精算师数学讲义第6章参数估计

第6章参数估计【考试要求】6.1点估计

矩估计极大似然估计6.2点估计的评价标准

无偏性有效性相合性6.3区间估计均值的区间估计方差的区间估计

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【要点详解】

参数：用来描述总体特征概括性数字度量；

参数估计：利用样本统计量去估计总体参数的过程。参数估计分为两大类：点估计和区间估计；

点估计：用一个具体的数值去估计一个未知参数；

区间估计：用一个区间估计未知参数可能的取值范围。

§6.1点估计

定义6-1利用样本信息构造统计量作为总体未知参数θ的估计值，则被称为参数θ的点估计量，简称点估计。点估计常用的方法：矩估计和极大似然估计。精算师考试网官方总站：圣才学习网

1．矩估计

（1）构造思想假设随机样本能够充分反映总体的信息，那么可以用样本矩去估计总体矩，从而求出未知参数的矩估计值。（2）基本点用样本矩估计总体矩，用样本矩的相应函数估计总体矩的函数。设是来自某总体X的一个简单随机样本，则样本的k阶原点矩为：如果总体X的k阶原点矩存在，用Ak去估计，记为优点：构造思想直观，计算简便，且在总体分布未知场合也可使用。缺点：由于选择的矩不同，得到的估计值也不同，导致估计结果不唯一。样本各阶矩易受到样本异常值的影响，估计结果不够稳健。

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【例题6.1】设总体X的概率密度为是来自该总体的简单随机样本，则参数θ的矩估计量为（）。[2008年春季真题]A．B．C．D．E．e【答案】A【解析】

用代替，得从而θ的矩估计量为：精算师考试网官方总站：圣才学习网

2．极大似然估计

（1）极大似然思想一个随机试验有若干个可能的结果：A,B,C…。在一次试验中，如果观察结果A出现，则认为可能的试验总体是导致A出现概率最大的那个。（2）极大似然方法设总体函数待估参数θ，θ有很多种可能的取值，从θ的所有的取值中选择使得样本观察值出现概率最大的那个参数值（记作）作为θ的极大似然估计值，简称为MLE。精算师考试网官方总站：圣才学习网（3）步骤：①写出似然函数。设X的概率密度函数为p(x,θ)其中θ为未知参数，。现在从总体中获得了样本容量为n的样本观察值则该样本出现的概率为记为似然函数。

θ的极大似然估计值应满足②对似然函数取对数，得到对数似然函数。

☞

③对数似然函数求导，得到似然方程。当对数似然函数l(θ)对θ的每一分量可微时，可以通过l(θ)对θ的每一分量求偏导，导函数方程称为似然方程。④求解似然方程，得到未知参数的极大似然估计值。

当样本的取值范围与未知参数有关时，通常无法用求导的方法获得未知参数的极大似然估计，这时要根据似然函数的具体形式和参数的约束条件灵活求解。

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【例题6.2】设总体X服从均值为λ的泊松分布，若λ的一阶原点矩估计量为，极大似然估计量为，则下列选项中正确的是（）。[2008年春季真题]A．B．C．D．的大小关系与具体抽取的样本有关E．以上选项都不正确【答案】A【解析】由题意知，故。由似然函数为：得

故精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题6.3】设总体X的密度函数是来自该总体的简单随机样本，则λ的极大似然估计量为（）。[2008年春季真题]A．B．C．D．E．【答案】D【解析】似然函数为：

要使Ｌ（λ）最大，则。

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【例题6.4】已知随机变量X的分布率如下表所示。

其中，利用样本观察值：0，1，1，2，0，θ的矩估计和极大似然估计分别为（）。A．0.3，4/15B．4/15，0.3C．0.4，4/15D．0.3，2/15E．0.4，2/15【答案】A【解析】由

