高考数学三轮冲刺之专题突破详解专题33 均值不等式

222018年考学轮刺专突详：题33值等一学目【学习目标】会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力．二知点【知识要点】1.不等式建模应用问题实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题假建模⇒求解模型检评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模.2.不等式综合应用类型类型1：求函数的定义域、值域最值及单调性判定问.类型2：讨论方程根的存在性、的分布及根的个数等问.类型3：探究直线与圆、圆锥曲的位置关系，参变量取值范围，最值问题.类型4：探究数列的递(递减)，前项和最值等问.3．基本不等式a＋(1)＋b2ab；式：≥ab；当且仅当＝时号成立；2a＋(2)如果a，≥0则≥ab变式ab≤22

a＋，当且仅当＝b时，等号成立，其中叫2做正数a，的术平均数，ab叫做正数a，b的几平均数．4．(1)若>0，>0，且＋b＝(定)，则由≤2

2

PP＝可，当时，ab最大值；44(2)若a>0，>0且＝(值)则由＋≥2ab＝S可知，当a＝时＋b有最小值S三题方规总1.不式应用大致可分为两类：类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方.2.建不等式的主要途径有：利问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等.3.不等式的实际应用，题源丰富综合性强，是高考应用题命题的重点内容之不式应用题大是

以函数的面目出现，以最优化的形式展在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方组解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关.4.解答不等式的实际应用问题，般可分为四个步骤：(1)审题：阅读理解材料.应用题用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模这就要求解题者领悟问题实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的(2)建模：建立数学模型，即根题意找出常量与变量的不等关.(3)求解：利用不等式的有关知解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符(4)回验：回到实际问题，作出理的结.四高题及题阱1.均值不等式配常数例1若圆

:x

2

y

2

x

关于直线l0)

对称

12a

的最小值为（）A.1B.C.【答案】

D.4练习1．已知，

bb

的最小值为（）A.3B.C.D.【答案】【解析】

11+2b=1b

，当

22

时等号成立，即

bb

的最小值为

，故选A.【错防】题要查用本等求值属难题.利用本等求值，一要确理和握一，定三等的涵一是首要断参是为；定，次看或积否定（定最，定最；三相等，后定验等能成（要意点，是等参否定域，是次

或

时号否时立.2知点

bb

在圆

xy24

和圆

M:

的公共弦上

12ab的最小值为（A.

B.

C.

D.

8【答案】【法结在用本等求值，特注“、、凑等巧使满基不式“”即件求字为数、“定(等的一必为值、等”等取的件的件能用否会现误3．在下列函数中，最小值为2的（）A.

y

11B.y(0)xsinC.

D.

yx

12【答案】【解析】A

选项

可以是负数

选项

y2sinx

sin

，等号成立时时

sinx

，在定义域内无法满足C选y

x

x2

，等号成立时

x

，在实数范围内无法满足由基本不等式

2n2n知D

选项正.2.“”变通例2.已知数x、满

1x

，则x

的最小值是.【答案】【解析】试题分析：由

y

y

y

y4

（当且仅当{

x4yy即{2yx

时等号成立.练习1.已知，y03【答案】

，且

，最小值__________．x2.若m

，

，则

21n

的最小值为__________．【答案】

32

【解析】

1nm2nm32m【法结在用本等求值，特注“、、”技巧使满基不式“”即件求字为数、“定(等的一必为值、等”等取的件的件能用否会现误

2222223．已知,

，

，则

11a22

的最大值为_________．【答案】

24【解析】∵

1a22b2b2

又∵

a4∴a

2

2

ab∴

1118a22a22ab令

，则

a

11tb

280tt

22280

，当且仅当

t5

时取等号∴

a

11b

的最大值为

24故答案为

24【错分：题要查用本等求值，于题.利基本等求值，定正理和握一，定三等的涵一是首要断参是为；定，次看或积否定（定最，定最；三相等，后定验等能成（要意点，是等参否定域，是次等号否时立.3.恒成立问题例3.已知等式

2x

2x

0

对一切

恒成立，则实数

的取值范围是（）A.

B.

C.

D.

