-新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2.1空间中的点直线与空间向量学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE8空间中的点、直线与空间向量新课程标准解读核心素养1.理解直线的方向向量，并能利用方向向量判定直线的位置关系数学抽象、直观想象2.能用向量方法解决直线与直线所成角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用数学运算一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行．在比赛过程中，裁判员除了说一些必要的语言外，他们更多的借助专用的手势来把控整场比赛．比如，直接任意球要求裁判单臂侧平举，明确批示踢球方向；间接任意球要求裁判单臂上举，掌心向前，此手势应持续到球踢出后，并被场上其他队员触及或成死球时为止．这一规定有着明确的方向性和细节要求，必须进行专业培训才能掌握．在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行．[问题](1)一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？(2)怎样用向量来表示直线在空间中的位置？(3)怎样用向量来表示平面在空间中的位置？知识点直线的方向向量1．定义：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．2．两直线平行与垂直的判定如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则(1)v1∥v2⇔l1∥l2，或l1与l2重合；(2)l1⊥l2⇔v1·v2＝0．3．空间中两条直线所成的角设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，如图①②所示，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，sinθ＝sin_〈v1，v2〉或cosθ＝|cos_〈v1，v2〉|．4．异面直线与空间向量(1)设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行；若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面；(2)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．eq\a\vs4\al()空间中两直线所成角的范围设空间中两直线l1，l2所成角的大小为θ，两直线的方向向量分别为v1，v2.由θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，sinθ＝sin〈v1，v2〉或cosθ＝|cos〈v1，v2〉|，可知0≤θ≤eq\f(π,2).两异面直线所成的角与两直线的方向向量的夹角一定相等吗？提示：不一定相等，若两异面直线的方向向量夹角〈v1，v2〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时等于异面直线所成角，若〈v1，v2〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，则异面直线所成角为π－〈v1，v2〉．1．已知空间直线l上两点A(3，－2，1)，B(1，3，1)，则直线l的一个方向向量为________(写出一个即可).答案：(2，－5，0)2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，则直线AB与直线A1D1所成的角为________，直线AB与直线CD1答案：90°45°空间中点的位置确定[例1]已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5).(1)若eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))，求P点的坐标；(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．[解](1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－1，1，5)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－3，－1，5)，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(2，2，0)＝(1，1，0)，∴P点的坐标为(1，1，0).(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，知eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up7(→))．设点P的坐标为(x，y，z)，则eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x－3，y－4，z)，eq\o(PB,\s\up7(→))＝(2－x，5－y，5－z)，故(x－3，y－4，z)＝eq\f(1,2)(2－x，5－y，5－z)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝\f(1,2)（2－x），,y－4＝\f(1,2)（5－y），,z＝\f(1,2)（5－z），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,3)，,y＝\f(13,3)，,z＝\f(5,3)．))因此P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，\f(13,3)，\f(5,3))).eq\a\vs4\al()求空间点的坐标此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出待求的点的坐标，利用已知条件列出关于待求点的坐标为未知数的方程或方程组，再求解即可．[跟踪训练]已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以eq\o(AB,\s\up7(→))的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为数轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1.求点P和点Q的坐标．解：(1)由已知，得eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(AP,\s\up7(→))，即eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7(→))＝2(eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))．设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)＝eq\f(2,3)(2，4，0)＋eq\f(1,3)(1，3，3)，即x＝eq\f(4,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,3)，y＝eq\f(8,3)＋eq\f(3,3)＝eq\f(11,3)，z＝0＋1＝1.因此，P点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(11,3)，1)).(2)因为AQ∶QB＝2∶1，所以eq\o(AQ,\s\up7(→))＝－2eq\o(QB,\s\up7(→))，eq\o(OQ,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝－2(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OQ,\s\up7(→)))，eq\o(OQ,\s\up7(→))＝－eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))，设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q点的坐标是(0，2，6).利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)[例2](链接教科书第32页例3)如图，点M，N分别是正方体ABCD­A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，求：(1)MN和CD′所成角的大小；(2)MN和AD所成角的大小．