现代控制理论(绝对经典)

现代控制原理预览建模分析设计状态空间表达式建立求解转换可控性可观性稳定性状态反馈状态观测器最优控制第一章控制系统的状态空间表达式本章主要内容：状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式的系统结构图状态变量及状态空间表达式的建立状态矢量的线性变换状态空间表达式的解从状态空间表达式求传递函数阵系统描述中常用的基本概念系统的外部描述传递函数系统的内部描述状态空间描述1.1状态变量及状态空间表达式状态：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。状态变量：是指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用阶微分方程描述的含有n个独立变量的系统，当求得n个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于n，必有变量不独立；若少于n，又不足以描述系统状态。状态向量：设是系统的一组状态变量，并将它们看做向量的分量，就称为状态向量，记作：状态空间：以状态变量为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻t，状态向量是状态空间的一个点。状态轨迹：以为起点，随着时间的推移，状态矢量的端点在状态空间不断的移动，所绘出的一条轨迹。状态方程：描述系统状态变量与系统输入变量间关系的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）。向量形式：

状态向量输入向量输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出变量与状态变量、输入变量之间的m个代数方程，称为系统的输出方程。向量形式：输出向量

状态向量

解：例1-1：建立如图所示的RCL电路的状态方程和输出方程。

图1

微分方程

传递函数

只反映外部情况，无法获知内部联系

定义状态变量

二阶微分方程，选择两个状态变量状态向量

定义输出变量整理得一阶微分方程组为

输出方程

状态方程矩阵相乘)(10)()(110)()(2121tuLtxtxLRLCtxtxúúûùêêëé+úûùêëéúúúûùêêêëé--=úûùêëé&&状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。

图1所示电路,若

为输出,取作为状态变量,则其状态空间表达式为

若按照如下所示的微分方程：

选,则得到一阶微分方程组：即

状态变量选择不同，状态方程也不同。两组状态变量之间的关系P：非奇异矩阵状态方程…输出方程…Y(s)G(s)U(s)状态空间描述法示意图线性连续时间系统状态空间表达式

线性离散时间系统状态空间表达式

写成矩阵形式有：

多输入多输出定常线性系统

和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号传递的关系。对于上述系统，它们的框图分别如图a和b所示。

状态空间表达式的系统框图

常用符号：注:负反馈时为－注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器比例器加法器1.2状态变量及状态空间表达式的状态模拟结构图状态空间描述的模拟结构图绘制步骤：⑴画出所有积分器；积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；⑶用箭头将这些元件连接起来。

例1-2

画出一阶微分方程的模拟结构图。模拟结构图微分方程：例1-3分析：本系统状态变量有三个一个输入量u，一个输出量y，（r=1,m=1）解：

系统结构图（或状态变量图）如下：

1.3状态变量及状态空间表达式的建立建立状态空间描述的三个途径：1、由系统框图建立2、由系统机理进行推导3、由微分方程或传递函数演化而得一、由系统框图建立状态空间描述［例1-4］：系统框图如下：［关键］：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换1、积分环节2、惯性环节3、比例积分环节等效变换如下：［例1-4］：系统框图如下：图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量），则有：写成矩阵形式：状态变量的选取原则选择系统储能元件的输出物理量；状态变量不唯一状态变量的选取不同，状态空间表达式也不同！二、由系统机理建立状态空间表达式使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）选择系统输出及其各阶导数；解：质量块受力图如下：[例1-5]试列出在外力f作用下，以质量的位移为输出的状态空间表达式。依据牛顿定律，有：选取状态变量位移输入输出输出方程状态方程依据牛顿定律：写成矩阵形式：

1)选取n个状态变量；确定输入、输出变量；建立状态空间表达式的步骤状态变量、输入变量、参数输出变量、状态变量、输入变量、参数

2)根据系统微分方程列出n个一阶微分方程；3)根据系统微分方程，列出m个代数方程。结论：(1)状态变量选取具有非唯一性。状态变量个数系统的阶次；(2)状态变量具有独立性；(3)不同组状态变量之间可做等价变换线性变换。对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空间实现。三、由系统微分方程或者传递函数建立状态空间表达式n阶SISO控制系统的时域模型为：可实现的条件：微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：

1、传递函数中没有零点时的实现系统的传递函数为：1).选择状态变量

状态方程输出方程2).化为向量矩阵形式：系统矩阵输入矩阵输出矩阵状态方程输出方程友矩阵特点：状态变量是输出y及y的各阶导数系统矩阵A特点：主对角线上方的元素为1，最后一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，称为友矩阵或相伴矩阵。3).画系统结构图：例1-6

