北师大版九年级下册数学专训2 探究二次函数中存在性问题

专2探二函中在问名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题．探索与特殊几何图形有关的存在问题1内，平面直角坐标系，抛物线＝＋＋c(a≠与y轴于点C(0，与交于A，两，点B的坐标(，，抛物线的对称轴方程为x＝求抛物线对应的函数表达式．点M从A点出发，在线段AB上以每秒个位长度的速度向B点运动，同时点从B点出发，在线段BC上以每秒单位长度的速度向点动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的积为S，M的运动时间为)试求与t的数关系式，并求S的最大值．在点M运过程中，是否存在某时刻t使为角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．(第1题探索与周长有关的存在性问题2如图，在直角坐标系中，点A的标为(－2，0)＝，且∠AOB＝数学精品资料设计

求点的标．求经过AOB三的抛物线对应的函数表达式．在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△的长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题探索与面积有关的存在性问题3．【深】如图，抛物线＝ax＋bx＋2经点A(，，，0)，交y轴点C.求抛物线对应的函数表达(用一般式表示．数学精品资料设计

22点为y轴侧抛物上一点，是否存在点D使S＝？若存在，请直接写出点ABC3ABD的坐标；若不存在，请说明理由．将直线BC绕点B顺针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的．(第3题答1解：(1)∵点B的标(，，抛物线的对称轴方程为x＝1∴A(－2，0)．把点A(－2，0)，B(40)，C(03)坐标分别代入y＝ax＋＋c(a，数学精品资料设计

，c＝3222222最大102，c＝3222222最大1022b＋c＝0，8得＋4b＝0，得＝，c＝3∴该抛物线对应的函数表达式为＝－x＋＋由题意得AM＝，＝∴MB＝6－∵点的标(，3)，点B的标为，，∴＝3，＝在eq\o\ac(△,Rt)BOC中BC＝OB＝＋4＝5.过点N作NH⊥于点H.∴NHCO∴△BHN△，HNBNHNt3∴＝，＝，＝t.OCBC35539∴＝＝(6t＝－t＋＝－(t＋，510又易知＜t＜2∴当＝1时＝OB存在．在eq\o\ac(△,Rt)OBC∠OBC＝＝BC5BN当∠＝90°时，∠MBN＝＝，MB5t4即＝，－3t5化简，得＝24，解得＝BM4当∠BMN＝时，MBN＝＝，BN5－3t4即＝，t5化简，得＝30，解得＝综上所述，当t＝或t＝时△MBN为角三角形．192．过点B作BD⊥y于点，∠BOD＝－90°＝由A(－，可得OA＝，∴OB＝于在eq\o\ac(△,Rt)中易得BD＝1，OD＝∴点的标(1．由抛物线经过点A(－，，0)设抛物线对应的函数表达式为y＝＋，将点B的坐标，代入，得a＝

33，因此所求抛物线对应的函数表达式为yx＋x.3数学精品资料设计

32＝22222232＝222222(第2题存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x＝－1，当点C是抛物线的对称轴与线段的＝，交点时，△的长最小．设直线对应的函数表达式为＝kx＋b则＋＝k＝，解得3＝∴y＝

233x＋当x＝－时，y＝，此点的标为13．∵抛物线＝ax＋bx＋过点－，，，，，0∴解＋＝0∴抛物线对应的函数表达式为y＝－＋＋存在满足条件的点D，其坐标(1或(，或(，－3)．∵AO，OC，＝，AB＝5，∴AC1

2

＋2

＝，BC＝2＋4＝∴AC

＋BC

＝AB

2

ABC为直角角形，且BC⊥AC.如图，设直线AC与线交点F，过点F作FM⊥x轴点M由题意可知FBC＝，∴∠CFB＝45，AOAC∴CF＝BC＝，由题易知＝，OM即

5＝，解得OM＝OM5OCAC又由题易知＝，FMAF数

222222(第3题即

5＝，解得FM，F(2，6)．FM3设直线对的数表达式