北京市朝阳区2022届高三上学期期末统一考试数学（理）模拟试题（详细答案版）

北京市朝阳区2022学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类）2022．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集，集合，，则A．B．C．D．2．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是A．B．C．D．4．若，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．从中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A．B．12俯视图正视图侧视图1C．D12俯视图正视图侧视图16．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A．B．C．D．7．在中，，点D是边上的动点，且，,()，则当取得最大值时,的值为A． B．C． D．8．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．开始是否输出结束9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则等于开始是否输出结束10．已知等差数列的前n项和为．若，，则=，．11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为．12．在△中，已知，则．13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点，则的最大值是_______；的取值范围是．14．若集合满足：QUOTE，都有QUOTE，则称集合QUOTE是封闭的．显然，整数集，有理数集都是封闭的．对于封闭的集合（），：是从集合QUOTE到集合QUOTE的一个函数，①如果QUOTE都有QUOTE，就称QUOTE是保加法的；②如果都有QUOTE，就称是QUOTE保乘法的；③如果既是保加法的，又是保乘法的，就称QUOTE在QUOTE上是保运算的．在上述定义下，集合QUOTE封闭的（填“是”或“否”）；若函数QUOTE在上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数QUOTE．QUOTE三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求的分布列及数学期望．17．（本小题满分14分）FADCBE在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为直角梯形，且平面平面FADCBE.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若二面角为直二面角，（=1\*romani）求直线与平面所成角的大小；（=2\*romanii）棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知椭圆上的动点与其顶点,不重合．（Ⅰ）求证：直线与的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点，在椭圆上，为坐标原点，当,时，求的面积．19．（本小题满分14分）设函数，，．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；（Ⅲ）证明．20．（本小题满分13分）设是正整数，数列，其中是集合中互不相同的元素．若数列满足：只要存在使，总存在有，则称数列是“好数列”．（Ⅰ）当时，（ⅰ）若数列是一个“好数列”，试写出的值，并判断数列：是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列是“好数列”，且，求共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列是“好数列”，且是偶数，证明：．详细答案部分1.【考点】集合的运算【解析】由得，由得，，，故选B.【答案】B

2.【考点】复数综合运算【解析】，对应的点为，所以在第四象限，故选D.【答案】D

3.【考点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【解析】，所以为偶函数，在上为减函数，不满足题意；为开口向下的二次函数，关于轴对称为偶函数，在上单调减，不满足题意；，为偶函数，当时，在上为减函数，不满足题意，，为偶函数，当时，函数为增函数，故选D.【答案】D

4.【考点】充分条件与必要条件【解析】函数在上是减函数，则，函数在上是增函数，则，解得，所以时满足，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分条件，时，不一定有，故“函数在上是减函数”不是“函数在上是增函数”的必要条件，故答案为A.【答案】A

5.【考点】排列与排列的运用【解析】当末位数字为0时，首位可以是1，2，3，4中的一个，有4个，当末位数字为2或4时，首位可以是除了0之外的其它3个数字中的1个，故有种，所以偶数的个数是10个，故选C.【答案】C

6.【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【解析】还原三视图后放到长方体里如图所示，，，，为四棱锥的高体积为，故答案为B.

【答案】B

7.【考点】线性运算【解析】点D是边上的动点，则三点共线，满足，所以，即，又，所以，，，当且仅当时，等号成立，此时为的中点，，.故选C.【答案】C

8.【考点】集合的运算【解析】设跳远和掷实心球测试都合格的为人，则，解得，所以选B.【答案】B

9.【考点】双曲线【解析】双曲线的渐近线方程为，所以，又，所以。【答案】3

10.【考点】等差数列【解析】设等差数列的公差为，则，即，，，，，故答案为4，110.【答案】4，110

11.【考点】算法和程序框图【解析】执行程序

，判断，是，进入循环；

，判断，是，进入循环；

，判断，是，进入循环；

，判断，否，输出

故答案为：30【答案】30

12.【考点】解斜三角形【解析】由正弦定理，所以，解得，则，所以.故答案为105°.【答案】105°

13.【考点】线性规划【解析】画出可行域如图所示

令，，当直线过点是有最大值，联立，得，代入；

第二空：

解法一、

由图可知，令，则，，当时，有最小值，代入得，故的取值范围为.

