2021-2022学年吉林省乾安县高二年级上册学期第一次质量检测数学试题【含答案】

2021-2022学年吉林省乾安县高二上学期第一次质量检测数学试题一、单选题1．设复数，则z的虚部为（

）A．4 B． C． D．【答案】A【解析】化简复数，从而可得虚部.【详解】复数，则z的虚部为4.故选：A.2．已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示求参数n，再利用空间向量夹角的坐标表示求与的夹角.【详解】由题设，，则，∴，则，又，∴.故选：C.3．若直线经过两点，且倾斜角为，则m的值为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根据直线的斜率公式，可得，求解即可.【详解】由题意，可知直线的斜率存在，且，所以，解得.故选：B.4．△中，角所对的边分别为，若，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理求，进而可求的大小.【详解】由余弦定理知：，又，∴.故选：C5．如图，空间四边形中，，，，且，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可.【详解】由题意知，故选：C.6．“”是“直线互相平行”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：直线与互相平行的充要条件为，即或，因此“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，选A.【解析】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．7．已知点两点，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线的倾斜角与斜率的变化关系求解.【详解】设的斜率为，所以的倾斜角为，的倾斜角为，因为直线过点且与线段AB相交，所以的倾斜角取值范围为或所以直线的斜率k的取值范围是，故选:D.8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面D1B1E的一个法向量和向量的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，所以,设平面D1B1E的法向量为，则，可取，又，设AB1与平面B1D1EF所成的角为，则，故AB1与平面B1D1EF所成的角为．故选：B．【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.【解析】1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.10．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．二、多选题11．已知直线l：，其中，下列说法正确的是（

）A．当时，直线l与直线垂直B．若直线l与直线平行，则C．直线l过定点D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【分析】对于A，代入，利用斜率之积为得知直线l与直线垂直；对于B，由两平行线的一般式有求得，从而可判断正误；对于C，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l过定点；对于D，代入，分别求得直线l在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A，当时，直线l的方程为，故l的斜率为1，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，则，所以直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线l的方程为，易得在x轴、y轴上的截距分别是，所以D错误.故选：AC.12．在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．B．存在点，使得C．三棱锥的体积为D．直线与平面所成角的余弦值为【答案】AC【分析】A.利用空间向量运算求解判断；B.利用空间向量运算求解判断；C.利用等体积法求解判断；D.利用线面角的求解判断.【详解】由题意，画出正三棱柱如图所示，向量，故A正确；假设存在点，设，，所以.因为，所以.解得.故B错误；因为正三棱柱，所以，所以，所以，故C正确；设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面所成的角，.故D错误.故选：AC.三、填空题13．已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为__________．【答案】.【分析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出的垂直平分线方程，令，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14．求过点M(－2，1)且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程__________．【答案】或【分析】确定所求直线斜率存在，设方程为，由点到直线的距离公式列方程求得即可得．【详解】若直线斜率不存在，则直线与A(－1，2)，B(3，0)两点距离不相等，不满足题意；故直线斜率存在，设所求直线方程为，即因为与点，距离相等，所以,，解得或,即或．故答案为：或15．已知正方体的棱长为2，E，F分别是的中点，则点A到直线EF的距离为________．【答案】##【分析】利用空间向量的坐标运算，求解点到直线的距离.【详解】建系如图，,的单位向量为，所以点A到直线EF的距离为，故答案为:.16．直线与曲线有两个交点，则实数b的取值范围为________．【答案】【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系求解.【详解】由的为如图所示的半圆，当直线与半圆相切时，解得或（舍），要使直线与曲线有两个交点，则，故答案为:.四、解答题17．已知直线过点．(1)若直线过点，求直线的方程；(2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）利用直线的两点式方程求解即可；（2）利用直线的截距式方程求解即可，注意讨论截距为0的情况；【详解】（1）因为直线过，，所以直线方程为，整理得.（2）当直线经过原点时，可设直线方程为，将点代入可得，解得，所以直线方程为；当直线不经过原点时，可设直线方程为，将点代入可得，解得，所以直线方程为，综上所述，直线方程为或.18．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是面A1B1C1D1的中心．(1)求证：OC平面A1BD；(2)求点C到平面A1BD的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先证明，然后利用直线与平面平行的判定定理证明／／平面.（2）由，利用等体积法，得C到平面的距离.【详解】（1）证明：连接，，，，设交与点P，连接，因为几何体为正方体，所以，，所以四边形为平行四边形，又因为O为的中心，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面,所以／／平面.（2）因为正方体棱长为1，所以是边长为的正三角形，面积为，为等腰直角三角形，面积为，点到平面的距离为1，设C到平面的距离为d，由，得，解得，C到平面的距离为.19．已知直线：，点A．求：(1)点A关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于点A的对称直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点关于线对称列式求解；（2）根据相关点法分析运算.【详解】（1）设，由题意可得，解得，故.（2）在直线上任取一点，设关于点A的对称点为，则，可得，由于在直线：上，则，即，故直线关于点A的对称直线的方程为.20．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．(1)求证：平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为底面是正方形，所以，又因为，平面，所以平面,因为平面，所以，因为为中点，，所以，又因为，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，且平面为正方形，所以两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示坐标系，由题意可知，，，，所以，，，设平面的法向量，则，令得，设平面的法向量，则，令得，所以，所以平面和平面夹角的余弦值为.21．如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点．(1)求异面直线和所成角；(2)设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）连接OA，以点O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角作答.（2）利用（1）中空间直角坐标系，求出平面的法向量，再借助线面角求解作答.【详解】（1）连接，因为，为的中点，则，而平面平面，平面平面，平面，则有平面，而平面，则，又，于是得，因此射线两两垂直，以点O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，而，则，，令异面直线和所成的角为，因此，又，解得，所以异面直线和所成角为.（2）由（1）知，，设点，则，设平面的法向量，则，令，得，因为与平面所成角的正弦值为，因此，整理得，而，解得，所以长为.22．已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与直线3x－4y＋15＝0相切．(1)若直线l：y＝－2x＋5与圆O交于M，N两点，求|MN|；(2)设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1k2＝－3，试证明直线BC恒过一点，并求出该点的坐标．【答案】(1)4(2)证明见解析，【分析】（1）根据圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与直线3x－4y＋15＝0相切，求得半径，再利用弦长公式求解；(2)易知A(－3，0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线AB：y＝k1(x＋3)，联立，利用韦达定理求得，再结合k1k2＝－3，进而得到B，C的坐标，分直线BC的斜率存在与不存在，写出直线方程求解.【详解】（1）解：因为圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与直线3x－