-新教材高中数学第五章函数应用1.2利用二分法求方程的近似解学案北师大版必修第一册

PAGEPAGE7利用二分法求方程的近似解新课程标准解读核心素养探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性数学抽象、直观想象、数学运算电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”．例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”．参赛者又猜50元，主持人说“低了”．参赛者再猜80元，主持人说“低了”．这样一直猜下去，直到猜中为止．[问题](1)我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？(2)这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？知识点一二分法1．满足精度ε的近似解设eq\o(x,\s\up6(^))是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－eq\o(x,\s\up6(^))|<ε，就称x0是满足精度ε的近似解．2．二分法对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．eq\a\vs4\al()1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值不异号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．2．用二分法求函数零点的近似值，定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案：A2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是________(填序号)．①f(x)＝3x；②f(x)＝x2＋1；③f(x)＝lnx；④f(x)＝|x－1|.答案：②④知识点二二分法求函数零点近似值的步骤eq\a\vs4\al()二分法求函数零点近似值口诀定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．1．用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则终止条件为()A．|x1－x2|>ε B．|x1－x2|<εC．x1<ε<x2 D．x2<ε<x1答案：B2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．答案：(0，0.5)f(0.25)二分法概念的理解[例1](1)下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是()(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．[解析](1)根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴下一个有根的区间是(1，2)．[答案](1)D(2)(1，2)eq\a\vs4\al()二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[跟踪训练]在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1，4] B．[－2，1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))解析：选D∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4)).用二分法求方程的近似解[例2](链接教科书第146页例4)求方程lnx＝2－x的近似解(精确度为0.1)．[解]分别画出函数y＝lnx和y＝2－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程lnx＝2－x的解．由函数y＝lnx与y＝2－x的图象可以发现，方程lnx＝2－x有唯一解，且这个解在区间(1，2)内．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点即方程lnx＝2－x的解，记为x0，则有：f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1，2)；f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5，2)；f(1.5)<0，f(1.75)>0⇒x0∈(1.5，1.75)；f(1.5)<0，f(1.625)>0⇒x0∈(1.5，1.625)；f(1.5)<0，f(1.5625)>0⇒x0∈(1.5，1.5625)．因为|1.5625－1.5|＝0.0625<0.1，所以方程lnx＝2－x的近似解可取为1.5625.eq\a\vs4\al()用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)；(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．[跟踪训练]用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据如下表：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0.用二分法逐次计算，列表如下：区间精确度区间中点值xnf(xn)的值及符号(1，2)|2－1|＝1x1＝1.5f(x1)≈0.33>0(1，1.5)|1.5－1|＝0.5x2＝1.25f(x2)≈－0.37<0(1.25，1.5)|1.5－1.25|＝0.25x3＝1.375f(x3)≈－0.035<0∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.二分法的实际应用举例[典例]乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的．乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味．乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？用一架天平，限称b次，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．[问题探究]1．当a＝12，b＝3时，该如何称？提示：第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，求b的最大值．提示：将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”．[迁移应用]将“a个乒乓球”改为“从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中，然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中，最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()解析：选A能够利用二分法求近似值的零点，其两则的函数值必须异号，故选A.2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001解析：选B据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．3．用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为()A．(1，2) B．(1.75，2)C．(1.5，2) D．(1，1.5)解析：选C已知函数f(x)＝x3－2x－1，因为f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(1.5)＝－eq\f(5,8)<0，所以下一个有解区间是(1.5，2)．4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函