有一个合题目求的.1分）抛物线x=2y的焦点坐标是（）A．

B．

C，0

D12分）命题“∃x∈（+∞A．∀x∈（0，+∞≠x﹣1B．x∈（，+∞=x﹣1

=x﹣1”的否定是（）．∃x（0+∞D∃x∈（0+∞

≠x﹣1≠x﹣13分）已知数列{a}满足a=23，=2a+则a等于（）A．54分）已知向量

B．=（1，，1

C．6D=（﹣﹣1则

与

的夹角为（）A．30°B．C．120°D150°5分）下列命题中，真命题的是（）A．若a＞b，＞d，a﹣c＞bd

B．若a＞bc＞d，则ac＞bd．若＜＜0则b

2

D若＞，则a＞b6分）命题p“若sinα=，则α=30°；命题q：若点（m，在直线++1=0的上方，则m+n+0，下列命题是真命题的是（）A．p￢qB．￢qC．￢q￢qDpq7分）△的三个内角，C对应的边分别b，，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角等于（）A．30°B．C．90°

D．120°8分）在正方体﹣ABCD中，若

=x

+y

+z

，则x++z等第1页（共19页）

nnk1kk210111111nnk1kk2101111112222222于（）A．3．2C．

D．9分）已知直线：+（a＞0，0l过点（1，a+b的最小值是（）A．6．8C．9D．1010分）已知正项等比数列a}，其前项和为S，=2，•a=a﹣+则S等于（）

=64，A．4

10

﹣1B．

C．2

10

﹣1D11分）长方ABCD﹣ABCD中AB=1AD=2，AA=3E为线段AC上的动点，则满足ED⊥ED的点E的个数为（）A．0．112分）已知点F为双曲线C：

﹣

C．2D无数个=1（＞0，0的右焦点，过作直线l与双曲线C相交于A，B两点，若满足|AB|=2的直线l有且仅有两条，则双曲线C的方程可以是（）A．x﹣4y=1

B．﹣

=1C．2x﹣2y=1Dx﹣y=1二、填题：本大题4个小，每小题分.、20分.5分）若是．

+x0”“xk”的充分不必要条件，则

k的取值范围14分）已知点P（1）到双曲线C：﹣

=1a＞0b＞的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为．15分）如图，某人在山脚处测得甲山山顶A的仰角为，乙山山顶的仰角为45°∠APB的大小为45°山脚到山顶A的直线距离为2km，在A处测得山顶B的仰角为30°，则乙山的高度为第2页（共19页）

km．

nn1n1n1nnn374nn1n1n1nnn374nnn111111111116分）数{a}的前n项和为S，已a=1且a=λS﹣S，其λ是常++数，若{a}是递增数列，则λ的取值范围是．三、解题：本大题6小题共70分，解答应出文说明、明过程或演算步骤17分）已知等差数列{}的前n项和为S，a+a=22，=24（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T，求证：T＜．18分）在△ABC中，AB=4，AC=6，．（Ⅰ）求△ABC面积；（Ⅱ）求AC边上的中线BD的长度．19分）如图，在三棱柱ABC﹣ABC中，AA⊥底面ABC，AB=2AC=2，BC=2

，AA=2，点，E分别为棱，AC的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面A；（Ⅱ）求二面角B﹣﹣D的余弦值．20分）在平面直角坐标系中，点F（，线x=﹣与动直线y=n的交点为M线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：AMB的大小为定值．第3页（共19页）

1211211211212221分）甲、乙两个粮库要项，B量诊运送大米，已知甲库将调出100吨大米，乙库将调80吨大米A镇至少需要60吨大米B镇至少需要100吨大米，且甲往镇运送大米的吨数不少于乙往镇运送大米的吨数的倍，两库到两镇运费如表（其中为常数，＜a＜2运费（元/）甲库

