对高中数学概念教学实施策略的研究

对高中数学概念教学实施策略的研究余乃灵（广东省清远市英德中学）摘要：本文通过对近三年广东高考数学概念的考查及概念教学中存在的典型问题的探究，结合实例，总结了实施概念教学的一般性策略，提出了新颖的教学观点。关键词：数学概念后续学习策略一.问题的提出数学概念是反映客观事物关于空间形式和数量关系方面的本质属性的思维形式。它是数学思维形式中最基本组成单位，是数学这座大厦的砖瓦。教师加强数学概念的教学，是学生学好数学的基础，是提高数学教学质量最基本的环节。1.数学概念考查是高考的热点 高中数学考试大纲提出：数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素质的考查融为一体，全面检测考生的数学素养。那么，对概念的考查有多少？概念考查能不能体现以能力立意命题的指导思想呢？笔者对近三年广东高考数学概念的考查进行了归纳总结，见表1。表12022—2022年度广东高考有关数学概念的考查情况分布表年份题号考察内容与方式考察能力平均分2022第1,2,4题集合的概念、韦恩图、反函数基本概念的理解第3题复数（自定义符号的理解）新概念的理解表征第5题直线与平面的概念（概念的相容、从属关系）基本概念的辨析能力第8题积分的概念与几何意义概念的不同形式表述及应用第11题椭圆的概念概念的内涵及外延的理解第18,19题正投影、区域定义（自定义）概念的理解，后续学习能力2022第1，5题集合，充要条件等基本概念基本概念的理解运用能力第21题折线概念（自定义的新概念）新概念的理解，后续学习能力2022第2题集合的概念及运算基本概念理解运用79第8题乘法封闭性（自定义新概念）概念表征能力；类比、推理第19题两圆内切、外切及圆锥曲线概念基本概念的掌握及运用第21题最值；点集（自定义新概念）新概念的理解，后续学习能力注：1.平均分来源于网络；所得的结论只做参考，不具备准确性。2.只选取理科数学（A卷）的内容作对比，主要是考虑到表格占据的篇幅过大（笔者对文科数学也作了对比，结论与理科数学相差不大）；为方便对比，统计的内容主要侧重直接考查概念的题目，对于间接考查的内容未作考虑。（1）数学概念的范围广，力度大。仔细分析表1，我们易看出，广东高考的命题十分注重对数学概念的理解运用。2022年直接考查概念的分值达到了63分，2022年占24分，2022年占38分。考查的内容有：a.基本概念的理解运用；b.命题者自定义（或高等数学中的定义）概念的理解运用。为什么会这么注重概念的考查呢？第一，数学概念在整个高中数学系统中占了相当大的比例，可以说无处不在，命题者无论怎么命题，都不可能避免概念的考查；第二，“考试大纲”提出：数学科考试要发挥数学作为基础学科的作用，既考查中学数学的知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能。因此，要检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能。通过对一个未知概念进行定义来考查考生对新知识的理解和运用，这是联系高等数学的学习桥梁，也体现考生的后续学习能力，这种考查方式成为命题者所爱就理所当然了。 （2）数学概念的考查能体现能力立意的指导思想。考生们普遍认为2022年和2022年的广东数学高考题偏难，事实上从平均分也可以体现出来。现在我们作一个分析：将总平均分与考查概念所占分值进行对比：2022年平均分分，概念占分值63分；2022年平均分分，概念占分值24分；2022年平均分79分，概念占分值38分。这揭示一个有趣的现象：考查概念的题目比重越大，平均分越低。这两者间究竟有没有相关关系呢？笔者就2022年和2022年的高考题对几间学校的部分考生进行了访谈调查，调查结果发现：表1的题目对高中知识涵盖面广，而且题型新颖、灵活，正是他们普遍认为比较难的题目。