-新教材高中数学第11章解三角形专题综合练三11.1－11.2含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE10专题综合练三(60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共40分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解析】选D.在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)⇒a2＋c2－2ac＝0⇒＝0，即a＝c，故得到角A等于角C，所以△ABC为等边三角形．2．(2021·徐州高一检测)钝角三角形的三边长为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，3))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))【解析】选D.由题意，可设a＋2所对的角为C，且为最大，cosC＝eq\f(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2))2,2a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1)))＝eq\f(a2－2a－3,2a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1)))＝eq\f(a－3,2a)，由题意可得90°<C≤120°，则－eq\f(1,2)≤cosC<0，解得：eq\f(3,2)≤a<3.3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)【解析】选C.由于a2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋c2－a2＝－bc，则cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，又0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3).4．在△ABC中，a＝x，b＝3，B＝eq\f(π,6)，若△ABC有两解，则x的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，6))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，3))【解析】选B.由题意可得asinB<b<a，即eq\f(1,2)x<3<x，解得3<x<6，因此，x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，6)).5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2＝eq\r(3)ac＋b2，则cosA＋sinC的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，2))【解析】选A.由a2＋c2＝eq\r(3)ac＋b2和余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2)，又B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，所以B＝eq\f(π,6).因为三角形ABC为锐角三角形，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2),0<C<\f(π,2)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2),0<\f(5π,6)－A<\f(π,2)))，解得eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2)，cosA＋sinC＝cosA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)－A))＝cosA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋A))＝cosA＋eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(3,2)cosA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))，因为eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2)，所以eq\f(2π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)，所以eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))<eq\f(\r(3),2)，则eq\f(\r(3),2)<cosA＋sinC<eq\f(3,2)，因此cosA＋sinC的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).6．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为()A．700mB．640mC．600mD．560m【解析】选C.根据题意，可得在Rt△ADM中，∠MAD＝45°，DM＝400，所以AM＝eq\f(DM,sin45°)＝400eq\r(2)，因为在△ACM中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，∠ACM＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理，得AC＝eq\f(AMsin∠AMC,sin∠ACM)＝eq\f(400\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝400eq\r(3)，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝600(m).7．(多选)已知△ABC的外接圆半径R∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))，AB＝AC＝1，则下列说法正确的是()A．BC的最小值为eq\r(3)B．∠A的最小值为eq\f(2π,3)C．△ABC的周长的最小值为2＋eq\r(2)D．△ABC的面积的最大值为eq\f(\r(3),4)【解析】选ABD.在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，则c＝b＝1，所以B＝C，又△ABC的外接圆半径R∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))，由正弦定理得：eq\f(1,sinB)＝eq\f(1,sinC)＝2R≥2，所以0<sinB＝sinC≤eq\f(1,2)，又因为B，C不可能为钝角，故0<B＝C≤eq\f(π,6)，又因为A＝π－2B，所以A∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，故B选项对．由上得：cosA∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得：a2＝2－2cosA，所以a2∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))，所以a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，2))，所以BC的最小值为eq\r(3)，故A选项对，C选项错．由上得：sinA∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)sinA，△ABC的面积的最大值为eq\f(\r(3),4)，故D选项对．8．(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，给出下列四个命题，其中正确的是()A．在△ABC中，若a2＋b2>c2，则△ABC是锐角三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形D．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC是等边三角形【解析】选CD.若a2＋b2>c2，即a2＋b2－c2>0，可得cosC>0，即只知C为锐角，故A不正确；若acosA＝bcosB，则sinAcosA＝sinBcosB，则2sinAcosA＝2sinBcosB，则sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；若bcosC＋ccosB＝b，sinB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故C正确；若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，则tanA＝tanB＝tanC，A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故D正确．二、填空题(每小题5分，共20分)9．在△ABC中，若A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b－2a＋4asin2eq\f(A＋B,2)＝0.则下列结论正确的是________．(填序号)①角C一定为锐角；②a2＋2b2－c2＝0；③3tanA＋tanC＝0；④tanB的最小值为eq\f(\r(3),3).【解析】b－2a＋4asin2eq\f(A＋B,2)＝0，所以b－2a＋4asin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝0，所以b－2a＋4acos2eq\f(C,2)＝0，所以b－2a＋4a×eq\f(1＋cosC,2)＝0，所以b＋2acosC＝0，故cosC<0，所以角C一定为钝角，①错误；由b＋2acosC＝0得b＋2aeq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，所以a2＋2b2－c2＝0，②正确；由b＋2acosC＝0得sinB＋2sinAcosC＝0，所以3sinAcosC＋cosAsinC＝0，所以3tanA＋tanC＝0，③正确；tanB＝－tan(A＋C)＝eq\f(tanA＋tanC,tanAtanC－1)＝eq\f(－2tanA,－3tan2A－1)＝eq\f(2,3tanA＋\f(1,tanA))≤eq\f(\r(3),3)，当且仅当A＝eq\f(π,6)时“＝”成立，④错误．答案：②③10．(2021·苏州高一检测)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5km计算，则该沙田的面积为________km2.