考虑系统试写出其状态空间表达式。则状态空间表达式为：解：选择状态变量：标量系统结构图2、传递函数中有零点时的实现微分方程形式（微分方程含有输入的导数项）：状态变量选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。设系统传递函数（m=n）为：综合除法严格有理真分式若则串联分解：选取状态变量：可控标准型输出方程：友矩阵若则状态方程：可控标准型标量系统结构图：例1-7：求以下系统的状态空间表达式解：例1-7：求以下系统的状态空间表达式解：3、系统的并联型实现留数选取状态变量对角标准型1)互异极点对角标准型系统模拟结构图例1-8：求以下系统的对角标准型状态空间表达式。解：对角标准型注意符号不变3、系统的并联型实现状态变量2)n重极点约当标准型例1-9：求以下系统的约旦标准型状态空间表达式。解：对角块约当块1.4状态矢量的线性变换P：非奇异线性变换矩阵单输入单输出系统非奇异线性变换P变换用途：通过线性非奇异变换，可以使规范化(对角化、约当化），且不改变系统的原有性质，是等价变换。方阵的特征值与特征向量

设是阶方阵，如果数和维非零向量使关系式成立，那么数称为方阵的特征值，非零向量称为的对应于的特征向量。的解为特征根。的解为特征向量。方阵的次多项式为的特征多项式。为的特征方程。一、A阵为任意形式（1）A为任意形式的方阵，有n个互异实特征值对应的特征向量，满足：[例1-10]

变换系统为对角标准型。

2)确定非奇异矩阵P

[解]:1)求其特征值:3）求对角线标准型为：（2）A为任意形式的方阵，有q重实特征值，其余为n-q个互异实特征值。求解时只有1个独立的实特征向量

为广义实特征向量，满足：q阶约旦块约旦块（若干）对角线元素互异实特征值对应的实特征向量，满足：非奇异线性变换矩阵[例1-11]试将下列状态方程化为约当标准型：[解]

求特征值：另一广义的特征矢量：

（二重根）时的特征矢量为：

时特征矢量：（3）A为任意形式的方阵，有q重实特征值，其余为n-q个互异实特征值。求解时有q个独立的实特征向量互异实特征值对应的实特征向量满足：非奇异线性变换矩阵[例1-12]已知系统矩阵A，将其变换为规范矩阵。[解]:特征值1对应两个独立的特征向量[例1-12]已知系统矩阵A，将其变换为规范矩阵。[解]:特征值4对应一个独立的特征向量尽管A有重根，因为有三个独立的特征向量，仍可以化为对角阵！二、A阵为友矩阵（1）有n个互异实特征值

，其变换阵是一个范德蒙德矩阵非奇异线性变换矩阵范德蒙矩阵[例1-13]：已知系统矩阵A，将其变换为对角线矩阵。[解]:（2）有q重互异实特征值

，对应1个独立的实特征向量

；另外有

个互异实特征值非奇异线性变换矩阵[例1-14]：已知系统矩阵A，将其变换为对角线矩阵。[解]:一、线性定常系统的运动1）自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解：2）强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。非齐次状态方程的解：1.5控制系统的状态空间表达式的解二、齐次状态方程的解指数函数一阶标量微分方程已知状态方程求矩阵指数函数状态转移矩阵描述了状态向量由初始状态向任意时刻状态转移的内在特性。仿照标量微分方程1）幂级数法2）拉氏变换法求解：齐次状态方程：初始状态为：两边取拉氏变换得：整理得：拉氏反变换得：两种方法的关系？两种方法的关系？状态转移矩阵三、状态转移矩阵满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：线性定常系统的齐次状态方程：已知：令：则有：1、状态转移矩阵的含义线性定常系统的状态转移矩阵2、状态转移矩阵的基本性质证明：推论：状态转移具有可逆性证明：转移至的状态转移矩阵为证明：状态转移可以分段进行！例1-15：已知状态转移矩阵，求解：性质4性质2证明：证明：证明：非奇异线性变换非奇异矩阵另一组状态变量新的系统矩阵新的状态转移矩阵3、特殊的矩阵指数函数（1）设即A为对角阵且具有互异元素时，有

（2）设A为约当阵，即

则（3）设A是一个有多个约当块或对角块的约当矩阵4、状态转移矩阵的计算1）直接求解法：根据定义2）标准型法求解：对角线标准型和约当标准型3）拉氏反变换法2）用标准型法求解特征值互异，转化成对角标准型，且A为友矩阵特征值：例1-16：求以下矩阵A的状态转移矩阵[解]：

