平面向量的分解

关于平面向量的分解第1页，共72页，2023年，2月20日，星期三2.3.1平面向量的基本定理第2页，共72页，2023年，2月20日，星期三

问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以．

问题2：如图，以a为平行四边形的一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？提示：不确定．新课讲解第3页，共72页，2023年，2月20日，星期三

问题3：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以，根据是数乘向量和平行四边形法则．

问题4：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．第4页，共72页，2023年，2月20日，星期三

一、平面向量基本定理

(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的

向量a，

实数λ、u，使a＝

.(2)基底：

的向量e1，e2叫做表示这一平面内

向量的一组基底.不共线任意有且只有一对不共线所有λe1＋ue2第5页，共72页，2023年，2月20日，星期三1.

如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，判断下列说法是否正确．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.分析思考第6页，共72页，2023年，2月20日，星期三

解：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；②不正确，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；③不正确，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．第7页，共72页，2023年，2月20日，星期三2．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(

)A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2解析：∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基底．答案：B第8页，共72页，2023年，2月20日，星期三问题1：两条直线存在夹角，那么两个向量也有夹角吗？提示：有．

问题2：两条直线在什么情况下互相垂直？提示：所成的角为90°时．二、平面向量的夹角第9页，共72页，2023年，2月20日，星期三非零向量∠AOB0°≤θ≤180°同向反向90°a⊥b第10页，共72页，2023年，2月20日，星期三

1．关于平面向量的基底，下面三种说法正确吗？①一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③基底中的向量一定不是零向量．提示：平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底，故①不正确，②③正确．提示：不对，是π－B.分析思考第11页，共72页，2023年，2月20日，星期三概念理解第12页，共72页，2023年，2月20日，星期三例题讲解第13页，共72页，2023年，2月20日，星期三[答案]

30°

120°第14页，共72页，2023年，2月20日，星期三答案：120°跟踪练习第15页，共72页，2023年，2月20日，星期三第16页，共72页，2023年，2月20日，星期三例题讲解第17页，共72页，2023年，2月20日，星期三第18页，共72页，2023年，2月20日，星期三跟踪练习第19页，共72页，2023年，2月20日，星期三第20页，共72页，2023年，2月20日，星期三例题讲解第21页，共72页，2023年，2月20日，星期三第22页，共72页，2023年，2月20日，星期三跟踪练习第23页，共72页，2023年，2月20日，星期三第24页，共72页，2023年，2月20日，星期三第25页，共72页，2023年，2月20日，星期三第26页，共72页，2023年，2月20日，星期三2.3.2-3平面向量的正交分解及坐标运算第27页，共72页，2023年，2月20日，星期三1．平面向量的正交分解把一个向量分解成两个

的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

(1)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个

i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝

，则把有序数对

叫做向量a的坐标．记作

，此式叫做向量的坐标表示．

(2)在直角坐标平面中，i＝

，j＝

，0＝

．

互相垂直向量(x，y)xi＋yja＝(x，y)(1,0)(0,1)(0,0)单位新课讲解第28页，共72页，2023年，2月20日，星期三3．平面向量的坐标运算向量的加、减法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝

，a－b＝

．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量

的和(差)实数与向量的积若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝

，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的向量的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝

，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)相应坐标(λx，λy)相应坐标(x2－x1，y2－y1)第29页，共72页，2023年，2月20日，星期三1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．2．已知向量＝(－1，－2)，M点的坐标与的坐标有什么关系？提示：坐标相同但写法不同；＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．分析思考第30页，共72页，2023年，2月20日，星期三

3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．

4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．第31页，共72页，2023年，2月20日，星期三例题讲解第32页，共72页，2023年，2月20日，星期三第33页，共72页，2023年，2月20日，星期三第34页，共72页，2023年，2月20日，星期三跟踪练习第35页，共72页，2023年，2月20日，星期三第36页，共72页，2023年，2月20日，星期三第37页，共72页，2023年，2月20日，星期三第38页，共72页，2023年，2月20日，星期三例题讲解第39页，共72页，2023年，2月20日，星期三第40页，共72页，2023年，2月20日，星期三答案：B跟踪练习第41页，共72页，2023年，2月20日，星期三例题讲解第42页，共72页，2023年，2月20日，星期三思考：保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？第43页，共72页，2023年，2月20日，星期三1．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．解：(1)由v＝f(u)可得当u＝(x，y)时，有v＝(y,2y－x)＝f(u)，从而f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．跟踪练习第44页，共72页，2023年，2月20日，星期三2.若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．第45页，共72页，2023年，2月20日，星期三第46页，共72页，2023年，2月20日，星期三第47页，共72页，2023年，2月20日，星期三第48页，共72页，2023年，2月20日，星期三[例4]已知a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb.试求实数p，q的值．第49页，共72页，2023年，2月20日，星期三1.已知A(3,2)、B(5,4)、C(6,7)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标．[错因分析]

只考虑了一种情况，还有另外两种情况没有考虑．跟踪练习第50页，共72页，2023年，2月20日，星期三第51页，共72页，2023年，2月20日，星期三可得(6－3,7－2)＝(5－x,4－y)，解得x＝2，y＝－1.故所求顶点D的坐标为D(2，－1)．综上可得，以A、B、C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4,5)或(8,9)或(2，－1)．第52页，共72页，2023年，2月20日，星期三2.3.4平面向量共线的坐标表示第53页，共72页，2023年，2月20日，星期三

提示：(1)、(2)中，b＝2a，(3)中，b＝－2a，(4)中，b＝－a.

新课讲解第54页，共72页，2023年，2月20日，星期三问题2：以上几组向量中a，b共线吗？提示：共线．问题3：当a∥b时a，b的坐标成比例吗？提示：坐标不为0时成比例．第55页，共72页，2023年，2月20日，星期三(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当

时，向量a与b共线．

(2)设a＝(x1，