解法二、

如图当点在与平行的直线：上运动时，为（负）定值，故对每一个，这道当落在与的交点时，与原点的距离最小，从而取得最小值；

当变化时，与的交点在上运动，此时，故=，为常数，综上知道，的最小值在线段上取到，最小值为，而最大值在线段上取到，最大值为0，故取值范围为.

解法三：

注意到所求为一次齐次式，可以考虑分子分母同除以，

当时，得到；

当时，得到，这里为原点与点的直线的斜率，容易得到，从而上述的取值范围为；

当是，得到这里为原点与点的直线的斜率，容易得到，从而上述的取值范围为；

综上所述，知道取值范围为.

解法四：

设，

令，，

由在可行域内，，

故.【答案】；

14.【考点】函数综合【解析】设，

则，

，

则，

所以集合是封闭的.

设，则，满足，.【答案】是；,

15.【考点】三角函数综合【解析】（Ⅰ）因为

所以的最小正周期为．

（Ⅱ）因为

当时，取得最大值；

当取得最小值．【答案】见解析

16.【考点】概率综合【解析】（Ⅰ）作出茎叶图如下：

（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：

，

，

，

因为，，

所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．

注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如派乙参赛比较合适．理由如下：

从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为，

乙获得85分以上（含85分）的频率为．

因为，所以派乙参赛比较合适．

（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，．

随机变量的可能取值为0，1，2，3，且．

∴，．

所以变量的分布列为：

0123P．（或）【答案】见解析

17.【考点】立体几何综合【解析】证明：（Ⅰ）连结，设，

因为四边形为正方形，

所以为中点．

设为的中点，连结，

则，且．

由已知，且，

所以．

所以四边形为平行四边形．

所以，即．

因为平面，平面，

所以考点】圆锥曲线综合【解析】（Ⅰ）设，则．

所以直线与的斜率乘积为．

（Ⅱ）依题直线的斜率乘积为．

①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，设直线的方程是，由得，．

取，则．所以的面积为．

②当直线的斜率存在时,设直线的方程是,

由得．

因为，在椭圆上，

所以，解得．

设,,则，．

．

设点到直线的距离为，则．

所以的面积为……①．

因为,，直线,的斜率乘积为，所以．

所以．

由，得．……②

由①②，得．

综上所述，．【答案】见解析

19.【考点】导数的综合运用【解析】（Ⅰ）函数的定义域是，．

当时，，．

所以函数在点处的切线方程为．

即．

（Ⅱ）函数的定义域为，由已知得．

①当时，函数只有一个零点；

②当，因为，

当时，；当时，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

又，，

因为，所以，所以，所以

取，显然且

所以，．

由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．

③当时，由，得，或．

ⅰ)当，则．

当变化时，变化情况如下表：

+－+↗↘

↗注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意．

ⅱ)当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意．

若，则．

当变化时，变化情况如下表：

+－+↗

↘↗注意到当时，，，所以函数至多有一个零点，不符合题意．

综上，的取值范围是

（Ⅲ）证明：．

设，其定义域为，则证明即可．

因为，取，则，且．

又因为，所以函数在上单增．

所以有唯一的实根，且．

当时，；当时，．

所以函数的最小值为．

所以

．

所以【答案】见解析

20.【考点】数列综合应用【解析】（Ⅰ）（ⅰ），或；

数列：也是一个“好数列”．

（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含两项，

若剩下两项从中任取，则都符合条件，有种；

若剩下两项从中任取一个，则另一项必对应中的一个，

有种；

若取，则，，“好数列”必超过项，不符合；

若取，则，另一项可从中任取一个，有种；

若