态和力学量的表象

态和力学量的表象第一页，共七十九页，2022年，8月28日在前三章中,描述体系状态的波函数都是用坐标(x,y,z)表示的,力学量算符也是在坐标空间中的形式。实际上,描述体系状态的波函数也可以用其它变量(如:动量px,py,pz等)来表示,相应地,力学量算符也表示为作用在这种波函数的算符。第二页，共七十九页，2022年，8月28日量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象，前三章所采用的表象是坐标表象，下面将引入并讨论其它表象。第三页，共七十九页，2022年，8月28日1.表象的“基矢”

——基本力学量算符的本征函数系

§4.1表象的“基矢”和波函数的矩阵表示

第四页，共七十九页，2022年，8月28日算符在自身表象（坐标表象）中具有本征值x’的本征函数是以x为变量的δ函数。①坐标算符

一维

三维

即坐标算符在坐标表象中的对应于确定值的本征函数，是以坐标为变量的δ函数

第五页，共七十九页，2022年，8月28日②动量和能量算符

一维

三维

动能算符

与对易，故亦是动能算符的本征函数，本征值为第六页，共七十九页，2022年，8月28日③角动量算符

第七页，共七十九页，2022年，8月28日④能量算符

能量算符的本征函数的得出依赖于势的具体表达形式

第八页，共七十九页，2022年，8月28日一维无限深势阱

一维谐振子

三维氢原子

第九页，共七十九页，2022年，8月28日2.态在表象中的矩阵表示①坐标表象任意波函数可按按坐标的本征函数展开成立的条件所以

第十页，共七十九页，2022年，8月28日是展开系数：以r’作连续变化的矩阵元则：即在坐标表象中的矩阵表示

第十一页，共七十九页，2022年，8月28日②动量表象

完备系（各基矢）：动量的本征函数则波函数可展开为展开系数为

——同一状态在动量表象中的波函数第十二页，共七十九页，2022年，8月28日特别：如果所描写的状态是具有动量p’的自由粒子的状态，即则——在动量表象中，粒子具有确定动量p’的波函数是以动量p为变量的函数，即第十三页，共七十九页，2022年，8月28日③任一力学量Q的表象设Q具有分立的本征值对应的本征函数是按Q的本征函数展开设和都是归一化的

第十四页，共七十九页，2022年，8月28日任意表象Q表象中的矩阵表示

Hermite矩阵归一化条件第十五页，共七十九页，2022年，8月28日若力学量Q同时具有分立和连续本征值，则对应的归一化本征函数是则第十六页，共七十九页，2022年，8月28日*矩阵表示*Hermite矩阵*归一化条件*由无限多个本征函数构成了无限维函数空间

——Hilbert空间第十七页，共七十九页，2022年，8月28日

比较三维空间的矢量表示

②任一矢量可按基矢展开矢量表示为列矩阵或行矩阵

①取一个坐标系，相当取三个基矢：三个基矢正交归一第十八页，共七十九页，2022年，8月28日例4.1

粒子处于一维无限深势阱的基态

求在动量和能量表象中的表示形式。第十九页，共七十九页，2022年，8月28日解：1.动量表象：本征函数展开系数

第二十页，共七十九页，2022年，8月28日2.能量表象：本征函数

展开系数：即在自身表象中取形式

矩阵形式第二十一页，共七十九页，2022年，8月28日例4.2在宽度为的一维无限深势阱中运动的粒子的状态由波函数

描写，A为归一化常数，求这个态在能量表象中的表示。解：归一化有展开系数可求得为：第二十二页，共七十九页，2022年，8月28日所以，这个态在一维无限深势阱能量表象中

的表示为：第二十三页，共七十九页，2022年，8月28日习题4.1求一维无限深势阱中处于状态的粒子的动量分布概率。提示：无限深势阱积分方法1：利用公式第二十四页，共七十九页，2022年，8月28日有第二十五页，共七十九页，2022年，8月28日积分方法2：积分方法3：用复数积分法第二十六页，共七十九页，2022年，8月28日§4.2力学量算符和量子力学公式的矩阵表示1.力学量算符的矩阵表示设力学量算符作用于函数另一函数后得出,在坐标表象中记为在Q表象中(为讨论方便，设Q具有分立的本征值),第二十七页，共七十九页，2022年，8月28日代入有其中为算符在Q表象中的表示(矩阵元)。第二十八页，共七十九页，2022年，8月28日可用矩阵形式写出为：简记为第二十九页，共七十九页，2022年，8月28日算符的矩阵表示有如下性质:①Hermite算符的矩阵表示是Hermite矩阵