特别是2022年的考题，第1—5道选择题全部考查概念，这大大出乎考生的意料，大部分考生的第一印象是选择题难，影响了后面题目的顺利解答。从这个角度看，概念的考查确实与平均分有一定的关系，也体现了能力立意的命题指导思想，同时暴露出教师在平时的教学中对概念教学的把握不到位。2.数学概念教学的典型问题 在对高考试题分析中，笔者提出了高中阶段概念教学的把握不到位的情况，现在结合两个案例，具体分析概念教学中存在的问题。案例1：教高一年级的新教师小王早就听说函数的概念课不容易上好，于是他花了几天时间对《函数的概念》认真研究备课。小王老师满怀信心的走上了讲台，他让同学们认真阅读函数的概念，标记出概念的关键词，并让大家讨论应该注意的问题。一节课下来，小王自我感觉授课很到位，课堂气氛也很热烈。第二天上课前，有位同学向小王老师提出了自己的困惑：“老师，函数有什么用途？我怎么觉得函数好抽象啊！”；小王老师回答说“函数是比较抽象，你要认真理解概念，多做点题目，接触多了慢慢就懂了”。案例2：某市招考高中数学教师，其中备课环节的内容为新授课“函数的单调性与最大（小）值第一课时”。评委们发现，有一半以上的备课稿将这节课的重难点定位为“函数单调性的运用”；“过程与方法目标”定位为“通过练习，使学生理解函数单调性的定义及几何意义”；教学设计过程也比较侧重应用，设计了大量有关函数单调性的题型。两个案例，揭示了当今概念教学存在的一些问题。第一个案例，反映出有些教师仅仅把数学概念看作一个名词而已，认为概念教学就是对概念作解释，要求学生记忆。像函数、向量这样的概念，其本质是一种数学观念，是一种处理问题的数学方法。因此不讲概念产生的背景和形成历程，仅从逻辑上列举要素和注意点，摒弃了概念所反映的数学思想方法，导致学生难以达成对概念的实质性理解，无法形成相应的心理历程。这也反映在那位同学提出的问题里。第二个案例，反映出不少教师在教学中重解题、轻概念，认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”，一节概念课就是一节解题课，造成学生对概念含糊不清、一知半解，导致学生在面对新情境时无法透过现象看本质，难以实现概念的正确、有效应用。二.数学概念教学的策略研究 从上面的分析，我们知道了历年高考都相当重视对概念的考查，但我们的教学较多停留在“轻概念，重应用”的老路上。如何更有效的实施概念教学，应该成为教师急需探讨的课题。笔者提出了以下一些应对策略，以求争鸣。1.重视数学概念对数学学习的意义数学概念的形成是以实践为基础，经由从客观事物到主观意识的认识过程，它是从感性认识上升为理性认识的思维形式，这个过程按照认识发展顺序就是感觉——知觉——表象——概念。随着数学抽象程度的提高，数学概念的形成主要在于数学自身内部的矛盾运动。表现为纯逻辑的导出和内部的多级抽象，如虚数单位i的产生来源于一元三次方程的求解，“群”概念的产生来源于高次方程根的表达形式问题的研究。现行中学数学课程标准指出：数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应从学生已有的生活经验出发，遵循学生学习数学的心理规律。数学概念的形成过程正是体现了这种心理规律。同时，概念作为思维形式的最基本单位，构建了数学大厦。因此，教师重视数学概念的教学，便是遵循学生学习数学的心理规律，注重基础的培养，为后续的学习打下坚实的基石。2.依据数学概念教学的基本原则，设计概念教学过程高中数学概念的基本要求为：揭示概念的内涵与外延，使学生深刻理解概念，牢固掌握概念，灵活运用概念，即达到理解、巩固、系统、会用的目的。为了达到概念教学的基本要求，教师可以几个原则来进行概念教学的设计：a.深刻揭示概念的生成过程，挖掘生成背景，体现再创造过程。b.抓住主要概念，选择讲解重点。c.设计情景或题型帮助理解概念的内涵和外延。d.注重思维的演变，凸现概念体现的数学思想方法。e.学习概念是一个循序渐进的过程。数学概念的定义十分严谨，一字之差会有天渊之别。