2021新高考数学卷2

--#且xw(-oo,xju(吃,+oo)时，f(x)>0；xe(xl9x2)时，/r(x)<0;故/(x)在(-8,不),(心+8)上为增函数，在(為，如)上为减函数，若勺=1,因为/(x)在(冷,+8)为增函数且/(1)=0,而当xe(o,x2)时，因为于(X)在(兀,切上为减函数,ffi/(x)>/(^)=/(l)=O,故1为p°+PM+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,若兀>1，因为/(1)=0且在(0,x2)上为减函数，故1为p°+P/+p2x2+/;3x3=x的一个最小正实根,综上，若E(X)<1，则p=l.若E(X)>1，则门+2伐+3几>1，故］人+2］人>p°.此时f(O)=-(p2+po+pi)<O,f(1)=必+2卩3一">0,故广(x)有两个不同零点兀，且兀<0<x4<1,且xe(-oo,x3)U(^4,-Ko)时,f(x)>0；xe(x5,x4)时,f(x)<0;故/(X)在(-8宀),(“,+8)上为增函数，在(“，兀)上为减函数，而/(1)=0,故/(E)v0,又f(O)=Po>O，故f(x)在(0,兀)存在一^零点“，且p<\.所以P为Po+P1X+p2X2+/；3X3=X的一1最小正实根，此时P<1,故当E(X)>1时,P<1.(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.22.已知函数f(x)=(x-l)e'-ax2+b.讨论/⑴的单调性；从下面两个条件中选一个,证明：『⑴有一个零点1®—<a<—、b>2a;22@0<ci<^,b<2a.［思路分析］⑴首先求得导函数的解析式,然后分类讨论确定函数的单调性即可；⑵由题意结合⑴中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【解析】：(1)由函数的解析式可得:f'(x)=x(ex-2a),当*0时,若xe(-oo,0),则广(x)<0J(x)单调递减,若xw(0,+8),则广(x)>0J(x)单调递增;当0<«<|时，若xe(-co,lii(2«)),则广(x)>0J(x)单调递增,若xe(lii(26/).O),则广(x)vOJ(x)单调递减，若.¥€(0,4-00),则广(x)>oj(x)单调递增；当时，广⑴noj(x)在R上单调递增；当。+时，若Xw(-迪0),则广(x)>0,/(x)单调递增，乙

若xw(0,ln(2a)),则广(x)vO,/(x)单调递减，若xe(ln(2a),-Ko),则广(x)>OJ(x)单调递增;⑵若迩睪条恤:]2由于寸vg]，故lv2d",贝y/?>2«>l,/(0)=/?-l>0,而f(―b)=(—1—b)幺“—ab2—b<0,而函数在区间(-8,0)上单调递增,故函数在区间(-8,0)上有一个零点./(ln(2a))=2a[ln(2d)-l]-a[ln(2d)]-+/?>2a[in(2a)一1]一a[in(2a)丁+2a=2aIn(2a)-a[in(2a)丁=dln(2d)[2-ln(2a)],12由于—vaW仝,l<2a<e2，故dln(2a)[2-ln(2a)],22结合函数的单调性可知函数在区间(0,+乞)上没有零点.综上可得,题中的结论成立.若选择条ft®:由于05V*,故2avl,则/(0)=Z?-l<2f/-l<0,当bno时，e2>4,4a<2,/(2)=/-4°+/?>0,而函数在区间(0,+“)上单调递增,故函数在区间(0,+乞)上有一个零点.当bvo时，构造函数H(x)=ex-x-l，则H\x)=ex-i,当xe(-oo,0)时，H©)vO,H(x)单调递减,当.¥e(0,+oo)时，H'(x)>0,H(x)单调递增，注意到H(o)=o，故立，从而有：ex>x+l，此时：/(x)=(x-l)ev-ax2-Z?>(x-l)(x+l)-a¥2+b=(l-tz)x2+(b-l),当x>+1,则/(竝)>0,取X。二当x>+1,则/(竝)>0,取X。二即：/(0)<0,/+1>0,而函数在区间(O,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+乞)上有一个零点./(in(2^))=2a[in(2(7)-1]-a[in(2a)]-+b<2a[ln(2d)-l]-a[ln(2d)丁+2d=2aIn(2a)-a[in(2a)丁=dln(2d)[2-ln(2a)],由于Ovav*,0<2a<l，故aln（2d）［2-ln（2a）］vO,结合函数的单调性可知函数在区间（-迪0）上没有零点.综上可得,题中的结论成立.【归纳总结】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度