乙库A镇

240+10a180B镇

260210为了满足上述要求同时使总运费最省试问甲乙粮库应运往A镇各多少吨大米？22分）如图，已知F（0，﹣1（，1）为椭圆+

=1a＞b＞0的两个焦点，过作两条倾斜角互补的直线，l，l，l分别与椭圆相交于A，，，D四点，且△ABF的周长为8（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）求阴影部分S的最大值；第4页（共19页）

（Ⅲ）求证：直线AD与直线BC的交点是定点．第5页（共19页）

22002200002n4n1n24n1n4322002200002n4n1n24n1n433322年建厦市（上期末学（科参考答案与试题解析一、选题：本大题小题，每题5分，共60分，每个题给出四个选项，只有一个合题目求的.1分）抛物线x=2y的焦点坐标是（）A．

B．

C，0

D1【解答】解：根据抛物线的定义可得，x故选：B．

=2y的焦点坐标（0）2分）命题“∃x∈（+∞A．∀x∈（0，+∞≠x﹣1B．x∈（，+∞=x﹣1

=x﹣1”的否定是（）．∃x（0+∞D∃x∈（0+∞

≠x﹣1≠x﹣1【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定是全称命题，则命题的否定是：∀x∈（，+∞≠x﹣1，故选：A．3分）已知数列{a}满足a=23，=2a+则a等于（）+A．5．【解答】解：∵a=23，a=2a+1，+∴a=2a+1=23，解得=11；∴11=a=2a+1，解得=5故选：A．

C．6D4分）已知向量

=（1，，1

=（﹣﹣1则

与

的夹角为第6页（共19页）

22（）A．30°

B．

C．120°

D．150°【解答】解：|

|=

，||=

，

=1．∴cos＜

＞=

=﹣．∴

与

的夹角为120°故选：．5分）下列命题中，真命题的是（）A．若a＞b，＞d，a﹣c＞bd

B．若a＞bc＞d，则ac＞bd．若＜＜0则b

2

D若＞，则a＞b【解答】解：对于A令a=2，b=0，d=﹣2，不成立；对于B：令a=2，﹣1，﹣1，﹣不成立；对于：若＜＜0则b＜a＜∴abb，故C正确；对于D若＞，a（a﹣＜0时，ab﹣ab﹣a，则﹣＜﹣a，则a＜b不成立；故选：．6分）命题p“若sinα=，则α=30°；命题q：若点（m，）在线x++1=0的上方，则m+n+0，下列命题是真命题的是（）A．p￢qB．￢qC．￢q￢qDpq【解答】解：命题p若sinα=，则α=30°，是假命题；命题q若点（m，在直线x++1=0的上方，则mn1＞0，是真命题；故￢pq真命题，故选：B．7分）△的三个内角，C对应的边分别b，，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角等于（）A．30°B．C．90°D．120°得2b•cosB=a•cosC+•cosA得2sinBcosB=sinAcosC+，第7页（共19页）

11111111∴sin2B=sin（+C2sinBcosB=sinB．由于sinB≠0，∴cosB=，∴B=60°故选：B．8分）在正方体﹣ABCD中，若

=x

+y

+z

，则x++z等于（）A．3

B．

C．

D．【解答】解：∵

，

=

，

=

，∴

=x

+y

+z

=（x+y）

+（x+）

+（y+z）

．∵

=

，∴

，解得x=y=z=．∴x++z=．故选：．9分）已知直线：+（a＞0，0l过点（1，a+b的最小值是（）A．6．8C．9D．10【解答】解：∵直线l：+=1a＞0b＞直线l过点P（14∴

=1则a+b=（+b∴a+b的最小值是9

=5+≥5+2=9当且仅当b=2a=6时取等号．第8页（共19页）

nnk1kk210nk1kk2knnk1kk210nk1kk2k121101111111111故选：．10分）已知正项等比数列a}，其前项和为S，=2，•a=a﹣+则S等于（）

