中考数学一轮知识复习和巩固练习考点09 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（能力提升） (含详解)

考向09平面直角坐标系与一次函数、反比例函数—能力提升【知识梳理】考点一、平面直角坐标系

1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点点P(x,y)在第一象限SKIPIF1<0；点P(x,y)在第二象限SKIPIF1<0；点P(x,y)在第三象限SKIPIF1<0；点P(x,y)在第四象限SKIPIF1<0；点P(x,y)在x轴上SKIPIF1<0，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上SKIPIF1<0，y为任意实数；点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上SKIPIF1<0x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上SKIPIF1<0x与y相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上SKIPIF1<0x与y互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p′关于x轴对称SKIPIF1<0横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P与点p′关于y轴对称SKIPIF1<0纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P与点p′关于原点对称SKIPIF1<0横、纵坐标均互为相反数.6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于SKIPIF1<0；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于SKIPIF1<0；（3）点P(x,y)到原点的距离等于SKIPIF1<0.7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点SKIPIF1<0，那么A、B两点的距离为：SKIPIF1<0.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，SKIPIF1<0轴或平行于SKIPIF1<0轴的直线上的两点SKIPIF1<0的距离为：SKIPIF1<0（2）在直角坐标平面内，SKIPIF1<0轴或平行于SKIPIF1<0轴的直线上的两点SKIPIF1<0的距离为：SKIPIF1<0方法指导：（1）注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当SKIPIF1<0时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.考点二、函数1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.方法指导：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和SKIPIF1<0点的一条直线．①当k>0时，y随x的增大而增大；

②当k<0时，y随x的增大而减小．(4)用函数观点看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标．②二元一次方程组SKIPIF1<0对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．方法指导：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式SKIPIF1<0（kSKIPIF1<00）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式SKIPIF1<0（kSKIPIF1<00）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.（3）直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．①k1≠k2SKIPIF1<0y1与y2相交；②SKIPIF1<0SKIPIF1<0y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0y1与y2平行；④SKIPIF1<0SKIPIF1<0y1与y2重合.3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）的函数称为反比例函数.三种形式：SKIPIF1<0(k≠0)或SKIPIF1<0SKIPIF1<0(k≠0)或xy=k(k≠0).（2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数SKIPIF1<0，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数SKIPIF1<0（也叫做比例系数SKIPIF1<0），分母中含有自变量SKIPIF1<0，且指数为1；②比例系数SKIPIF1<0；③自变量SKIPIF1<0的取值为一切非零实数；④函数SKIPIF1<0的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）中自变量SKIPIF1<0，函数值SKIPIF1<0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）中比例系数SKIPIF1<0的几何意义是：过双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）上任意点引SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴的垂线，所得矩形面积为SKIPIF1<0.（4）反比例函数性质：函数SKIPIF1<0k的符号k>0k<0图像SKIPIF1<0SKIPIF1<0性质①x的取值范围是xSKIPIF1<00，y的取值范围是ySKIPIF1<00；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.①x的取值范围是xSKIPIF1<00，y的取值范围是ySKIPIF1<00；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出SKIPIF1<0）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数SKIPIF1<0中的两个变量必成反比例关系.（7）反比例函数的应用反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数SKIPIF1<0图像上任一点SKIPIF1<0作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMSKIPIF1<0PN=SKIPIF1<0.SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.(8)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0≠0)，反比例函数SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，两函数图象无交点；当SKIPIF1<0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)．由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．方法指导：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【能力提升训练】一、选择题

1.无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（）A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜163．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）4．如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1=SKIPIF1<0和y2=SKIPIF1<0的图像交于点A和点B.若点C是y轴上任意一点，连结AC、BC，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4第4题图5题图5．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为（）A．12B．9C．6D．46．已知abc≠0，而且=p，那么直线y=px+p一定通过（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限二、填空题7．如图，正比例函数SKIPIF1<0与反比例函数SKIPIF1<0图象相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，过点SKIPIF1<0做SKIPIF1<0轴的垂线交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=.8．如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线SKIPIF1<0交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值是.第7题图第8题图9．若直线y=kx（k＞0）与双曲线的交点为（x1，y1）、（x2，y2），则2x1y2﹣5x2y1的值为．10．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P到x轴的距离等于3，则点P的坐标为__________．11．如图，已知函数y=2x和函数SKIPIF1<0的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是．第11题图12．已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中．记，，若（是非零常数），则A1·A2·…·An的值是________________________（用含和的代数式表示）．三、解答题13．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．xyOA6246-2-2-62-8-4414.如图，将直线SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点A（SKIPIF1<0），与双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）交于点B．xyOA6246-2-2-62-8-44（1）求直线AB的解析式；（2）若点B的纵坐标为m，求k的值（用含m的代数式表示）．15．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5.5万元．(销售利润＝(售价-成本价)×销售量)请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：(1)销售量x为多少时，销售利润为4万元?(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O1A，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)16.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动．(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．答案与解析一、选择题