【答案】【解析】不等式

2x

20化为2（﹣）+＞m﹣，x∵＞，∴2（﹣）

x

≥×=4，当且仅当x=2时等号．x

cos2222sinsincos2222sinsin22∵不等式

2x

2x

对一切x∈（，+）恒成立，∴﹣m﹣2＜，解得m＞﹣，故选：．【法结在用本等求值，特注“、、凑等巧使满基不式“”即件求字为数、“定(等的一必为值、等”等取的件的件能用否会现误练习1.若对任意x，等式

4x

a

恒成立，则实数a的值围为（）A.

【答案】【法结在用本等求值，特注“、、”技巧使满基不式“”即件求字为数、“定(等的一必为值、等”等取的件的件能用否会现误2.对任意的0,【答案】

，不等式

142cos

恒成立，则实数x的取值范围．【解析】1cos2

22

所以

2点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式“正”(即条件要求中字母为正)定(等式的另一边必须为定等(等号取得的条)的条件能应用，否则会出现错误

例4.在中，11{42{77例4.在中，11{42{774.不等式与其它知识的综合、OCOB2OD

，ADBC的点为M，M作直线l分交线段AC

于

,F

两点，若

，

OF

OB

的小值为（）333A.

B.

C.D.

【答案】【解析】由A,M,D三点线可知，存在实t使得

OM2

,同理由C,M,B三t411OM1OCmOBOA1点共线，存在实数m，使得,所以有，得

371t7

13OMOAOB，所以,设

OMxOEyOFy

，所以

{

xy

1737

，所以{

，即

7,

47

，所以的小值为

，选D.【法结本主考平向在何的用，点线充条，本等的用属中

444444档。练习1.在ABC中D为的点，点F在段不含端点）上，且满足

，若不等式

2x

对t小为（）A.-4B.-2C.2D.【答案】【法结本考了量线理平向基定、乘1法”基不式性，查推理力计能，于档．解多的围最问时，用解方有多化元线性划应，值等的用。2．已知抛物线

C

：

y

的焦点为F

，过点F

分别作两条直线

l1

，

l2

，直线

l1

与抛物线

C

交于

、两点直l与物线交、E两点若l与l的率的平方和为1则21A.16B.20C.24D.32【答案】

AB

的最小值（）【解析】易知直线l，l的率存在，且不为零，设1

AyyDyy1234

，直线

l1的方程为

y1

{

yy

得kx1

21

21

0

，

1

211

，同理直线

l2

与抛物线的交点满足

34

2222

，由抛物线定义可知DE134

2k212k1

22

21

，

又kkkk21

4k22k

421k22

42k1

41k2

（当且仅当

212

时取等号

24,ABDE的最小值为24，选C.k22123.设正实数x，y，满－3＋y－＝，则当【答案】【解析】由3＋y－＝0得z＝－＋y，

12取得最大值时，的大值为________．x∴

xy＝＝x2y

1xyyx≤

12

＝，当且仅当＝2时等号．此时z＝y，∴

1212＝x2yy2y

2＝－(

12)＋＝－(－1)＋1≤1.y故答案为：4.．在各项都为正数的等比数列

n

2018

，则2017

的最小值为_____．【答案】【解析】因为等比数列

n

正，所以

a

a

2019

12

，1a

2a

1a

2a

，故答案为

.5.均值不等式的实际应用例5．九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代/柴油车，中国正在力实施一项将重塑全球汽车行业的计划

年某企业计划引进新能源汽车生产设备过市场分析全年需投入固定成本

万元，每生产x（百辆），需另投入成本

C

万元，且

C

xx,0x40100004500,

.由场调研知，每辆车售价

万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完（）出2018年利润

（万元）关于年产量（辆）的函数关系润销售额成本）（）年量为多少百辆时企业所获利润最大？并求出最大利.

