幂的乘方与积的乘方

关于幂的乘方与积的乘方第1页，共56页，2023年，2月20日，星期三幂的意义:a·a·…·an个aan=

同底数幂的乘法运算法则：am

·an=am+n（m,n都是正整数）回顾与思考第2页，共56页，2023年，2月20日，星期三幂的乘方的意义幂的乘方：就是指几个相同的幂相乘。例如：（am）n

是指N个am相乘。读作：a的m次幂的n次方。例如：(22

)3是指3个22相乘，读作：2的2次幂的3次方。第3页，共56页，2023年，2月20日，星期三做一做(22

)3=___________；(a2

)3=___________；(

a2

)m=___________（m是正整数）.26a6a2m第4页，共56页，2023年，2月20日，星期三(22)3=22·22·22=22+2+2=22×3=26.(22

)3(a2)m=a2·a2·…·a2=a2+2+…+2

=a2×m

=a2m.m个a2m个2(a2

)m（m是正整数）(a2

)3(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a2×3=a6.第5页，共56页，2023年，2月20日，星期三

通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？(22

)3

,

(

a2

)3,(a2

)m（m是正整数）底数不变，指数相乘.第6页，共56页，2023年，2月20日，星期三(am)n=am

·am

·…·am=am+m+…+m=amn(m，n都是正整数).

n个am

n个m

同样，我们把上述运算过程推广到一般情况，即(am)n=amn(m，n都是正整数).结论（幂的意义）（同底数幂的乘法性质）第7页，共56页，2023年，2月20日，星期三(am)n=amn(m,n都是正整数)底数

，指数

.幂的乘方，幂的乘方

法则不变相乘第8页，共56页，2023年，2月20日，星期三举例例4计算：（1）(105)2；（2）-(a3)4

.第9页，共56页，2023年，2月20日，星期三（1）(105)2

解(105)2=105×2=1010.（2）-(a3)4

解-(a3)4

=-a3×4=-a12.第10页，共56页，2023年，2月20日，星期三举例例5计算：（1）(xm)4

（m是正整数）；（2）(a4

)3

·

a3.第11页，共56页，2023年，2月20日，星期三（1）(xm)4

（m是正整数）解(xm)4=xm×4=x4m.（2）(a4)3·

a3解(a4)3

·

a3

=a4×3

·

a3

=a15.=a12+3.第12页，共56页，2023年，2月20日，星期三【例2】计算：⑴x2·x4＋(x3)2；⑵(a3)3·(a4)3解：⑴原式＝x2+4

＋x3×2＝x6＋x6＝2x6⑵原式＝a9·a12＝a9+12＝a21---①幂的乘方---②同底数幂相乘---③合并同类项第13页，共56页，2023年，2月20日，星期三巩固练习：1.计算（y2)3.y2.2(a2)6.a3-（a3)4.a3解：原式=y6.y2=y8解：原式=2a12.a3–a12.a3=a12.a3=a15.

第14页，共56页，2023年，2月20日，星期三练习1.填空：（1）(104)3=

；（2）(a3)3=

；（3）-(x3)5=

；（4）(x2)3·x2=

.

1012a9-x15x8第15页，共56页，2023年，2月20日，星期三2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(a4)3=a7；（2）(a3)2=a9.不对，应是a4×3=a12.不对，应是a3×2=a6.第16页，共56页，2023年，2月20日，星期三练习1、计算(5)(am)4

(6)(x4)3·(x2)8

(7)(a2)3·(a3)4

(8)(am+3)2

(9)[(x-3y)m]3

(10)9m·27n

注1：幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式.第17页，共56页，2023年，2月20日，星期三练习2、判断下列各式的对错，并改正(1)(a5)2=a7

(2)a5·a2=a10

(3)(x3)3=x6

(4)x3m+1=(x3)m+1(5)a6·a4=a24

(6)4m·4n=22(m+n)

注2：幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同第18页，共56页，2023年，2月20日，星期三注3：多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则.[(am)n]p=(amn)p=amnp注4：幂的乘方公式还可逆用.amn=(am)n=(an)m例如计算[(a3)2]5的值第19页，共56页，2023年，2月20日，星期三解：∵am=3,an=5∴a3m+2n=a3m·a2n=(am)3·(an)2=33×52=675.第20页，共56页，2023年，2月20日，星期三例3计算(x-y)m(y-x)2m+(y-x)3m.解：原式=(x-y)m(x-y)2m+(y-x)3m=(x-y)3m+(y-x)3m

0m为奇数=2(x-y)3mm为偶数第21页，共56页，2023年，2月20日，星期三第22页，共56页，2023年，2月20日，星期三提高训练第23页，共56页，2023年，2月20日，星期三2、在括号内填上指数或底数第24页，共56页，2023年，2月20日，星期三第25页，共56页，2023年，2月20日，星期三第26页，共56页，2023年，2月20日，星期三第27页，共56页，2023年，2月20日，星期三第28页，共56页，2023年，2月20日，星期三第29页，共56页，2023年，2月20日，星期三幂的意义:a·a·…·an个aan=