=64，A．4

10

﹣1B．

C．2

10

﹣1D【解答】解：设正项等比数列{a}的公比为q0∵a=2，•a=a﹣+

=64，∴a=+

=2q，∴64=

（q

4

）

2

==（2q

2

）

，解得q=2，a=．∴S=

=

．故选：D11分）长方ABCD﹣ABCD中AB=1AD=2，AA=3E为线段AC上的动点，则满足ED⊥ED的点E的个数为（）A．0．1C．2D．无数个【解答】解：以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，则D02，0（2，3设AE=λAλ≤1则由A（00，3=（λ，2λ，3﹣3λ

=（12，﹣3）得：第9页（共19页）

1222222222212222222222则

=（﹣λ，2﹣2λ3λ﹣3

=（﹣λ，22λ，3λ若EDED，则

⊥，即λ

+（22λ）

2

+3λ（3﹣3=0，即14λ﹣17+4=0，解得：λ=

，故存在两个满足条件的点，故选：．12分）已知点F为双曲线C：﹣

=1（＞0，0的右焦点，过作直线l与双曲线C相交于A，B两点，若满足|AB|=2的直线l有且仅有两条，则双曲线C的方程可以是（）A．x﹣4y=1B．﹣【解答】解：对于A即有x﹣当AB垂直于x轴时，弦长AB为

=1C．2x﹣2y=1Dx﹣y=1=1可得a=1，b=，=＜2由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有两条，共有3条；对于B，﹣

=1可得，

，当垂直于x轴时，弦长AB为

=4＞2由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有条，共有1条；对于有

﹣

=1得a=b=

AB垂直于x轴时长AB为

=＜2由

＜2可得直线与双曲线的交点在左右支上，有两条；交于右支，有两条，共有4条；第10页（共19页）

222222对于D可得a=b=1，当AB垂直于x轴时，弦长AB为

=2由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有一条，共有2条．故选：D二、填题：本大题4个小，每小题分.、20分.．13分）若“x≥1

+x﹣≤0”是x≤k”的充分不必要条件，则的取值范围是

k【解答】解：x+x﹣0，解得﹣2≤x≤1∵“x+x﹣2≤0”“x≤k”的充分不必要条件，∴≥1∴k的取值范围是：k≥故答案为：k≥14分）已知点P（1）到双曲线C：﹣

=1a＞0b＞的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为

3

．【解答】解：双曲线C：﹣

=1的一条渐近线设为y=x，即为bx﹣ay=0，可得点P（0，到渐近线的距离为

=，即有3a=

=c，可得e==3故答案为：3．15分）如图，某人在山脚处测得甲山山顶A的仰角为，乙山山顶的仰角为45°∠APB的大小为45°山脚到山顶A的直线距离为2km，在A处测得山顶B的仰角为30°，则乙山的高度为2．第11页（共19页）

nn1n1n1nn1nn1n1n1nn1n1n21n2n2n1n1n2n2n1212【解答】解：假设甲山底部为C，乙山底部为D，过A作AEBD于E．由题意可知∠APC=30°，∠AP=2，∴AC=AP•sin30°=1，DE=AC=1，设BD=h则DP=BD=h，BE=h﹣，∴∵∠BAE=30°，∴2．

h在△ABP中，由余弦定理得：cos45°=解得h=2．∴乙山的高度为2km．故答案为：2．

==

．16分）数{a}的前n项和为S，已a=1且a=λS﹣S，其λ是常++数，若{a}是递增数列，则λ的取值范围是【解答】解：∵a=λS﹣S，++∴a=λS﹣S，+++两式相减得：a﹣=λa﹣a，++++

λ＞3

．整理得：2a=（λ+），即++

=

，依题意

＞1，即λ＞n2又∵a=λS﹣S，第12页（共19页）

21nn374nnnnnnn2221nn374nnnnnnn22∴2a=（λ﹣a，即

=

，依题意，

＞1即λ＞3，综上所述，λ＞故答案为：λ＞三、解题：本大题6小题共70分，解答应出文说明、明过程或演算步骤17分）已知等差数列{}的前n项和为S，a+a=22，=24（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T，求证：T＜．【解答】解）设等差数列a}的公差为d则由已知可得：，解得，∴a=32n﹣=2n+（Ⅱ）由（I）可知S=