【答案L

2000xx

当时即2018年产100百时该企业获得利润最大，且最大利润1

万元.解析）

0x

时，L2100x2当时

；Lx

10000x

45002500x

；∴

L

,40x

.（）

040时，L

20

1500

，∴当

x20

时，

L

；

tttt当时L

10000x

2000x

x

20001800

，当且仅当

x

10000x

，即x时，

；∴当时即2018年产100百时该企业获得利润最大，且最大利润为1万.练习1．一种设备的单价为

元，设备维修和消耗费用第一年为

b

元，以后每年增加

b

元（

a、b

是常数）.用表设备使用的年数，记设备年平均费用为y，y(设备单价+设维修和消耗费用）备用的年数（Ⅰ）求

关于

t

的函数关系式；（Ⅱ）当

a112500

，

b1000

时，求这种设备的最佳更新年.【答案）

y

bat22t

;（Ⅱ）15年【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可知设备维修和消耗用构成以b首项，为差的等差数列，结合差数列前

项和公式可得

batt2t(Ⅱ)由题意结合均值不等式的结有

a

则

y

当仅当t时，平均消耗费用取得最值，即设备的最佳更新年限是15年试题解析：（Ⅰ）由题意，设备维修和消耗费用构成以

b

为首项，

b

为公差的等差数列，因此

t

年维修消耗费用为

bbtb

b2

t于是

batt2t（Ⅱ）∵t0,ab

，所以

a22a112500

，

b1000

，

y500

155000当且仅当

ba1000112500t，t2tt

，

t

时，年平均消耗费用取得最小值所以设备的最佳更新年限是年

【法律(1)用本等解实问时，先细读目息理题，确中数关，引变，题列相的数系，后基不等求．在所函的值，若基不式，号不，利函单性解．2．2017年在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平，1400多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级。最近北斗三号工程耗资9万元成一小型设，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第

天的维修保养费为

n2

至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天平均每天耗资多少钱？【答案】使用600天平均每天耗资

。3设单位用万购得一空地计划在该空地上建造一栋至少10层每2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为

x

层，则每平方米的平均建筑费用为

(单位：元．(1)写出楼房每平方米的平均综费用y

关于建造层数

x

的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑用＋平均购地费用，平均购地费用＝

购地总费用建筑总面积

)【答案y＝560＋＋

10800x

(≥10，∈N）楼房建造15层，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元.【解析】试题分析）由已知，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均地皮费用的和由知中某位用万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋x层每层2000平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y关建造层数的函关系式由1）中的楼平均综

合费用y关于建造层数x的函关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，利用基本不式，求最小值．试题解析：(1)依题意得＝(560＋48x)＋＝560＋＋(2)∵>0∴48x＋当且仅当x＝

(≥10，x∈N．≥2＝1440，，即＝15时到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为56014402000()．∴当该楼房建造层时可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．【题法结函的际用，们经析题建→模还四过，建时注实际况自量x取范的制解时要际题际虑将实的大小化题利函数型转为函的大小是优问中最见思路一4．服装厂拟在2017年行促销动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）

万件与年促销费用

x（

x

万满足

1x

.已

年生产该产品的固定投入为

万元每产1

万件该产品需要投入1万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的产成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用.（）2017年该产品的利润

万元表示为年促销费用万的函数；（）服装厂年促销费投入多少万元时，利润最大？【答案）

y56

16x

（

【解析】试题分析：（）题意知：每件产品的销售价格为

2

8m

，即可表示出利润y关促销费用x的数关系.（）（）的函数关系式，用基本不等式求最值，即可得出2017年促费用多少时，利润最试题解析：

当a时，时y最大值；当

时，易证

关于

为增函数，所以

x

时，

有最大值；答：当a时该服装厂2017年的促销费用投入3万时，利润最大；当时该装厂年的促销费用投入万时，利润最.5．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米按交通法规限制50≤≤100（单位：千时设汽油的价格是每升2元，而汽每小时耗油

2

x360

升，司机的工资是每小时14元（）这次行车总费用y关于的达式；（）x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【答案】(1)

y

2130x360

，∈[50100];(2)详解.【解析】试题分析）由意总费用

包含汽油价格

130x

x360

和司机工资

14

130x

，所以可以写出表达式

y

2130∈[50100]）x360x360

为对勾函数，则当且仅当

2x360

，等号成立，解得

x

。试题解析：

130130（）所用时间为

tx130x130y2x

，x∈[50，．所以这次行车总费用关x的表达式是y

2130234013，∈[50，100]yx36018

，∈[50100]（）

y

x2610x360

，当且仅当

x360

，即

x18

时，等号成立．故当

x

千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为10元6．已知关于x不等x﹣2mx+m+2<0m∈）的解集为．（）M为空集时，求m的值范围；（）（）条件下，求