②算符在其自身表象中是一个对角矩阵第三十页，共七十九页，2022年，8月28日习题4.2

求一维无限深势阱中坐标算符x和动量算符在能量表象中的矩阵元。第三十一页，共七十九页，2022年，8月28日例题4.3求一维坐标算符、动量算符和任意算符在坐标表象中的矩阵元。解：坐标表象，本征矢为第三十二页，共七十九页，2022年，8月28日习题4.3求线性谐振子Hamilton量在动量表象中的矩阵元。第三十三页，共七十九页，2022年，8月28日2.平均值公式的矩阵表示第三十四页，共七十九页，2022年，8月28日第三十五页，共七十九页，2022年，8月28日3.Schrödinger方程的矩阵表示将代入Schrödinger方程:并以左乘等式两边,再对整个空间积分，得式中第三十六页，共七十九页，2022年，8月28日4.本征值方程的矩阵表示或第三十七页，共七十九页，2022年，8月28日此式为线性齐次方程组：其有非零解的条件是系数行列式等于0，即久期方程(4.20)第三十八页，共七十九页，2022年，8月28日上式是关于的一元N次方程，可从此式解出N个λ，

将每个λ值分别代入(4.20)，求出即得本征函数i=1,2,3……

第三十九页，共七十九页，2022年，8月28日例题4.5粒子在力学量Q的三个本征矢和张成的三维空间中运动，其能量算符形式为求的本征值和相应的本征矢。解：设本征矢为矩阵形式的定态Schrodinger方程为、第四十页，共七十九页，2022年，8月28日久期方程为解得①由可解得②由可解得③由可解得第四十一页，共七十九页，2022年，8月28日习题4.4设在H0表象中的矩阵表示为，其中，a和b为实数。求能量的本征值。第四十二页，共七十九页，2022年，8月28日§4.3Dirac符号量子力学的规律可以在不同的表象中表述，但量子力学的规律和所选用的表象无关.

量子力学中描写态和力学量也可以不用具体表象，这种描写方式由Dirac最先引入一组符号实现，称之为Dirac符号。

Dirac符号体系的特点：1.与表象无关；2.运算简便。第四十三页，共七十九页，2022年，8月28日1.Dirac符号微观体系的状态用一种矢量来表示，符号是︱〉,称为右矢;表示某一确定的右矢A,用符号|A〉表示。微观体系的状态也可以用另一种矢量来表示，符号是〈︱，,称为左矢;表示某一确定的左矢B,用符号〈B︱表示。

右矢和左矢是两种性质不同的矢量，两者不能相加。它们在同一表象中的相应分量互为共轭复数。第四十四页，共七十九页，2022年，8月28日如果右矢|A〉在Q表象中的分量为{a1,a2,...},可记为：则相应的左矢〈A︱在Q表象中的分量为

，可记为：第四十五页，共七十九页，2022年，8月28日右矢|B〉在Q表象中的分量为{b1,b2,...},可记为相应的左矢〈B︱在Q表象中的分量为，可记为：第四十六页，共七十九页，2022年，8月28日则归一化条件可写为：|A〉和〈B︱的标积可写为：显然有：第四十七页，共七十九页，2022年，8月28日设有一组本征态,对应的本征值有分立部分Fi和连续部分,则的本征态的右矢和左矢写为、，

和，相应的正交归一条件为如：坐标x的本征矢量的正交归一条件是：第四十八页，共七十九页，2022年，8月28日动量p的本征矢量的正交归一条件是：事实上任何一个力学量的全部本征函数的右矢(或左矢)组成完全系,任何一个右矢(或左矢)可以用这组完全系来展开,称这组完全系的右矢(或左矢)为F表象中的基右矢(或基左矢)。第四十九页，共七十九页，2022年，8月28日2.从Dirac狄拉克符号进入表象