1）直接算法（略）

3）用拉氏变换法求解四、线性定常系统非齐次状态方程的解求1、积分法零初态响应2、拉氏变换法拉氏反变换取拉氏变换初始时刻非零拉氏变换卷积定理例1-17：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应。解法一：积分法例1-17：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应。解法二：拉氏变换法1.6由状态空间法求传递函数一、定义及表达式零初始条件下，输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系——传递函数矩阵。第个输入与第个输出之间的传递函数。

[例1-18]

已知系统动态方程为试求系统的传递矩阵。解:,线性变换同一系统，传递函数阵是唯一的！第二章线性控制系统的可控性与可观测性本章主要内容：线性定常系统的可控性的定义及判别线性定常系统的可观测性的定义及判别可控性与可观测性的对偶原理可控标准型和可观测标准型线性系统的结构分解可控性和可观测性的基本概念：20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。可控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。

输入能否控制状态（控制问题）可观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。

状态能否由输出反映（估计问题）例2-1：已知系统的动态方程，判断其可控性、可观测性。系统完全可控！可以控制无法反映系统不完全可观！2.1可控性定义线性连续系统如果存在一个分段连续的输入，能在有限的时间区内，使系统由非零初始状态，转移到一指定的任一终端状态，则在是可控的。状态可控系统可控若系统所有非零状态在时刻都是可控的，则称此系统在时刻是完全可控的；如果系统在所有时刻都是可控的则称系统一致可控。在时刻可控系统在时刻可控所有非零状态在时刻可控系统在时刻完全可控所有非零状态所有时刻系统一致可控线性定常系统的可控性与无关状态可控状态可达线性定常系统：可控性与可达性等价阶可控性矩阵多输入：阶可控性矩阵单输入：满足条件即可，不必写出所有列！线性定常系统的可控性判据一、秩判据[例2-2]

判别如下系统的可控性[解]：故系统的状态完全可控！[例2-3]

判别如下线性连续定常系统的能控性[解]：系统不可控！二、对角标准型判据特征值互异Ｂ矩阵没有全为零的行。系统不可控！与无任何联系[例2-4]：判别下列对角标准型线性定常系统的可控性。没有全零行系统可控！1、2、有全零行系统不可控！Ｂ阵中，对应于每一个约当块(特征值不同）的最后一行元素不全为零。三、约当标准型判据[例2-5]考察以下系统的能控性：状态完全能控状态完全能控非奇异线性变换不改变系统可控性！系统：非奇异变换后：1、举例系统结构图如下只包含不包含系统不可观测！2.2线性定常系统可观测性定义及其判据2、可观测性定义如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间,使得根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态，则称系统在内完全可观测。一、秩判据单输出：多输出：阶可观测性矩阵阶可观测性矩阵条件满足即可，不必写出所有的行！线性定常系统的可观测性判据[例2-6]：判别如下系统的能观测性：前三行已使系统完全可观测！解：

C矩阵没有全为零的列二、对角标准型判据系统不可观测！无任何联系特征值互异[例2-7]：考察如下系统的可观测性：系统不可观测！系统可观测！C矩阵中与约旦块第一列对应的列不全为零

C矩阵中与互异特征值对应的列不全为零三、约当标准型判据系统可观测！与无任何联系系统不可观测！[例2-8]：考察如下约旦规范型系统的可观性：系统可观测！系统可观测！系统可观测！系统不可观测！[例2-9]：系统状态方程为系统能观,则要求rank

