河北省冀州市2022年高考考前模拟数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U=凡集合M={x|x<l},N={x|x>2},则(e全)cN=()

A.{x|x>2}B.{x|x>1}C.{x[l<x<2}D.{x|x>21

2.已知平面向量工几满足问=；，W=1,且悔+q=归+q，则£与坂的夹角为()

7171-24-5万

A.—Bn.-C.—D.—

6336

3.若。=0.5°6,QO.6°5,C=2°-5，则下列结论正确的是()

A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

4.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计)，底面直径为20cm,高度为100cm,现往里面装直径为10cm的球,

在能盖住盖子的情况下，最多能装()

(附：>/2«1.414,73«1.732,75*2.236)

A.22个B.24个C.26个D.28个

5.使得乐+」方](〃eN+)的展开式中含有常数项的最小的n为()

、XyjXJ

A.4B.5C.6D.7

6.以下关于/(x)=sin2x-cos2x的命题，正确的是

A.函数“X)在区间,,葛)

上单调递增

B.直线工=£需是函数y=/(x)图象的一条对称轴

O

C.点0是函数y=/(x)图象的一个对称中心

D.将函数y=/(x)图象向左平移需J个单位，可得到y=0sin2x的图象

8

/、x2+10x+LX<0/、/、/、

7.设函数/（x）={।八若关于工的方程/（另=。（。£宠）有四个实数解玉（，=123,4）,其中

%<々<工3<%4，贝）（玉+々）（%3一七）的取值范围是（）

A.（0,101]B.（0,99]C.（0,100]D.（0,+oo）

8.已知（x+a）5展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则V项系数为（）

A.10B.32C.40D.80

9.已知P与。分别为函数2x-y-6=（）与函数y=f+i的图象上一点，则线段|PQ1的最小值为（）

A.-B.石C.D.6

55

10.若复数机（加-2）+（m2-3m+2）i是纯虚数，则实数，〃的值为（）

A.0或2B.2C.0D.1或2

11.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为〃的样本，其频率分布直方图如图所示，其

中支出在[20,40）（单位：元）的同学有34人，则〃的值为（）

AO

90D.90

jrkjr

12.若集合A={x|sin2x=l},B-<yy~—+—,kZ>,贝（J（）

A.A<JB=AB.CRBECRAC.AnB=0D.CRA^CRB

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.如图，耳、尼分别是双曲线与一斗=1的左、右焦点，过用的直线与双曲线。的两条渐近线分别交于A、B两

点，若声=而，而•可=0,则双曲线C的离心率是.

14.如图，半球内有一内接正四棱锥S-A8CD,该四棱锥的体积为迪，则该半球的体积为.

15.学校艺术节对同一类的A8,C,。四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对

这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”；丙说：“B,。两项作品未获

得一等奖“；丁说：“是A或。作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是

16.过直线4x+3y—10=0上一点P作圆/+/=1的两条切线，切点分别为A,B,则丽.丽的最小值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在直三棱柱ABC—AB'C中，ACLAB,A'A=AB=AC=2,D,E分别为AB,的中点.

（1）证明：平面，平面AA6E；

（2）求点C'到平面B'DE的距离.

18.（12分）如图，已知椭圆E的右焦点为8。,0）,P,。为椭圆上的两个动点，APQ8周长的最大值为8.

（I）求椭圆E的标准方程;

（n）直线/经过B，交椭圆E于点A，8,直线加与直线/的倾斜角互补，且交椭圆E于点M,N,\MNf=4\AB\,

求证：直线〃?与直线/的交点T在定直线上.

■_/Zn

S

19.（12分）已知曲线G的参数方程为,°'（。为参数）.以直角坐标系的原点。为极点，X轴的正半轴

y=sin夕

为极轴建立坐标系，曲线c2的极坐标方程为osii？0=4cos6.

（1）求G的普通方程和的直角坐标方程;

（2）若过点尸（I，0）的直线/与G交于A,3两点，与。2交于N两点，求MB的取值范围.

20.（12分）已知函数/（x）=|x+a|+|x-L|,（其中0>0,2>0）.

（1）求函数f（x）的最小值

（2）若2c>A/，求证：c—4c2—ab<a<c+>/c2—«/?•

21.（12分）如图，在四棱锥P—ABC。中，平面A5CO,四边形ABCD为正方形，点尸为线段PC上的点，

过A,。,厂三点的平面与依交于点E.将①A5=AP，②BE=PE,③尸8,FD中的两个补充到已知条件中，解答

下列问题:

（1）求平面ADEE将四棱锥分成两部分的体积比;

（2）求直线PC与平面ADEE所成角的正弦值.

22.（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点C,其短半轴长为1,一个焦点坐标为（1,0）,点A在椭圆C上，点8在直

线y=0上的点，且。4,08.

（1）证明：直线A3与圆/+>2=1相切;

（2）求AAQ8面积的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

先求出必何，再与集合N求交集.

【详解】

由已知,^M={x\x>l},又N={x|x>2},所以Q,McN={x|x>2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.

2.C

【解析】

根据|21+q=忖+目，两边平方|2£+3(=归+q2,化简得2ZZ=—3向2,再利用数量积定义得到

2a|/?cos(a,=-3(a)求解.

【详解】

因为平面向量泡，满足肉=州=1,且所相叫，

所以++

所以2ab=—3(a)，

所以2aBcos卜,5'=一3卜)，

所以cos(a0=-；,

所以£与坂的夹角为胃.

