【数学】2023届高考文科一轮专题复习之高效测试21：正弦定理、余弦定理应用举例

第页高效测试21：正弦定理、余弦定理应用举例一、选择题1．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是eq\r(3)km，那么x的值为()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3)D．3解析：如下图，设此人从A出发，那么AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin30°)，得∠CAB＝60°或120°，当∠CAB＝60°时，∠ACB＝90°，AB＝2eq\r(3)；当∠CAB＝120°时，∠ACB＝30°，AB＝eq\r(3)，应选C.答案：C2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，那么这只船的速度是每小时()A．5海里B．5eq\r(3)海里C．10海里D．10eq\r(3)海里解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(海里/小时)．答案：C3．如下图，两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，那么灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akmD．2a解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a.答案：B4．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，那么斜坡长为()A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米答案：C5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得它在货轮的东北方向，那么货轮的速度为()A．20(eq\r(2)＋eq\r(6))海里/小时B．20(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小时C．20(eq\r(3)＋eq\r(6))海里/小时D．20(eq\r(6)－eq\r(3))海里/小时答案：B6．(2023·重庆冲刺)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点的测得水柱顶端的仰角为30°，那么水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m答案：A二、填空题7．(2023·潍坊质检)A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3km，那么B船到灯塔C的距离为__________km答案：eq\r(6)－18．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．假设此人步行的速度为每分钟50米，那么该形的半径为__________米．答案：50eq\r(7)9．(2023·沧州联考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)米(如下图)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．假设国歌长度约为50秒，升旗手应以__________(米/秒)的速度匀速升旗．答案：0.6三、解答题10．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，假设甲船速度是乙船速度的eq\r(3)倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？解析：如图，设甲船取北偏东θ角去追赶乙，在C点处追上，假设乙船行驶的速度是v，那么甲船行驶的速度是eq\r(3)v，由于甲、乙两船到C的时间相等．都为t，那么BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt，∠ABC＝120°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋vat，∴2v2t2－vat－a2＝0，∴t1＝eq\f(a,v)，t2＝－eq\f(a,2v)(舍去)，∴BC＝a，∴∠CAB＝30°，∴θ＝60°－∠CAB＝30°，∴甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，在乙船行驶a海里处相遇．11．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD、DC，且拐弯处的转角为120°，某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到了A用了6分钟．假设此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．解析：方法一：设该扇形的半径为r米．由题意，得CD＝500(米)，DA＝300(米)，∠CDO＝60°.在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos60°＝OC2，即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×eq\f(1,2)＝r2，解得r＝eq\f(4900,11)≈445(米)．答：该扇形的半径OA的长约为445米．方法二：连结AC，作OH⊥AC，交AC于H.由题意，得CD＝500(米)，AD＝300(米)，∠CDA＝120°.在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2·CD·AD·cos120°＝5002＋3002＋2×500×300×eq\f(1,2)＝7002.∴AC＝700(米)，cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2·AC·AD)＝eq\f(11,14).在直角△HAO中，AH＝350(米)，cos∠HAO＝eq\f(11,14)，∴OA＝eq\f(AH,cos∠HAO)＝eq\f(4900,11)≈445(米)．答：该扇形的半径OA的长约为445米．12．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)假设希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？假设存在，试确定v的取值范围；假设不存在，请说明理由．解析：(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇的航行距离为S海里．如下图，在△AOB中应用余弦定理得，S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300).故当t＝eq\f(1,3)时，Smin＝10eq\r(3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3).即小艇以30eq\r(3)(2)由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得：v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900＝400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－\f(3,4)))2＋675.由于0＜t≤eq\f(1,2)，即eq\f(1,t)≥2，所以当eq\f(1,t)＝2时，v取得最小值10eq\r(13)，即小艇航行速度的最小值为10eq\r(13)海里/小时．(3)由(2)知v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900，设e