N=2系统能观,则要求rankN=2非奇异线性变换不改变系统可观测性！系统：非奇异变换后：一、线性系统的对偶关系线性系统1、2如下：如果满足如下关系，则称两系统是互为对偶的：2.3可控性与可观测性的对偶关系对偶系统状态结构图输入r维，输出m维输入m维，输出r维互为对偶关系的系统之间的性质1）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。设和是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观测性；的能观测性等价于的能控性。二、对偶原理2.4可控标准型和可观测标准型一、单输入系统的可控标准型单输入线性定常系统：则存在线性非奇异变换：能控将状态方程化为可控标准型：非奇异变换阵为：是相乘的结果：[例2-10]：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态方程化为可控标准型。[解]1）判断系统可控性2）计算特征多项式3）计算变换阵如果单输出线性定常系统：是可观测的，将状态方程化为可观测标准型：则存在线性非奇异变换：二、单输出系统的可观测标准型证明思路：利用对偶原理，系统的可观测标准型，等价于其对偶系统的可控标准型。[例2-11]：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态空间表达式化为可观测标准型。[解]：1）判断系统能观测性2）计算特征多项式3）计算变换阵G(s)与系统可控性和可观测性的关系设(单输入单输出)定理:系统能控能观的充要条件是G(s)中没有零极点对消[例2-12]：写出以下传递函数的能控标准型。[解]：无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。所以：能控标准型为：[例2-12]：写出以下传递函数的能观测标准型。[解]：无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测标准型。所以：能观测标准型为：系统状态变量可控不可控可观不可观可观不可观可控可观可控不可观不可控可观不可控不可观2.5系统的结构分解结构分解依据可控可观性，将系统分解为四个子系统特殊的线性变换分解步骤：1、将系统分解成可控与不可控子系统；2、分别将两个子系统分解成可观与不可观子系统。一、按能控性分解目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分。如果线性定常系统：是状态不完全能控的，它的能控性判别矩阵的秩则存在非奇异变换：将状态空间描述变换为：其中：非奇异变换阵：前n1列为M中n1个线性无关的列，其余列在保证Rc非奇异下任选。能控性分解示意图：其中是n1维能控部分：其中是n-n1维不能控部分：u不能直接控制，而未来信息中又不含的信息。能控部分不能控部分例2-13：对以下系统进行可控性分解。解：可控性矩阵不可控构造变换矩阵与前2个列向量线性无关；尽可能简单不可控子系统可控子系统二、按能观测性分解目的：将系统显性地分解为能观测和不能观测两部分。观测器设计基础。如果线性定常系统：是状态不完全能观测的，它的能观测性判别矩阵的秩：则存在非奇异变换：将状态空间描述变换为：其中：

非奇异变换阵：前n1列为N中n1个线性无关的行，其余行在保证Ro非奇异下任选。能观测性分解示意图：能观测部分不能观测部分其中是n1维能观测部分：其中是n-n1维不能观测部分：对y没有直接影响，而中又不含的信息。（系统的标准分解）假设系统不完全能控也不完全能观．能控性分解能控子系统能观性分解三、按能控性和能观性进行分解不能控子系统能观性分解能控能观:能控不能观:不能控能观不能控不能观控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡状态，则稳定。偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性。与输入作用无关第三章李雅普诺夫稳定性分析经典控制理论对稳定性分析的局限性（1）局限于描述线性定常系统（2）局限于研究系统的外部稳定性劳斯（Routh）判据奈氏（Nyquist）判据现代控制原理对稳定性分析的特点（1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统；（2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性；（3）能够反映系统稳定的本质特征。李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论一、系统状态的运动及平衡状态设系统方程为：不受外力n维状态向量n维向量函数展开式为：方程的解为：初始状态向量初始时刻3.1李雅普诺夫关于稳定性的定义平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化所有状态的变化速度为零，即是静止状态

线性定常系统：平衡状态：一个平衡状态——状态空间原点无穷多个平衡状态例3-1：机械位移系统选平衡状态状态方程平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化所有状态的变化速度为零，即是静止状态

非线性系统：平衡状态：多个平衡状态例：欧式范数二、稳定性的几个定义表示向量的长度表示向量到的距离表示状态空间中，以为圆心，半径为c的圆表示状态空间中，以为球心，半径为c的球设系统初始状态位于以平衡状态为球心，为半径的闭球域内，即若能使系统方程的解在的过程中，始终位于以为球心，任意规定的半径为的闭球域内，即则称系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下稳定。稳定1、李雅普诺夫意义下稳定几何意义：初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。任给一个球域，若存在一个球域使得当时，从出发的轨迹不离开，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的设系统初始状态位于以平衡状态为球心，为半径的闭球域内，即则称系统的平衡状态是渐近稳定的。若系统方程的平衡状态不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有2、渐近稳定几何意义：初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以无限接近，直至到达平衡点后停止运动。当时，从出发的轨迹不仅不超出，而且最终收敛于，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。初始状态在整个状态空间时，平衡状态都渐近稳定。当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。3、大范围渐近稳定几何意义：当时，从状态空间任意一点出发的轨迹都收敛于。初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点越来越远。4、不稳定几何意义：如果对于某个实数和任一个实数，不管这两个实数有多小，在内总存在着一个状态，由这一状态出发的轨迹超出，则称次平衡状态是不稳定的。线性定常系统渐近稳定A的所有特征值：李雅普诺夫意义下稳定A的所有特征值：且的特征值无重根不稳定A有一个特征值：或的特征值有重根内部稳定性3.2李雅普诺夫第一法（间接法）状态稳定性外部稳定性零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的。外部稳定的充要条件：传递函数矩阵中所有元素的极点全部位于s的左半平面。输出稳定性例3-2：设系统方程为试确定其外部稳定性、内部稳定性。解：（1）求系统的特征方程：故系统内部状态不是渐近稳定的。（2）系统的传递函数为：极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。3.3李雅普诺夫第二法（直接法）不必求解微分方程，直接判断系统稳定性。系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统渐近稳定。反之，系统则不稳定。若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫意义下的稳定。李雅普诺夫第二法的基本思想