f

mm+1

的最大值；（）M不为空集，且M

[1，4]时，求实数m的取值范围【答案(1)实m的值范围（1;(2)

m

的最小值为;(3)a的取范为a7

.【解析】试题分析：（）

为空集时＜0，此求出的取值范围；(2)由1）知

，则

，函数化为

f

24+1

12

1

m

,利用基本不等式可求出其最大值（）

f

讨论为集为空集时，利用判别式，结合图象求出实数m的取范围．试题解析）∵M为集，∴△﹣（）＜0，即m﹣﹣＜0∴实数m的值围为（1，2.

+2+2（）（）m∈（﹣，m+1>0∴f(m)=

m1，1+4mm即f(m)=m所以

1当2=m2的最小值为

m

，即

时取等.（）f（）﹣2ax+a+2=（﹣）a+a+2当M不空集时，由M[1，，得{

f18，解f7

．综上，实数a的取范围为a77．若函数(x＝－(22t＋60)＋144(x0)．(1)要使()≥0恒成立，求的小值；(2)令(x)，求使＞成立x的值范围【答案）30），16).【解析】试题分析)因为－22＋1440，所以要使不等式()≥0恒成立，即

－(22＋60)＋144t≥0(＞0)恒立，等价于≥（）fx)＝0，得试题解析：

(＞0)恒成立，求函数最值即可；，即可解＞即可(1)因为－22x＋144＞，以要使不等式(x)恒立，即tx

－(22t＋＋144t≥0(＞0)恒成立，等价于t≥(＞恒成立，由当且仅当＝

＝≤＝30(＞0)，，即＝12时，号成立，所以当t≥30时不等式tx

－(22＋60)＋t≥0恒立，t的最值为30.(2)由＞20得＞，理得－x＋144＜0，(－16)(x9)＜0，解得9＜＜16，所以

使t＞成的的值范围为(916).6.函数与不等式例6.若不式

x

a16bba

对任意a，b

恒成立，则实数x的取值范围（）A.

B.

C.

D.

【答案】练习1．已知函数f（）最小值为（）A.6B.C.D.12【答案】

，若f（）（）+（）=503（a+ba

的【解析意得

f

x

f

exex

）=2012=503（a+b以

a4

，由均值不等式

a

2

222

，得a

2

2

，等号成立条件为a

.选B.2．若函数

f

xx

，若对任意不同的实数、、x，不等式1

f123

恒成立，则实数m的值范围为__________．【答案】,42

【法结本主考函的最值最值考查于概或义理.题突口于对任不的数

1

、

x2

、

x3

，等

f12

3

恒立既是成，就左相要比面最值要，起就要小的倍比大还要.据这分利分讨，合基不式求3.已知函数

f

x

12x

(x，

的最小值为_________．【答案】【解析】∵x，∴

2

，故2

．∴

x

且当2xx

时等号成立．∴

f

的最小值为3.答案：

34．已知,

为正实数，直线yx

与曲线

ln

相切，则

14ab

的最小值为__________．【答案】【解析】

的导数为

y

1，由切线的方程y切线的斜率为，可得x

=1

，所以切点的横坐标为

，切点为

，代入xa

，得a

ab

为正实数，则

1211则1211则14b4a4aabab

，当且仅当a

时，等号成立，

14ab

的最小值为9，答案为【错防】题要查数的何义及用本等求值，属于题利基不式最值，定正理和握一，定三等的涵一正，先判参是为；定是其要看或是为值（定最积定和小三相是，最后定要证号否立（要意点一相时数在义内二多用等能同成）.5.设函数

f

x2,,对意x不式xk

恒成立正数

的取值范围是．【答案】

k

12e【解析】对任意

x,x1

，不等式

1k

f2k

恒成立，则等价为

gf2

恒成立，x2x2x2xx

，当且仅当x，即时等号，即x

f

的最小值是2，由g

x

g'

e

x

x

1e

'

时函数

为增函数

'得

时函数

时，

取得极大值同时也是最大值

g

1gf的最大值为

111ekkk案为k.2ek22ee6.已知函数

x

.(求函数

f

的单调区间；(若对任意x都有f

恒成立，求实数的值范围【答案)在－，－

)上调递减，在(－2

，

)上调递增，在(

，＋∞)上单调递减）数的值范围为[1＋∞).