[解]法一：设正方体棱长为1，分别以eq\o(DA,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(DD′,\s\up7(→))为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则C(0，1，0)，D′(0，0，1)，A(1，0，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，D(0，0，0)，∴eq\o(CD′,\s\up7(→))＝(0，－1，1)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(－1，0，0)，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2))).(1)∵cos〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD′,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(CD′,\s\up7(→)),|eq\o(MN,\s\up7(→))|·|eq\o(CD′,\s\up7(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD′,\s\up7(→))〉＝60°，即MN和CD′所成角为60°.(2)∵cos〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→)),|eq\o(MN,\s\up7(→))||eq\o(AD,\s\up7(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×1)＝eq\f(\r(2),2)，∴〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〉＝45°，即MN与AD所成角为45°.法二：设正方体的棱长为1.eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(B′N,\s\up7(→))－eq\o(B′M,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up7(→))，eq\o(CD′,\s\up7(→))＝eq\o(DD′,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→))．(1)∵eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(CD′,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up7(→))))·(eq\o(DD′,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up7(→))2＝eq\f(1,2)，|eq\o(MN,\s\up7(→))|·|eq\o(CD′,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1，∴cos〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD′,\s\up7(→))〉＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD′,\s\up7(→))〉＝60°，即MN和CD′所成角为60°.(2)∵eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))2＝eq\f(1,2)，|eq\o(MN,\s\up7(→))|·|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),2).∴cos〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〉＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2)，∴〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〉＝45°，即MN与AD所成角为45°.eq\a\vs4\al()求异面直线所成的角的方法(1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a，b用基底表示出来，再求有关的量；(2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．[跟踪训练]已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(2),8)解析：选Ceq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))，于是|eq\o(BD,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝1，且eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))))·(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,4)，于是cos〈eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→)),|eq\o(BD,\s\up7(→))||eq\o(AC,\s\up7(→))|)＝eq\f(－\f(1,4),\f(\r(3),2)×1)＝－eq\f(\r(3),6)，故异面直线BD与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(3),6).利用空间向量处理平行与垂直问题[例3](链接教科书第30页例1、第32页例2、第35页例4)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1(1)AD1⊥G1G(2)AD1∥EF；(3)A1G⊥DF[证明]设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0.(1)因为eq\o(AD1,\s\up7(→))＝b＋c，eq\o(G1G,\s\up7(→))＝eq\o(G1A1,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DG,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－c＋b＋eq\f(1,2)a＝b－c，所以eq\o(AD1,\s\up7(→))·eq\o(G1G,\s\up7(→))＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0，所以eq\o(AD1,\s\up7(→))⊥eq\o(G1G,\s\up7(→))，所以AD1⊥G1G.(2)因为eq\o(AD1,\s\up7(→))＝b＋c，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(CF,\s\up7(→))－eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c，所以eq\o(EF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up7(→))，所以EF∥AD1.(3)因为eq\o(A1G,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DG,\s\up7(→))＝－c＋b＋eq\f(1,2)a，eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝a－eq\f(1,2)b，所以eq\o(A1G,\s\up7(→))·eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c＋b＋\f(1,2)a))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)b2＝0，所以eq\o(A1G,\s\up7(→))⊥eq\o(DF,\s\up7(→))，所以A1G⊥DF.eq\a\vs4\al()1．要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．2．要证两直线平行，可求出两直线的方向向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．[跟踪训练]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，(1)AB1∥GE，AB1⊥EF；(2)直线GF与直线BA1不平行．证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，由中点坐标公式得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).(1)∵eq\o(AB1,\s\up7(→))＝(1，0，1)，eq\o(GE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，∴eq\o(AB1,\s\up7(→))＝2eq\o(GE,\s\up7(→))，eq\