同底数幂的乘法运算法则：am

·an=am+n（m,n都是正整数）

幂的乘方运算法则:(am)n=

(m、n都是正整数)amn回顾与思考第30页，共56页，2023年，2月20日，星期三积的乘方的意义积的乘方概念：是指底数是乘积形式的乘方。例如：(ab)3)(3x)2

(-2xy)4

第31页，共56页，2023年，2月20日，星期三(3x

)2=3x·3x=(3·3)

·(x·x)

=9x2.(3x

)2(ab

)3

=(ab)·(ab)·(ab)

=(a·a·a)

·(b·b·b)=a3b3.(ab)3(4y

)3(4y)3=(4y)·(4y)·(4y)=(4·4·4)·(y·y·y)=64y3.（乘方的意义）（使用交换律和结合律）第32页，共56页，2023年，2月20日，星期三(ab)n=anbn(n为正整数).猜想(ab)n=anbn第33页，共56页，2023年，2月20日，星期三

在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：(ab)n

=

ab·ab·……·ab()=(a·a·……·a)(b·b·……·b)()=an·bn．()幂的意义乘法交换律、结合律幂的意义n个abn个an个b(ab)n=

an·bn的证明第34页，共56页，2023年，2月20日，星期三上式显示:积的乘方=积的乘方乘方的积(ab)n

=an·bn（m,n都是正整数）每个因式分别乘方后的积

积的乘方法则你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗?(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗?

即“(a+b)n=an·bn

”成立吗？又“(a+b)n=an+bn

”成立吗？第35页，共56页，2023年，2月20日，星期三

三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质?怎样用公式表示?(abc)n=an·bn·cn怎样证明??(abc)n=[(ab)·c]n=(ab)n·cn=an·bn·cn.第36页，共56页，2023年，2月20日，星期三(abc)n=?(n为正整数).

(abc)n

=(abc)·…·(abc)=(a·a…·a)·(b·b…·b)·(c·c…·c)=anbncnn个abcn个an个bn个c议一议第37页，共56页，2023年，2月20日，星期三举例例6计算：（1）(-2x)3；（2）(-4xy)2；（3）(xy2)3；（4）第38页，共56页，2023年，2月20日，星期三（1）(-2x)3

（2）(-4xy)2解(-2x)3=(-2)3·x3=-8x3.解(-4xy)2=(-4)2·

x2·

y2=16x2y2.第39页，共56页，2023年，2月20日，星期三（3）(xy2)3

解(xy2)3=x3·(y2)3=x3y6.第40页，共56页，2023年，2月20日，星期三举例例7计算：

2(a2b2)3

-3(a3b3)2.解2(a2b2)3

-3(a3b3)2=2a6b6-3a6b6=-a6b6.第41页，共56页，2023年，2月20日，星期三练习1.计算：（1）；

（2）(-xy)4；（3）(-2m2n)3；（4）(-3ab2c3)4.第42页，共56页，2023年，2月20日，星期三

解：

（2）(-xy)4

=x4y4第43页，共56页，2023年，2月20日，星期三

（3）(-2m2n)3

=(-2)3

·(m2)3·n3=-8m6n3

（4）(-3ab2c3)4=(-3)4·a4·(b2)4·

(c3)4=81a4b8c12第44页，共56页，2023年，2月20日，星期三2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(ab3)2=ab6（2）(2xy)3=6x3y3．答：不对，应是(ab3)2=a2b6.答：不对，应是(2xy)3=8x3y3.第45页，共56页，2023年，2月20日，星期三3.计算：

-(xyz)4

+

(2x2y2z2

)2.解：-(xyz)4+

(2x2y2z2

)2=-x4y4z4+

4x4y4z4

=3x4y4z4.第46页，共56页，2023年，2月20日，星期三中考试题例1

化简[-a·(-2a)3·(-a)5]7的结果是

.解析原式=[-a·(-1)3·23a3

·

(-1)5·a5]7=[-23·(a1+3+5)]7=(-1)7·23×7·

a9×7=-221a63.-221a63第47页，共56页，2023年，2月20日，星期三中考试题例2C计算的结果正确的是（）解析原式=(-1)3·

(

)3·(a2)3·b3=故，应选择C.第48页，共56页，2023年，2月20日，星期三公式的反向使用

试用简便方法计算:(ab)n=

an·bn

（m,n都是正整数）反向使用:an·bn=

(ab)n(1)23×53(2)28×58(3)(-5)16×(-2)15(4)24×44×(-0.125)4=(2×5)3=103=(2×5)8=108=(-5)×[(-5)×(-2)]15=-5×1015=[2×4×(-0.125)]4