(令

x

mx

，

x

，由已知可得

g

，即

，下面只要考虑

的情况即可．g′(x)＝－)e－，h(x)(2x)e－，则′(x)＝－(x＋－

，因为x，所以x＋－2>0，以h，所以h(x)在[1，＋上单调递减，即′(x)[，＋∞)单调递减，则g′(x)′(1)＝1－①当1≤0，即m时此时g′(x)≤0所以g(x)在[，＋∞)上单调递减，所以g(x)，满足条件；②当1－m>0，即－≤m<1时此时g，g′(2)2e－m<0，以存在x∈(1，2)，使g′(x＝，当1<x<x时g′(x)>0当x>x时，′(x，以g(x)[，]单调递增，(x，＋上调递减，所以当x，]时，g(x)≥g(1)，此时不满足条件．综上所述，实数m的取值范围为1,7．已知函数

f

2

x（Ⅰ）讨论

f

的单调性；（Ⅱ）当a时设斜率为的线与曲线

yfy12

两点，求证：kf2

.【答案】(见解析）解.

aa221【解析】试题分析：⑴推导

f'

x

(，讨论时a这两种情况，即可求得f解析）

f'

x

2axx

(0)当a时，f'

x

f

x

；当

a

时，由

f'

，得

14a

（取正根在区间

0,

1a

'f是函数；在区间

f'f综上，当a时

当

a

时，

f

a的减区间是,（Ⅱ）当a时，f

x

x(x0),

f

x

1x

，k

fxx212xx12121

xln21xxx2212

221

x1x11txx

2xx设

x2x1

，∵

x12

，∴

t∴kf

1lntlntttlntt2t设

gg

11tlntttt设

tgttt2∴当t时h

恒成立，∴当t时

为增函数，∴

h∴当

t时g

恒成立，∴当t时

为增函数，∴当t时∴kf

12【法结本考了用数单区及明不式立在明等的候要行化将斜表为点坐形，后简造解，可明

2x1

，一骤关，二转为元然利导8．已知函数

f

12

x2

.(1)求函数f(x)的调区间；(2)求证：时

12x2lnxx23

.【答案）

试题解析：（）题意知函数的定义域为

1x

，故

f

，所以函数

f

（）明：设

g

2xlnx32∴g′(x)＝2x－－，∵当时g′(x)＝∴g(x)在1，＋上增函数∴g(x)>g(1)＝>0，∴当时x＋x<.

>0，9．知函数

f

，且曲线

y

在

x

处的切线方程为y

.（），b的；（）函数

f

在

（）明：当

x

时，

g

.【答案】(1)(2)f

（）解析【解析】试题分析）求出f）的导数，计算

f

，求出a，的值可；（）出f（x）的导数，得到函数的单调性，得到f（）在[，递，从而求出f（）最大值；（）需证明x＞0时

x

xln，为f

，曲线

在x处切线方程为

y

，故可猜测：当x且x时

的图象恒在切线

y

的上方．试题解析：（）题设得

f

，∴

{

ff

，

解得，

．（）（），

f

，令函数

h

x∴h

，当x时h

递减；当

x时h

，

h

递增；∴

h∴当

x

，仅当x时

，故

f∴

f

f

；（）题要证：当x时

x

f

x

，即证：

x

，因为

f

，且曲线

y

在

x

处的切线方程为

y

，故可猜测：当

x

且

x

时，

f

的图象恒在切线

y

的上方．下面证明：当x时

，证明：设

则

，

F

，当

xF

，

单调递减；当

x

，

单调递增，又

，

，

ln2

，

所以，存在

x0

，使得

，当

x0

0故

0

0

上单调递减，在

又

，当且仅当

x

时取等号．

故

x

x

．由（2）知，x，

，当且仅当x时等号．所以，

xx

xln

．即

x

ln

．所以，

e

，即

x

，时号成.故：当

x

时，

g

，12分方法二：要证

xlnx2于lnx

，又

x

，可转化为证明

exlnx

令

xFxx

，F

x2

x

x

，x因当x

单调递增当

x

单调递减；

有最大值

，F

x