四川省成都市都一中数学1-1同步练习第一章简易逻辑综合检测含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章综合检测一、选择题1。命题“若x2<4,则—2〈x〈2”的逆否命题是（）.A.若x2≥4,则x≥2或x≤-2B.若—2<x〈2,则x2〈4C。若x>2或x〈—2,则x2〉4D。若x≥2或x≤—2,则x2≥4【解析】命题“若p，则q"的逆否命题为“若⌝q,则⌝p”。故选D。【答案】D2.设p：log2x〈0，q：2x≥2，则p是⌝q的（）。A.充分不必要条件B.必要不充分条件C。充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p：log2x<0，即0〈x〈1;q:2x≥2,即x≥1。∴⌝q:x〈1，∴p是⌝q的充分不必要条件，故选A.【答案】A3.“α〉β”是“sinα>sinβ”成立的().A.充分不必要条件 B。必要不充分条件C。充要条件 D。既不充分也不必要条件【解析】取α=180°，β=30°,则α>β,但sin30°>sin180°，所以充分性不成立；反过来,取α=30°,β=180°，可以得出必要性也不成立。故选D。【答案】D4.下列结论正确的是()。A.若向量a∥b，则存在唯一实数λ使a=λbB.已知向量a,b为非零向量，则“a，b的夹角为钝角”的充要条件是“a·b〈0”C。“若θ=π3，则cosθ=12”的否命题为“若θ≠π3,则cosθD。若命题p：∃x∈R,x2—x+1<0，则⌝p：∀x∈R，x2-x+1〉0【解析】选项A中，若b为零向量，a为非零向量，则不存在实数λ，使a=λb;选项B中,当a,b的夹角为180°时,也有a·b〈0;选项D中,⌝p应为“∀x∈R，x2-x+1≥0”。故选C。【答案】C5.已知命题p：∀x∈R，2x〈3x;命题q：∃x∈R，x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是（）。A。p∧q B。(⌝p)∧qC.p∧（⌝q) D。(⌝p）∧（⌝q）【解析】因为当x=—1时,2-1〉3-1，所以命题p：∀x∈R，2x〈3x为假命题,则⌝p为真命题。令f(x)=x3+x2-1,因为f（0）=-1〈0,f（1）=1〉0，所以函数f(x）=x3+x2—1在(0,1)上存在零点,即命题q:∃x∈R，x3=1-x2为真命题.所以(⌝p)∧q为真命题.故选B。【答案】B6。已知命题p:若不等式x2+x+m>0恒成立,则m〉14；命题q：在△ABC中，“A〉B”是“sinA〉sinB”的充要条件,则(）A.p假q真 B.“p∧q"为真C.“p∨q"为假 D.⌝p假⌝q真【解析】易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以⌝p为假命题,⌝q为假命题,结合各选项知B正确.【答案】B7.给定两个命题p,q，若⌝p是⌝q的充分不必要条件,则q是p的()。A.充要条件 B。必要不充分条件C。充分不必要条件 D。既不充分也不必要条件【解析】因为⌝p是⌝q的充分不必要条件,所以⌝p⇒⌝q，⌝q⇒/⌝p，所以q⇒p,p⇒/q,所以q是p的充分不必要条件.【答案】C8.下列有关命题的叙述，错误的个数为().①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x〉5”是“x2-4x-5〉0”的充分不必要条件；③若命题p:∃x0∈R，使得x02+x0—1〈0，则⌝p:∀x∈R,使得x2+x—1≥④命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2"的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2—3x+2≠0”。A.1 B。2 C。3 D。4【解析】若p∨q为真命题，则p,q中至少有一个为真,所以p∧q不一定为真,所以①错误。由x2-4x-5〉0得x>5或x〈—1,所以“x>5”是“x2—4x—5>0”的充分不必要条件，所以②正确。由特称命题的否定是全称命题知③正确。“若x2—3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0"，故④错误.【答案】B9。下列说法正确的个数是().