1.【答案】C；【解析】直线y=-x+4经过第一，二，四象限，一定不经过第三象限，因而直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在第三象限．2.【答案】C；【解析】点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线y=经过点（1，1）时，k=1；当双曲线y=经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选：C．3.【答案】B；【解析】由方程组的解知两直线的交点为（1，a+b），而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于a，小于b的数，不等于a+b，故图D不对；故选B．4.【答案】A；5.【答案】B；【解析】由A（-6,4），可得△ABO的面积为，同时由于D为OA的中点，所以D（-3,2），可得反比例函数解析式为，设C（a，b），则，∴ab=-6，则BO×BC=6，∴△CBO的面积为3，所以△AOC的面积为12-3=9.6.【答案】B；【解析】∵=p，∴①若a+b+c≠0，则p==2；②若a+b+c=0，则p==-1，∴当p=2时，y=px+q过第一、二、三象限；当p=-1时，y=px+p过第二、三、四象限，综上所述，y=px+p一定过第二、三象限．二、填空题7．【答案】1；【解析】∵无法直接求出SKIPIF1<0的面积∴将SKIPIF1<0分割成SKIPIF1<0和SKIPIF1<0由题意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0、SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的面积=SKIPIF1<08．【答案】SKIPIF1<0；【解析】设B点坐标为（a，b），

∵OD：DB=1：2，∴D点坐标为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），

∵D在反比例函数SKIPIF1<0的图象上，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0--------------①，

∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函数SKIPIF1<0的图象上，C点的纵坐标是b，

∴C点坐标为（SKIPIF1<0）

将（SKIPIF1<0）代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

又因为△OBC的高为AB，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0-----------②，

把①代入②得，9k-k=6，解得SKIPIF1<0．9．【答案】6；【解析】由题意知，直线y=ax（a＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y=交于两点，则这两点关于原点对称，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2，又∵点A点B在双曲线y=上，∴x1×y1=2，x2×y2=2，∴原式=﹣2x2y2+5x2y2=﹣2×2+5×2=6．故答案为：6．10．【答案】（-，3）或（,-3）；【解析】∵点P到x轴的距离等于3，∴点P的纵坐标为3或-3当y=3时，x=-；当y=-3时，x=；∴点P的坐标为（-，3）或（，-3）．“点P到x轴的距离等于3”就是点P的纵坐标的绝对值为3，故点P的纵坐标应有两种情况．11．【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）；【解析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标：如图，∵△AOE的面积为4，函数SKIPIF1<0的图象过一、三象限，∴k=8.∴反比例函数为SKIPIF1<0∵函数y=2x和函数SKIPIF1<0的图象交于A、B两点，∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，∴满足条件的P点有3个，分别为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）.12．【答案】；【解析】由题意可知：=，又，即，所以原式=.又，，所以，所以原式.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，∴M（2，2），把M的坐标代入y=得：k=4，∴反比例函数的解析式是y=；（2）把x=4代入y=得：y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣×2×2﹣×4×1=4，由题意得：|OP|×AO=4，∵AO=2，∴|OP|=4，∴点P的坐标是（4，0）或（﹣4，0）．14.【答案与解析】xyOA6246-2-2-62-8-44（1）将直线SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0轴向下平移后经过x轴上点A（xyOA6246-2-2-62-8-44设直线AB的解析式为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0∴直线AB的解析式为SKIPIF1<0．（2）设点B的坐标为（xB，m），∵直线AB经过点B，∴．∴SKIPIF1<0．∴B点的坐标为（SKIPIF1<0，m），∵点B在双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）上，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．15.【答案与解析】解法一：(1)由题意知，当销售利润为4万元时，销售量4÷(5-4)＝4万升．答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元．(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5-4＝1.5，所以销售量为1.5÷(5.5-4)-1，所以点B的坐标为(5，5.5)．设线段AB所对应的函数关系式为y