求出系统的能量函数(李雅普诺夫函数)

——标量函数。求出能量随时间变化率依据系统的状态方程考察能量函数在运动过程中的变换规律。利用和的符号特征，判断平衡状态稳定性。例3-3：已知，确定标量函数的定号性。解：正定解：正半定一、标量函数定号性解：解：负半定不定二、二次型定号性二次型：各项均为自变量的二次单项式的标量函数P为实对称矩阵二次型定号性的判别方法二次型正定矩阵P正定P的各阶顺序主子式>0二次型负定矩阵P负定P的各阶顺序主子式负正相间矩阵P正半定矩阵P正半定或者以特征值的大小来对P矩阵进行定号例3-4：确定下列二次型的定号性。解：判别方法一正定P的各阶顺序主子式>0例3-5：确定下列二次型的定号性。解：判别方法二矩阵P的特征值的符号有正有负，即符号不定不定(1)正定(2)负定(3)则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。（线性/非线性)定常系统：，其中，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数，在时满足：定理1三、李雅普诺夫第二法主要定理(1)正定(2)负半定则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。（线性/非线性)定常系统：，其中，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数，在时满足：(4)(3)定理2(1)正定(2)负半定(3)则系统原点平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定。（线性/非线性)定常系统：，其中，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数，在时满足：(4)系统保持稳定的等幅振荡，非渐近稳定！能量不变！定理3例3-6：机械位移系统系统能量正定正定负半定但不恒等于0能量不断衰减渐近稳定例3-7：机械位移系统系统能量正定恒等于0能量不变李雅普诺夫意义下的稳定选状态方程则系统原点平衡状态不稳定。定理4时变系统定常系统：如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数其中，且满足：(1)(2)注意上述定理是系统平衡状态稳定的充分条件。如果不满足定理，系统零平衡状态不一定不稳定！应该重新选取李雅普诺夫函数进行分析。例3-8：分析下列系统平衡状态的稳定性。解：选取：正定负定大范围（一致）渐近稳定几何意义：表示系统状态到空间原点的距离。表示状态趋向原点的速度。22取V(x)=x1+x2x1x2x1x2V增大的方向例3-8：分析下列系统平衡状态的稳定性。解法一：求平衡状态选取李雅普诺夫函数：正定负定系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定例3-8：分析下列系统平衡状态的稳定性。解法二：求平衡状态选取李雅普诺夫函数：正定负半定系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定只在原点为零3.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用线性定常连续系统选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数原点是唯一的平衡状态令线性定常连续系统渐近稳定给定存在满足李雅普诺夫矩阵代数方程线性定常连续系统渐近稳定给定存在满足李雅普诺夫矩阵代数方程判别步骤：(2)求解(1)选取为正定实对称矩阵（对角阵或单位阵）；(3)若P为正定实对称矩阵，则系统渐近稳定。若

可选取为正半定实对称矩阵例3-9：机械位移系统状态方程解法一选取设P正定，故系统平衡状态

——状态空间原点渐近稳定。解法二

选取设P正定，故系统平衡状态

——状态空间原点渐近稳定。负半定，且不恒为零正定同一个系统的李雅普诺夫函数选择不唯一。反馈经典控制理论：现代控制原理：输出反馈输出反馈状态反馈

选择反馈信号的形式和强度（反馈系数）使闭环控制系统的性能满足设计要求。4.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性第四章线性定常系统的综合设计参考输入反馈状态微分反馈状态反馈原系统：反馈控制律：状态反馈闭环系统：一、反馈类型输出—参考输入v反馈原系统：反馈控制律：系统维数不变；选择H改变系统特征值（闭环极点），改善系统性能。比较输出——参考输入反馈闭环系统状态反馈闭环系统：K相当于HC；H的选择自由度远小于K；输出反馈只相当于一部分状态反馈；输出反馈效果低于状态反馈，但方便实现。输出—状态微分反馈原系统：状态微分：三种反馈共同点不增加新的状态变量，系统开环、闭环同维数；反馈增益矩阵都是常数矩阵，反馈为线性变换。二、反馈结构对系统