①若命题p:∃x∈R，使得x2+x—1〈0，则⌝p：∀x∈R,均有x2+x—1>0；②若p是q的必要不充分条件,则⌝p是⌝q的充分不必要条件;③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“m=—1”是“直线l1：mx+(2m—1)y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件.A.1 B。2 C。3 D。4【解析】①若命题p：∃x∈R,使得x2+x-1〈0,则⌝p：∀x∈R，均有x2+x—1≥0，因此①不正确。②若p是q的必要不充分条件，则⌝p是⌝q的充分不必要条件,因此②正确.③因为命题“若x=y,则sinx=siny”是真命题,所以其逆否命题也为真命题，因此③正确.④当m=0时,直线l1：mx+(2m-1）y+1=0与直线l2:3x+my+3=0垂直;当m≠0时,若两条直线垂直，则—m2m-1×-3m=-1，解得m=—1。所以“m=—1”是“直线l1:mx+(2m—1）y+1=0与直线l2:3x+my+3=0垂直”综上可得，正确说法的个数为2。【答案】B10。已知命题p：函数f（x）=x2-2mx+4在［2，+∞）上单调递增；命题q:关于x的不等式mx2+2(m-2）x+1>0对任意的x∈R恒成立.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为(）。A.（1,4) B。[-2,4］C.（-∞,1]∪(2,4） D.(—∞，1)∪（2，4）【解析】当命题p为真命题时,∵函数f（x）图象的对称轴为直线x=m,∴m≤2。当命题q为真命题时，若m=0，则原不等式为—4x+1〉0，该不等式的解集不为R,不符合条件;若m≠0，则有m>0,Δ=4(∵p∨q为真,p∧q为假，∴p与q必定一真一假.若p真q假,则有m≤2,m≤若p假q真，则有m>2,1<m<4综上所述，m的取值范围是(-∞，1］∪（2，4）。【答案】C11。有下列四个说法:①命题“若α=π4，则tanα=1”的逆否命题为假命题②命题p：∀x∈R,sinx≤1，则⌝p：∃x0∈R，sinx0>1；③“φ=π2+kπ(k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件④命题p:∃x0∈R，使sinx0+cosx0=32;命题q：若sinα>sinβ，则α〉β,那么（⌝p)∧q为真命题其中正确的个数是（).A.4 B.3 C.2 D.1【解析】因为①中的原命题为真,所以其逆否命题也为真，所以①错误。由全称命题的否定是特称命题知②正确。当函数为偶函数时，有φ=π2+kπ(k∈Z），所以其为充要条件,所以③正确。因为sinx+cosx=2sinx+π4的最大值为2〈32，所以命题p为假命题，⌝p为真命题,又因为三角函数在定义域内不单调，所以q为假命题，所以（⌝p)∧q为假命题，所以④【答案】C12.已知a〉0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（)。A.∃x0∈R，12ax2-bx≤ax0B。∃x0∈R,12ax2—bx≥12axC。∀x∈R，12ax2-bx≤12axD。∀x∈R,12ax2-bx≥12ax【解析】因为x0满足方程ax=b,所以x0=ba而12ax2-bx—12ax02-bx0=12ax2—bx—12a令h(x)=12ax2-bx+b22a,则其对应的一元二次方程12ax2-bx+b22a=0的判别式Δ=b2-4·12a·b22a=0.又a>0，故对∀x∈R,有h（x)≥0恒成立,即对∀x∈R,【答案】D二、填空题13。已知命题p：函数f（x）=log0.5（3-x）的定义域为（—∞,3）；命题q：若k〈0，则函数h(x）=kx在(0,+∞）上是减函数。给出下列结论:①命题“p∧q”为真;②命题“p∨（⌝q)”为假;③命题“p∨q”为假；④命题“(⌝p）∧（⌝q）"为假。其中错误的是.（填序号【解析】由3-x〉0,得x<3，故命题p为真,⌝p为假.又由k<0，得函数h(x)=kx在(0,+∞)上是增函数，故命题q为假,⌝q为真。所以命题“p∧q”为假,命题“p∨(⌝q）”为真,命题“p∨q”为真，命题“(⌝p)∧（⌝q）”为假【答案】①②③14.已知p:—4〈x—a<4，q：(x—2)(3—x)〉0,若⌝p是⌝q的充分条件，则实数a的取值范围是。

【解析】p:a-4<x<a+4,q：2〈x<3。由⌝p是⌝q的充分条件可知,q是p的充分条件，即q⇒p，∴a-4≤2,a+4≥【答案】[—1,6]15。下列四个结论中,正确的序号是.