可得：θ的矩估计值。由样本观察值可得似然函数，对似然函数求导：所以θ的极大似然估计值。

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§6.2点估计的评价标准

1．无偏性

定义6-2设是参数θ的一个估计量。假如其中是参数空间，则称是θ的无偏估计。

☞

无偏性衡量的是估计值的均值距离真实值θ的偏差。

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【例题6.5】设总体X服从正态分布是来自该总体的简单随机样本，令则的无偏估计量为（）。[2008年春季真题]A．B．C．D．E．【答案】D【解析】A、B显然不对。由于故

即精算师考试网官方总站：圣才学习网

2．有效性

定义6-3

设是参数θ的两个无偏估计。假如对一切成立，且至少存在一个θ，使得严格的不等号成立，则称有效。

定义6-4

设是参数θ的两个估计量。假如且至少存在一个θ，使得严格的不等号成立，则称在均方误差意义下，。其中，为估计量的偏差平方。即：均方误差等于方差和偏差平方之和。

☞

对于无偏估计，由于偏差为零，均方误差等于方差。

☞

有效性则是衡量估计值的离散程度。

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【例题6.6】从均值为μ，方差为的正态总体中分别抽取容量为n1和n2的两组独立样本，分别为两组样本的样本均值。当a=

，b=

（a+b=1）时，在此形式的估计量中最有效？（）A．B．C．D．E．

【答案】E【解析】由于分别为两组独立样本的样本均值，所以

又a+b=1，则

即当a+b=1时，是μ的无偏估计。由于分别为容量n1和n2的两组独立样本，所以

要使（a+b=1）在此形式的估计量中最有效，需使Var(Y)达到最小，即达到最小。所以

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3．相合性（一致性）

☞相合性是指随着样本容量的递增，估计量与被估参数的偏差越来越小的性质。

定义6-5设对每个自然数n，是参数θ的一个估计量。如果对于任意实数有则称的相合估计。精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题6.7】设是来自正态总体的样本，其中，则下面结论错误的是()。A．的无偏估计量B．的相合估计量C．的无偏估计量D．的极大似然估计量E．的无偏估计【答案】D

【解析】D项，的极大似然估计量是E项，由于所以即的无偏估计。

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§6.3区间估计

定义6-6设θ是总体的一个参数，其参数空间是，是来自该总体的一个随机样本，对给定的（0<

<1），确定两个统计量，使得则称为θ的置信水平为1-

的置信区间，其中称为置信水平为1-

的置信下限，称为置信水平为1-

的置信上限。精算师考试网官方总站：圣才学习网

1．均值的区间估计（1）单正态总体的区间估计

假设随机变量是来自该总体的一个随机样本，均值的区间估计就是要在给定的

（0<

<1）的基础上，确定两个统计量使得①总体方差已知时，均值的区间估计由于则其中为标准正态分布的1-

上分位点，即另一方面，需要两个统计量使得令解出

结论：在已知的场合，总体均值μ的1-

的置信区间为：

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【例题6.8】设总体X～N（，0.92），样本容量n=9，样本均值=5，则在保留三位小数下，未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是()A．（4.412，5.588）B．（4.012，5.988）C．（3.412，6.588）D．（4.433，5.667）E．（4.250，5.750）【答案】A【解析】样本方差已知，且总体服从正态分布，故而未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为：

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【例题6.9】设总体X服从正态分布已知，若使μ的置信度为0.95的置信区间长度为L，则样本容量n至少应该不小于（）。[2008年春季真题]A．B．C．D．E．

【答案】C【解析】由于长度为则精算师考试网官方总站：圣才学习网②总体方差未知时，均值的区间估计

☞小样本场合构造则其中为t分布的1-

分位点，即另一方面，需要两个统计量使得令解出结论：在未知的小样本场合，总体均值μ的1-

的置信区间为：

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☞大样本场合当样本容量大于30时，通常可以视为大样本。在大样本场合，t统计量的渐近分布为标准正态分布，即：令解出