进入x表象:设

为表示某一状态的右矢,这一状态在x表象中用波函数描写，就是在x表象中的分量，由于基矢组成完全系，所以可以按展开：以左乘上式两边，有（4.22）第五十页，共七十九页，2022年，8月28日对于任意的

（4.23）

由（4.21）及4.22)都有坐标本征矢的封闭性第五十一页，共七十九页，2022年，8月28日进入Q表象：设的本征值Qn(n=1,2,...)组成分立谱，对应的本征右矢是，则式中分别是和在Q表象中的分量，由上两式有本征矢的封闭性第五十二页，共七十九页，2022年，8月28日如果既有分立谱又有连续谱，则有第五十三页，共七十九页，2022年，8月28日算符的Dirac符号表示：设算符作用在右矢上得到右矢式中是算符在Q表象中的矩阵元。此式即为的矩阵元的Dirac符号写法。第五十四页，共七十九页，2022年，8月28日特别地，平均值公式用Dirac符号可表为又当是厄密算符时第五十五页，共七十九页，2022年，8月28日第五十六页，共七十九页，2022年，8月28日§4.4线性谐振子与占有数表象

引入新的算符:由可以得出的对易关系为:（4.26）第五十七页，共七十九页，2022年，8月28日将作用于谐振子哈密顿算符的第n个本征态，并用公式，得：而所以同样可求得第五十八页，共七十九页，2022年，8月28日若用Dirac符号，上两式可写为：由可知谐振子的能量以为单位改变，可将这个能量单位粒子。看作一个第五十九页，共七十九页，2022年，8月28日据此，可以认为：①本征态表示体系在这个态中有n个粒子；②表示对作用使其粒子数减少一个，态变为，故称为粒子的湮灭算符；③表示对作用使其粒子数增加一个，态变为，故称为粒子的产生算符。第六十页，共七十九页，2022年，8月28日又取n＝0，有：由式（4.26）可解得：第六十一页，共七十九页，2022年，8月28日其中称为粒子数算符，这是因为以为基矢的表象称为占有数表象。在这表象中表示算符的矩阵元可求得为而第六十二页，共七十九页，2022年，8月28日习题4.5一维谐振子在t＝0时处于归一化波函数所描述的态中，式中分别为n=0,2,4时一维谐振子的归一化定态波函数，求：①待定系数C；②t＝0时，体系能量的可能取值及相应的概率；③t>0时，体系的状态波函数。④t＝0与t>0时体系的。第六十三页，共七十九页，2022年，8月28日习题4.6一维谐振子的哈密顿算符为若算符，满足,引入无量纲算符，求：（1）

（2）将；用表示，并求出全部能级。第六十四页，共七十九页，2022年，8月28日§4.5幺正变换在量子力学中,表象的适当选取可以使问题的讨论大大简化。就象不同力学问题选取不同坐标系可使讨论简化一样。在具体讨论问题时，常常需要从一个表象变换到另一个表象。

第六十五页，共七十九页，2022年，8月28日1.基矢的表象变换设算符

的正交归一本征函数系为

{|ak>,k=1,2,…}

算符

的正交归一本征函数系为

{|bk>,k=1,2,…}

考察两表象基矢之间的变换关系：设

，则变换算符U的形式为：

第六十六页，共七十九页，2022年，8月28日同样有

即

为幺正算符。

第六十七页，共七十九页，2022年，8月28日变换算符

在A表象中的矩阵表示为：

即：

称为由A表象到B表象的变换矩阵，有特点：

①矩阵元为A表象的基矢（左矢）与B表象的基矢（右矢）的内积；第六十八页，共七十九页，2022年，8月28日②第k列元素是B表象中的第k个基矢分别在A表象的各个基矢上的投影，或者说第k列元素是B表象中的第k个基矢分别在A表象中的矩阵表示。且有满足上式的矩阵称为幺正矩阵，由幺正矩阵所表示的变换成为幺正变换。结论：

量子力学中，由一个表象到另一个表象的变换是幺正变换。第六十九页，共七十九页，2022年，8月28日2．态矢量的表象变换

现将任意态矢分别在A、B表象中展开：其矩阵