①“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件；②“k=1"是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；③“x≠1”是“x2≠1"的充分不必要条件;④“a+c〉b+d"是“a〉b且c〉d"的必要不充分条件。【解析】①当x=1时,x2=x成立,反之，不一定，所以“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件,所以①正确。②函数y=cos2kx-sin2kx=cos2kx，其最小正周期T=2π|2k|=π|k|，当k=1时，T=π；当π|k|③转化为等价命题，即判断“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件，由于x2=1时,x=±1,不一定有x=1，所以充分条件不成立,所以③不正确。④a+c〉b+d不一定有a〉b且c〉d,但a>b且c>d时，必有a+c>b+d,所以④正确。综上可知，正确结论的序号为①④.【答案】①④16。命题“对于正数a,若a〉1，则lga〉0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为m.命题“n∈N＊，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根”是真命题，则logmn的值为.

【解析】原命题“对于正数a,若a〉1，则lga〉0”是真命题,逆命题“对于正数a，若lga〉0,则a〉1”是真命题,所以其否命题与逆否命题都是真命题。所以m=4。因为一元二次方程x2—4x+n=0有整数根，所以由Δ=16-4n≥0得n≤4,又因为n∈N*,所以n=1，2,3,4,验证可知n=3，4符合题意.因此，logmn=log43或logmn=log44=1。【答案】log43或1三、解答题17。π为圆周率，a，b,c,d∈Q，已知命题p：若aπ+b=cπ+d，则a=c且b=d。(1）写出⌝p并判断真假;(2）写出p的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假。【解析】(1)⌝p：若aπ+b=cπ+d，则a≠c或b≠d。因为a，b,c,d∈Q,由aπ+b=cπ+d，得π（a—c）=d-b∈Q，所以a=c且b=d。故p是真命题,⌝p是假命题。（2）逆命题:若a=c且b=d,则aπ+b=cπ+d.它是真命题。否命题:若aπ+b≠cπ+d,则a≠c或b≠d.它是真命题。逆否命题:若a≠c或b≠d，则aπ+b≠cπ+d.它是真命题。18.给出下列两个命题:命题甲:关于x的不等式x2+(a—1）x+a2≤0的解集为⌀;命题乙:函数y=（2a2-a)x为增函数.分别求出符合下列条件的实数a的取值范围.(1)甲、乙至少有一个是真命题;(2）甲、乙中有且只有一个是真命题。【解析】当命题甲为真时,Δ=（a-1)2—4a2<0，解得a>13或a〈—1当命题乙为真时，2a2-a〉1，解得a〉1或a<—12(1）当甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集,所以a的取值范围是a|(2）甲、乙中有且只有一个是真命题,有两种情况:当甲真乙假时，13〈a≤1;当甲假乙真时,-1≤a〈-1所以甲、乙中有且只有一个真命题时,a的取值范围为a|19.解答下列问题。(1）是否存在实数m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件？（2)是否存在实数m,使得2x+m〈0是x2-2x-3〉0的必要条件？【解析】(1）欲使得2x+m<0是x2-2x—3〉0的充分条件,则只要x|x<-m2⊆｛x｜x<—1或x>3｝,则只要满足—m2≤—1，即m≥2。故存在实数m≥2，使得2x+m〈0是x2-（2）欲使得2x+m〈0是x2-2x-3〉0的必要条件,则只要x|x<-m2⊇{x|x<-1或x>3}。而这是不可能的,故不存在实数m,使得2x+m〈0是x2—220.设a，b,c为△ABC的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx—b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.【解析】充分性：因为∠A=90°，所以a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0，所以x2+2ax+(a+c)（a-c）=0。所以[x+(a+c）][x+(a-c）]=0。所以该方程有两根x1=-(a+c),x2=-（a-c）,同样,方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-（a2—c2)=0，即［x+（c+a）]［x+（c—a)]=0,所以该方程有两根x3=-(a+c),x4=-（c-a)。可以发现,x1=x3,所以这两个方程有公共根.必要性：设x是这两个方程的公共根,则x由①+②，得x=—（a+c）或x=0(舍去）。代入①并整理得a2=b2+c2.所以∠A=90°.所以结论成立。21.已知a∈R，命题p：对于x∈［1，2]，不等式x2+2ax—2>0恒成立;命题q:关于x的不等式（a2-1)x2+（a-1）x—2〉0的解集为空集。当p,q中有且仅有一个为真命题时,求实数a的取值范围。【解析】因为对