结论：在未知的大样本场合，总体均值μ的1-

的置信区间为：

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【例题6.10】某银行职工的月收入服从，现随机抽取30名职工进行调查，求得他们的月收入的平均值元，标准差元，则μ的置信水平为0.95的置信区间为()。A．（345.3，541.7）B．（645.4，747.0）C．（597.4，805.6）D．（416.8，865.4）E．（645.4，805.6）【答案】B

【解析】查表得则由已知条件可得μ的置信水平为0.95的置信区间为：

即为（645.4，747.0）。

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【例题6.11】某灯泡厂对生产的10000只日光灯进行质量检验，随机抽取100只，测得灯管的平均发光时间为2000小时，发光时间的标准差为50小时。在95.45％的概率保证下，这批灯管平均发光时间的范围是（）小时。A．（1980，2020)B．（1989，2011)C．（1990，2010)D．（1992，2008)E．（1995，2005)【答案】C【解析】在95.45％的概率保证下，这批灯管平均发光时间的置信区间为：

即（1990，2010）小时。

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（2）两个独立总体均值差的区间估计设有两个独立的正态总体从X总体中获取样本从Y总体中获取样本，构造的置信区间。在点估计场合，常用估计。①已知

的置信水平为1-

的置信区间为：

精算师考试网官方总站：圣才学习网②但是未知。

☞小样本场合小样本场合下，的抽样分布其中结论：小样本场合，的置信水平为1-

的置信区间为：精算师考试网官方总站：圣才学习网

☞大样本场合大样本场合下，的抽样分布为：结论：大样本场合，的置信水平为1-

的置信区间为：

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【例题6.12】为比较A、B两城市居民的生活水平，分别调查150户和100户家庭的人均生活费支出。按所得数据算得样本均值分别是55.91元和67.76元，样本方差分别为64.91元2和69.37元2。假设两城市家庭人均生活费支出都可以认为服从正态分布且方差相等，则以95％的置信概率估计B城市与A城市人均生活费支出之差的置信区间为（）。（z0.975=1.96）A．（9.84，13.86）B．（9.40，14.30）C．（9.93，13.77）D．（10.18，13.52）E．（9.78，13.92）【答案】E【解析】已知两总体均服从正态分布，且方差相等，则合并估计量为：

已知所以B城市与A城市人均生活费支出相差的幅度在95%下的置信区间为：即（9.78，13.92）。

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【例题6.13】某厂两条自动化罐装蕃茄酱生产线，分别从两条流水线上抽取样本X1，X2，…，X12及Y1，Y2，…，Y17，算出＝10.6（克），＝9.5（克）2.4，4.7，假设这两条流水线上罐装蕃茄酱的重量都服从正态分布，其均值分别为且有相同的方差，则均值差的置信水平为0.95的区间估计为（）。A．(-0.2,2.4)B．(-0.3,2.5)C．(-0.4,2.6)D．(-0.5,2.7)E．(-0.7,2.9)

【答案】C

【解析】总体方差的合并估计量为：根据

=0.05，自由度(12+17－2)=27，查t分布表得t0.975(27)=2.0518，则两个总体均值之差在95%置信水平下的置信区间为：即(-0.4,2.6)。

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2．方差的区间估计（1）单总体方差的置信区间

假设随机变量是来自该总体的一个随机样本，方差的区间估计就是要在给定的（0<α<1）的基础上，确定两个统计量和，使得

构造则其中分布的1-α/2分位点，即解出

结论：总体方差的置信水平为1-

的置信区间为：

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【例题6.14】有关资料显示，运动员大多是长寿的。从各国运动员中随机抽取10人，他们死亡时的年龄（单位：岁）分别为：85，87.5，88，93，95.2，97，72.5，78.5，60，83。要求：根据资料，当显著性水平=0.05时，运动员的标准误差的置信区间为（）。A．（8.36，20.32）B．（6.29，19.36）C．（10.23，25.35）D．（9.87，21.35）E．（7.76，20.59）【答案】E【解析】已知1－

=0.95，/2=0.025，n－1=9,由已知数据可得：=83.97，S=11.2752。所以标准误差的置信度为95%的置信区间为：

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