而高中的大部分数学概念对学生来说都是新的知识和新的思维，它的形成需要一个过程。因此，在学生初学概念时，不宜逐字挖掘涵义，硬性要求学生强记定义，只需要大体理解概念。但随着学习的深入，教师应该有意识的多回顾，创设一些针对性话题或题型，让学生深入思考概念的内涵和外延，逐步完善概念，最终形成严格的定义。下面以《函数的概念》剖析设计思想。函数是一个核心概念，函数思想是一种核心的数学思想方法。按照上面提到的设计原则，作如下处理：（1）概念的引入：让学生列举接触过的函数，回顾初中学过的函数的概念及表达形式。（这其实揭示了函数的发展历程：函数是从幂x,x2,x3……的同义词发展到变量x与常量构成的任一表达式，并由欧拉给出函数f(x)的记号，最终发展成由揭示对应关系更本质的映射来定义）再结合课本引入例题，揭示函数的对应关系。（2）处理概念的讲解重点：函数概念包含了自变量、函数值、对应关系、定义域、值域等概念。而“对应关系”、“定义域”这二个主要概念应该作为初次学习函数概念的重点内容。为了帮助理解对应关系，不妨举一些现实生活的例子。笔者在教学的时候，发现学生对对应关系还不甚理解，于是在课堂上举了个例子：可以把函数看成是一部制造火腿肠的机器，将原料放进去，经过机器的运转，产出的是火腿肠。放入的是猪肉，出来的是猪肉火腿肠；放入的是牛肉，出来的是牛肉火腿肠。但如果放块石头，就出不来火腿肠。只是函数要求放入的“原料”是数，输出的当然也是数，对应法则就好比是机器本身（例子粗俗，但可以让学生深刻体会对应关系及定义域、值域的要求）。函数当然不是机器，但我们的重点是理解函数的对应关系与定义域等重点内容。（3）概念的完善和巩固：为了完善函数概念的定义，在后面的学习中还应该多设计相关情景或求异问题，使学生通过求异、辩证，逐步完善函数概念。概念出来后，可以用一些实例（以解析式、图象、表格三种形式给出）设计情景，以讨论的形式让学生自己归纳出函数概念及三要素。还可以设计一些有关定义域、解析式、值域等的习题帮助理解。如下面的几道题目。例1：下列哪个是函数（）=1-x2;=4x;C.=lnx-x2例2：下列四组函数中，其函数图象相同的是（）A.B.C.D.3.整体把握数学概念，适当研究定义的结构数学概念下定义的方式很多，有属加种差定义、发生性定义、关系性定义、外延性定义、归纳性定义、公理化定义、原始概念不加定义。这些定义的方式都不要求学生了解，但我们适当引导学生研究一些定义概念的结构，这样有助于整体把握概念，培养学生的创造性思维。如立体几何中的多面体和多边形，都属于属加种差定义，如果适当提点一下定义的结构，就可以对它们之间的相容关系更清晰。请观察下面的例子：等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列从语法结构的角度来看，两者都属同一种定义方式（发生性定义），而且两个定义只有一字之差，因此类比法对学习这个内容是最为有效的。教学如果只限于这种类比，那么就会失去培养学生创造性思维的好机会了。事实上，我们既然清楚了这种定义的结构，那么能不能对数列进行引申呢？将定义中的“差”（“比”）改成“和”，我们称之为“等和数列”，它的性质会怎样呢？是不是还可以产生等积数列呢？它的性质又会怎么样？这种训练思维的方式也正回应了高考中考查概念的方式。4.教法无定类，学法有侧重 概念也分主次，对一些次要概念，在不影响学习的情况下可适当“弱化”，适当淡化次要概念是现代教学的一种趋势。对于重要的概念，选择的教法也应该有所变化，可以是发现教学，可以是类比教学，可以是问题教学……这有赖于教师在平时的教学中多思考、多积累。在高中的不同阶段，概念的学习要有所侧重：在讲授新课的时候，应该引导学生慢慢形成概念；在复习阶段，应该通过概念的辨析和运用，清晰概念的内涵和外延，巩固概念；在高三总复习阶段，应该侧重于引导学生归纳概念，使概念系统化，并强调概念的运用及蕴含的思想方法。学习数学