九年级数学竞赛专题讲座-二次函数的最值问题

2最小值九年级数学竞赛专题讲座---次函数的最值问题2最小值一、内容概述对二次函数

y

2

(0)

，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1当

ba0,x时，最小值

2（2当

ax

b2

时，

y最大值

2若自变量x的取值范围为

则取最值分0两情况、与

b2a的大小关系确定。．对于（1）

a：

b2

，因为对称轴左侧随的大而减，所以y最大值为y(

，最小值为y

。这里(

、

分别是y

在

与x

时的函数值。（2当

b2

，因为对称轴右侧

随x的大而增大，以

的最大值为y(

，最小值为y

。（3当

b2a

，

的最大值为y

、y(

中较大者，y

的最小值为()

．对于

a（1当

b2

，

的最大值为y

，最小值为y

。（2当

b2a

，

的最大值为()

，最小值为(

。（3当

b2a

，

的最小值为y

、y(

中较大者，y的大值为y()

综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：(二、例题解

、()

、y(

)值。

例1已

x,x是方程1

2k2

k

的两个实数根，求

21

2

2

的最大值和最小解：由于题给出的二次方程有实根，所以

，解得

43∴y＝x2＝x)2xx＝2k24∵函数y在随k的大而减小3∴当

k时

450；k时，y3例2（1）求函数

yx

x在区间

中的最大值和最小值。（2已知：且x，2

2x

的最小值。解（）若

即x2,

则

y

2

x

∴

3yx)2

2

254

若

2

即x则

2

x

∴

325y)24由此在

x

画出草图∴

3yx)2

254

（

x，y；x时，y最值小对

3y)2

（

x

32

时，最大

；

x2

时，y最小值综上所述，

x

时，y最小值

；当

x

时，最大

（2由

2y得x

12

，

y由

得x

故∴

zx

2xy2x2

1x)7

2

197

1为开口向上，对称轴为x的物线，虽然有最小值7

197

1，但x不在7

的范围内，因此不是所求的最值。又时；x时z21∴所求的最小值为3例3有条抛物线

y,y

，通过点

t,0)

且平行于

轴的直线，分别交这两条抛物线于点AB当

t

在到3的范围内变化时，求线段AB的大值。解：∵和B的纵坐标分别为

t,

，∴

381(tt)2t)48∴当

t

381时，线段得最大值4例知二次函数

yax2a(

1)3

有最大值－，实数

a

的值。分析：本题是关于二次函数最值的“逆向问题设知，二次函数

y

2

2

的对a称轴是x，的值范围是3

13

a，所以要对是否在x的值范围内讨论求解。3解）若

11a，即，物线开口向下，当333

时，

最大值∵二次函数最大值，即与

矛盾，舍去。（2若

a1,即3当由

11时y随x增大减小，当时，y32a

2

，又a∴a6（3若

1,即a3当

1时y随x增大增大，当x时，y33

2

，

x由x

a又

，∴

a综上所述，

26

或

a例在标平面，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数上找出满足x的所有整点由。

y

xx95

的图像解：∵

，即

x

2

∴

①当，①式即为，解得x9此时，满足条件的点有当时x2，得x此时满足条件的点有综上所述，满足条件的整点，共有6个3＋6例6求式的小值1x22解：令

y

3＋51222

，问题转化为考虑函数

例

x

的最小值。∵

z

2x

∴当

x

时，

z

min

，

ymin例7已边长为4的方截去一个角后成为五边形ABCDE如图中AF=2BF=1.试在上求一点，矩形PNDM有大面积。解：设矩形PNDM的DN=,NP=，是矩形PNDM面积xy，2x易知CN,＝，有

BCBF,AF所以

y

11x，xy22

x

4所有根据二次函数的性质可得当

x

时

S

二次函数的最值问题训练题班级

姓名

学号1．填空

（1）已知函数yx时，取最小值是_

，当

时，y

取最大值是______；当（2知抛物线对应的值y分别是1

y、、

(，则y、y12

的开口向上轴直线2xx13、y的大小关系是

，（3函数

y4x2(0x

的最大值与最小值分别是（4已知二次函数

y

2

x

（

x

）的最大值是，那么

a

的值为_．设

为正整数，则函数

的最小值是多少？．已知：

0

，函数2ax

的最小值为，试求的大值。．对于任意实数

，不等式

kx

恒成立，求

的取值范围。．如图，半径为的半圆内接等腰梯形，其底是半圆的直径，试求：（1它的周长y与长之的函数关系式，并求出自量的值范围。（2当腰长为何值时，周长有最大值？这个最大值为多少？D

CxA

O

B

2222．已知实数a、满等式

2

，求：

ba

的最大值和最小值。．已知：方程xkxkk此时方程的根。

，两根为

x1

、

x2

，求

x1

的最大值与最小值，并求．根据某服装店统计，服装价格每提高3，出售服装的件数就要降低％，设某种服装提价x%结果每天的经营收入（价格×出售价数）为原来的y，（1写出与x函数关系；（2要使经营收入不降低x应控制在什么范围内？（3当是什么值时，能使经营收入最多？．求函数

22

的最值。

极小值极小值极大值极小极小值极小值极大值极小1．(1)x=1,y=1,x=3,y=-1;(2)．；

yy23

参答;（3最大值与最小值分别为，0）；．＝时，m有大值；a＝时，有大值0.25；a＝时，有大值04．－4<k≤5.(1)0<x<

;(2)x=1时周长最大为56．当

a

13,b时，取得最小值当b时取最小值22a2a

7．k=8时最大值为，程

49

，两根为7；k＝2时最小值为2，方程为

x2

，两根为1。8）

y

x)(1100150

（）≤≤（）x=25时最多。2ax9．解：把y化关于x的二次方程2bx))，使这个方程有实数根，则据

2

2

y

2

①

2

，即

，∴

y

((a(，∴