【解析】设在△ABC中，BC＝13(里)，AC＝14(里)，AB＝15(里)，所以cosC＝eq\f(132＋142－152,2×13×14)＝eq\f(5,13)，所以sinC＝eq\f(12,13)，故△ABC的面积为eq\f(1,2)×13×14×eq\f(12,13)×0.52＝21eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(km2)).答案：2111．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b－c＝eq\f(1,4)a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．【解析】因为2sinB＝3sinC，所以2b＝3c，所以b＝eq\f(3,2)c，代入b－c＝eq\f(1,4)a，得a＝2c，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝2，sinA＝eq\f(\r(3),2)，则A＝________，若角A为钝角，则b＋eq\f(1,2)c的取值范围为________．【解析】由sinA＝eq\f(\r(3),2)及0<A<π，得A＝eq\f(π,3)或A＝eq\f(2π,3).由角A为钝角得A＝eq\f(2π,3).由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(2,\f(\r(3),2))，所以b＝eq\f(4,\r(3))sinB，c＝eq\f(4,\r(3))sinC.由A＝eq\f(2π,3)，A＋B＋C＝π，得C＝eq\f(π,3)－B.所以b＋eq\f(1,2)c＝eq\f(4,\r(3))sinB＋eq\f(2,\r(3))sinC＝eq\f(4,\r(3))sinB＋eq\f(2,\r(3))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－B))＝eq\f(4,\r(3))sinB＋eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosB－\f(1,2)sinB))＝eq\r(3)sinB＋cosB＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，又0<B<eq\f(π,3)，所以eq\f(π,6)<B＋eq\f(π,6)<eq\f(π,2).所以eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))<1，所以b＋eq\f(1,2)c＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)).故b＋eq\f(1,2)c的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)).答案：eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))三、解答题(每小题10分，共40分)13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－B))的值．【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))得asinB＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，即sinB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，可得tanB＝eq\r(3).又因为B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，可得B＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq\f(π,3)，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝eq\r(7).由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，可得sinA＝eq\f(\r(3),\r(7)).因为a<c，故cosA＝eq\f(2,\r(7)).因此sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4\r(3),7)，cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,7).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－B))＝sin2AcosB－cos2AsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA＝eq\f(3,5).(1)若△ABC的面积为3，求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值；(2)设m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(B,2)，1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB，cos\f(B,2)))，且m∥n，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－2C))的值．【解析】(1)因为0<A<π，所以sinA>0，则sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5)，△ABC的面积为S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×bc×eq\f(4,5)＝3，所以bc＝eq\f(15,2).因此eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝cbcosA＝eq\f(15,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,2)；(2)因为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(B,2)，1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB，cos\f(B,2)))，且m∥n，所以2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2)＝cosB，即sinB＝cosB，所以tanB＝1，因为0<B<π，所以B＝eq\f(π,4)，所以sin2C＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2A))＝－cos2A＝1－2cos2A＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(7,25)，cos2C＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2A))＝－sin2A＝－2sinAcosA＝－2×eq\f(4,5)×eq\f(3,5)＝－eq\f(24,25)，因此sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－2C))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2C))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2C－sin2C))＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,25)－\f(7,25)))＝－eq\f(31\r(2),50).15．在条件①(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，②asinB＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，③bsineq\f(B＋C,2)＝asinB中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝6，a＝2eq\r(6)，________．求△ABC的面积．【解析】若选①：由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).又a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，a＝2eq\r(6)，b＋c＝6，所以bc＝4，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×sineq\f(π,3)＝eq\r(3).若选②：由正弦定理得sinAsinB＝sinBcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6))).因为0<B<π，所以sinB≠0，所以sinA＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)cosA－eq\f(1,2)sinA，可得tanA＝eq\f(\r(3),3)，因为0<A<π，所以A＝eq\f(π,6).又因为a2＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,6)，所以bc＝eq\f(（b＋c）2－a2,2＋\r(3))＝eq\f(62－（2\r(6)）2,2＋\r(3))，即bc＝24－12eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×(24－12eq\r(3))×eq\f(1,2)＝6－3eq\r(3).若选③：由正弦定理得sinBsineq\f(B＋C,2)＝sinAsinB，因为0<B<π，所以sinB≠0，所以sineq\f(B＋C,2)＝sinA，又因为B＋C＝π－A，所以coseq\f(A,2)＝2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)，因为0<A<π，0<eq\f(A,2)<eq\f(π,2)，所以coseq\f(A,2)≠0，所以sineq\f(A,2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(A,2)＝eq\f(π,6)，所以A＝eq\f(π,3).又a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，a＝2eq\r(6)，b＋c＝6，所以bc＝4，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×sineq\f(π,3)＝eq\r(3).16．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，__