（全国通用）2023届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示学案

PAGEPAGE1§5.2平面向量根本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析1.了解平面向量根本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.主要考查平面向量根本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1．平面向量根本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.知识拓展1．假设a与b不共线，λa＋μb＝0，那么λ＝μ＝0.2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，那么a∥b⇔eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).题组一思考辨析1．判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)假设a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，那么λ1＝λ2，μ1＝μ(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．(√)(4)假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b的充要条件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)(6)平面向量不管经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)题组二教材改编2．[P97例5]▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，那么顶点D的坐标为________．答案(1,5)解析设D(x，y)，那么由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))3．[P119A组T9]向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，假设ma＋nb与a－2b共线，那么eq\f(m,n)＝________.答案－eq\f(1,2)解析由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2由ma＋nb与a－2b共线，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).题组三易错自纠4．设e1，e2是平面内一组基底，假设λ1e1＋λ2e2＝0，那么λ1＋λ2＝________.答案05．点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，那么向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．(2022·全国Ⅱ)向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，那么m＝________.答案－6解析因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.题型一平面向量根本定理的应用1．在以下向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)答案B解析方法一设a＝k1e1＋k2e2，A选项，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝3，,2k2＝2，))无解；B选项，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－k1＋5k2＝3，,2k1－2k2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k2＝1.))故B中的e1，e2可以把a表示出来；同理，C，D选项同A选项，无解．方法二只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求．2．(2022·济南模拟)如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，假设eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，那么实数m的值为________．答案eq\f(3,11)解析∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AN,\s\up6(→))，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，又P，B，N三点共线，∴m＋eq\f(8,11)＝1，即m＝eq\f(3,11).思维升华平面向量根本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量根本定理表示向量的实质是利用平行四边形法那么或三角形法那么进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量根本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．题型二平面向量的坐标运算典例(1)a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，假设a－2b＋3c＝0，那么cA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案D解析由3c＝－a＋2＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).(2)(2022·北京西城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如下图，假设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，那么eq\f(λ,μ)等于()A．1B．2C．3D．4答案D解析那么A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(λ,μ)＝4.引申探究在本例(2)中，试用a，c表示b.解建立本例(2)解答中的平面直角坐标系，那么a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，设b＝xa＋yc，那么(6,2)＝x(－1,1)＋y(－1，－3)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＝6，,x－3y＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))故b＝－4a－2思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法那么进行计算．假设有向线段两端点的坐标，那么应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法那么．跟踪训练(1)四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，那么顶点D的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2) D．(1,3)答案A解析设D(x，y)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,3)，又eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝2x，,3＝2y－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2)，))应选A.(2)平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，那么向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b等于()A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)答案D解析eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，故eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝(－1,2)．

题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标典例点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，那么AC与OB的交点P的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，那么eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．方法二又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数典例向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，假设a∥b，那么锐角θ＝________.答案45°解析由a∥b，得(1－sinθ)(1＋sinθ)＝eq\f(1,2)，∴cos2θ＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2)或cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，又θ为锐角，∴θ＝45°.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果两向量共线，求某些参数的取值时，利用“假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

跟踪训练(1)(2022·北京海淀区模拟)向量a＝(1,1)，点A(3，0)，点B为直线y＝2x上的一个动点．假设eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，那么点B的坐标为________．答案(－3，－6)解析设B(x,2x)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－3,2x)．∵eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6)．(2)假设三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，那么实数a的值为________．答案－eq\f(5,4)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,4)，根据题意eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).解析法(坐标法)在向量中的应用典例(12分)给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq\f(2π,3).如下图，点C在以O为圆心的eq\x\to(AB)上运动．假设eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征．标准解答解以O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图，那么A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).[4分]设∠AOC＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))))，那么C(cosα，sinα)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＝x－\f(1,2)y，,sinα＝\f(\r(3),2)y，))所以x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，[8分]所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，[10分]又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以当α＝eq\f(π,3)时，x＋y取得最大值2.[12分]1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么以下四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1－2e2与－e1＋2e2答案D2．(2022·郑州质检)设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，那么2a－3bA．(6,3) B．(－2，－6)C．(2,1) D．(7,2)答案B解析2a－3b3．(2022·河南中原名校联考)如下图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，假设eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，那么λ2＋μ2等于()A.eq\f(5,8) B.eq\f(1,4)C．1 D.eq\f(5,16)答案A解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8)，应选A.4．a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，那么c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案B解析设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ＋μ，,2＝λ－μ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.5．平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，那么实数mA．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即6．(2022·厦门调研)|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，点C在∠AOB内，且eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OA,\s\up6(→))的夹角为30°，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，那么eq\f(m,n)的值为()A．2B.eq\f(5,2)C．3D．4答案C解析∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，以eq\o(OA,\s\up6(→))所在直线为x轴，eq\o(OB,\s\up6(→))所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)n)．∵tan30°＝eq\f(\r(3)n,m)＝eq\f(\r(3),3)，∴m＝3n，即eq\f(m,n)＝3，应选C.7．在▱ABCD中，AC为一条对角线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，那么向量eq\o(BD,\s\up6(→))的坐标为__________．答案(－3，－5)解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．8．(2022·雅安模拟)向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))，假设a－2b与c共线，那么k＝________.答案1解析∵a－2b＝(eq\r(3)，3)，且a－2b∥c，∴eq\r(3)×eq\r(3)－3k＝0，解得k＝1.9．(2022·福建四地六校联考)A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))，那么|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝________.答案2eq\r(2)解析由eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))知，点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2)，故|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(－22＋22)＝2eq\r(2).10．(2022·洛阳质检)在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e2，eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，那么eq\o(MN,\s\up6(→))＝____________.(用e1，e2表示)答案－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2解析如图，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋2eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)e2＋eq\f(2,3)(e2－e1)＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2.11．A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)，假设A，B，C三点共线，那么a，b的关系式为________．答案a＋b＝2解析由得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→)).∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.12．A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．解(1)由得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．∴3a＋b－3＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．13．(2022·河南三市联考)点A(1,3)，B(4，－1)，那么与eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量是__________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).14．(2022·杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD中，AB＝eq\r(5)，BC＝eq\r(3)，P为矩形内一点，且AP＝eq\f(\r(5),2)，假设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，那么eq\r(5)λ＋eq\r(3)μ的最大值为______．答案eq\f(\r(10),2)解析建立如下图的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(eq\r(5)，0)，C(eq\r(5)，eq\r(3))，D(0，eq\r(3))．∵AP＝eq\f(\r(5),2)，∴x2＋y2＝eq\f(5,4).点P满足的约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(5)，,0≤y≤\r(3)，,x2＋y2＝\f(5,4)，))∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，∴(x，y)＝λ(eq\r(5)，0)＋μ(0，eq\r(3))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)λ，,y＝\r(3)μ，))∴x＋y＝eq\r(5)λ＋eq\r(3)μ.∵x＋y≤eq\r(2x2＋y2)＝eq\r(2×\f(5,4))＝eq\f(\r(10),2)，当且仅当x＝y时取等号，∴eq\