==nn+∴

==（﹣∴T=（1﹣+﹣+…+﹣

）=（1+﹣

﹣）=﹣＜．18分）在△ABC中，AB=4，AC=6，．（Ⅰ）求△ABC面积；（Ⅱ）求AC边上的中线BD的长度．【解答解）由余弦定理得b

2

=a

2

+c

﹣，36=16+a

2

﹣4a．∴a﹣a﹣20=0，第13页（共19页）

2222222111111111111112222222111111111111111111111111111111解得a=5．又cosB=，B为三角形内角，∴sinB=∴S=sinB=

=

．

=

．（Ⅱ）设∠ADB=α则∠CDB=π﹣设BD=m在△ABD与△BCD中，分别利用余弦定理可得：4=m+3﹣6mcos，5=m+3﹣6mcos（﹣α∴41=2m18解得m=

．19分）如图，在三棱柱ABC﹣ABC中，AA⊥底面ABC，AB=2AC=2，BC=2

，AA=2，点，E分别为棱，AC的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面A；（Ⅱ）求二面角B﹣﹣D的余弦值．【解答】解）取AB中点F，连接DF，FA，在三棱柱ABC﹣BC中，∵AE=EC，AC∥，∴E∥，AE=

，BD=DCBF=FA，∴∥AC，DF=∴DF∥EDF=AE∴四边形AFDE为平行四边形，

，∴AF∥DE，AF

面BBAA，DE面BBAA，∴DE平面ABBA．第14页（共19页）

2211111⊥1111112211111⊥1111111111（Ⅱ）∵AB+AC=8=BC，∴⊥，又AA⊥底面ABC，以AB所在直线为轴，AC所在直线为轴，AA所在直线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则A（000（2，0（0，2，0（0，0，（0，2C（0，2，2D11，0（01，2

=（020

（﹣1，0，2由AA⊥底面ABC，AC面ABC，得AC，又⊥，且AB∩AA=A∴AC⊥面BAA，∴=（202

（0，2，0是平面BBAA的法向量，=（11，设面ABD的法向量为（x，，z则，取x=1得=（1﹣﹣1cos＜＞===﹣，由图得，二面角B﹣﹣D为锐二面角，∴二面角B﹣﹣的余弦值为．第15页（共19页）

222220分）在平面直角坐标系中，点F（，线x=﹣与动直线y=n的交点为M线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：AMB的大小为定值．【解答】解）据题意，MP⊥直线x=﹣1，∴|MP|为点到直线x=﹣的距离，连接PF∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点，∴|MP||PF，∴P点的轨迹是抛物线，焦点为F（10线为直线x=﹣，∴曲线Г的方程为y=4x；（Ⅱ）证明：据题意，M（﹣n点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y﹣（x+1联立抛物线方程可得ky﹣4y+4k+4n=0，由直线和抛物线相切，第16页（共19页）

2121AM2121AM212可得△=16﹣（4k+4n）=0即k+kn﹣1=0）∵

2

+4＞0，∴方程（）存在两个不等实根，设为k，k，∵k=k，k=k，由方程（*）可知，•k=k•k=﹣1∴切线AM⊥BM，∴AMB=90°，结论得证．21分）甲、乙两个粮库要项，B量诊运送大米，已知甲库将调出100吨大米，乙库将调80吨大米A镇至少需要60吨大米B镇至少需要100吨大米，且甲往镇运送大米的吨数不少于乙往镇运送大米的吨数的倍，两库到两镇运费如表（其中为常数，＜a＜2运费（元/）甲库

乙库A镇

240+10a180B镇

260210为了满足上述要求同时使总运费最省试问甲乙粮库应运往A镇各多少吨大米？【解答】解：设甲、乙库往镇运送x、吨大米，则甲、乙库往镇运送﹣x、﹣吨大米．依题意有：，整理得：，第