故选：c

【点睛】

本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.

3.D

【解析】

根据指数函数的性质，取得a,b,C的取值范围，即可求解，得到答案.

【详解】

由指数函数的性质，可得1>0.6°5>0.5°5>0.5°6>0,即1>匕〉。>0,

又由C=205>I,所以。>人>。.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了指数幕的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考

查了计算能力，属于基础题.

4.C

【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为50cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5夜(〃-1))cm,

得到不等式1()+5/(〃—1)41(X),计算得到答案.

【详解】

由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为cm,每装两个球称为“一层”，这样装〃层球，

则最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5后(〃-1)卜m,

若想要盖上盖子，则需要满足10+50(〃一l)W100,解得〃41+90*13.726，

所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.

故选：C

【点睛】

本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

5.B

【解析】

13S

二项式展开式的通项公式为C(3X)”"(—7=)「，若展开式中有常数项，则〃片0,解得〃二二一，当r取2时，n

XyJX22

的最小值为5,故选B

【考点定位】本题考查二项式定理的应用.

6.D

【解析】

利用辅助角公式化简函数得到/(x)=J^sin(2x-g),再逐项判断正误得到答案.

4

【详解】

f(x)=sin2x-cos2.r=V2sin(2x-—)

4

[2万、717113万

A选项，xG0,--=>2x-—G(一■)函数先增后减，错误

I3J4412

B选项，x=gn2x-f=0不是函数对称轴，错误

84

C选项，x=-=>2x--=-,不是对称中心，错误

444

D选项，图象向左平移需三个单位得到y=J^sin(2(x+^)-工)=J^sin2x,正确

884

故答案选D

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三

角函数是解题的关键.

7.B

【解析】

画出函数图像，根据图像知：玉+赴=-10,/4=1，吃〈七<1，计算得到答案•

【详解】

,、fx2+10x+Lx<0

/(X)=(八，画出函数图像，如图所示：

I|lgx|,x>0

根据图像知：玉+”-10,lgx3=-lgX4>故g=l，且看气<1.

,、，(IA、

故(％+々)(工3一七)=一1。W----G(O,99].

7

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.

8.D

【解析】

根据二项式定理通项公式7；+i=C，&I可得常数项，然后二项式系数和，可得“，最后依据=,可得

结果.

【详解】

r5r

由题可知：Tr+i=C；xa-

当r=0时，常数项为工=/

又（x+展开式的二项式系数和为25

由“5=2$。=2

所以4+1=6/25-，

当r=2时，4=以炉23=80必

所以V项系数为80

故选：D

【点睛】

本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.

9.C

【解析】

利用导数法和两直线平行性质，将线段IPQI的最小值转化成切点到直线距离.

【详解】

已知尸与。分别为函数2x-y-6=（）与函数＞=1+1的图象上一点，

可知抛物线y=f+1存在某条切线与直线2x-y-6=0平行，则A=2,

设抛物线y=f+1的切点为（％,x；+1）,则由./=2x可得2%=2,

，尤o=l,所以切点为（1,2）,

则切点（1,2）到直线2x-y-6=0的距离为线段|PQ\的最小值，

则“内巴铲=哈

故选：C.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.

10.C

【解析】

试题分析：因为复数根（根-2）+（根2-3根+2），是纯虚数，所以加（加-2）=0且%2一3m+2H0,因此加=0.注意不

要忽视虚部不为零这一隐含条件.

考点：纯虚数

11.A

【解析】

利用频率分布直方图得到支出在［20,40）的同学的频率，再结合支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人，即得解

【详解】

由题意，支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人

由频率分布直方图可知，支出在［20,40）的同学的频率为

34

（0.01+0.024）xl0=0.34,.-.n=承=100.

故选：A

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

12.B

【解析】

根据正弦函数的性质可得集合A,由集合性质表示形式即可求得A=8,进而可知满足=

【详解】

依题意，A={xIsin2x=1}={无［x=?+k兀,&eZ}；

而8={y|y=（+容后ez}

=<x\x=—+,neZz>

4242ne

,Tl7T7t（2〃+l）乃

=<x|x=——\-n7r,neZ^x=——F-----------eZ>,

442

故A=8,

则CRBCCRA.

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

—*—b

根据三角形中位线证得AO〃B/"结合耳3・鸟3=0判断出AO垂直平分8乙，由此求得一的值，结合02=储+力2求

得上的值.

a

【详解】

•豆=而，，A为因中点，AOHBF、,•.•不从月万=0,AO垂直平分叫，

AZAOF,=ZAOB=ABOF,=60°,即2=tan60。=6,，8=&，c2=3a2+a24a2，即6=£=2.

aa

故答案为：2

【点睛】

本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

a4逝

14-71

3

【解析】

由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积

的关系，进而求得结果.

【详解】

设所给半球的半径为/?,则四棱锥的高〃=/?,

则AB=BC=CQ=D4=J^R，由四棱锥的体积生&=；（正RnR=血，

半球的体积为：2万R3=谑》.

33

【方法点睛】

涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题

转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心

的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

15.C

【解析】

假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.

【详解】

A,B,C,D分别获奖的说对人数如下表：

获奖作品ABCD

甲对错错错

乙错错对错

丙对错对错

T对错错对

说对人数3021

故获得一等奖的作品是c.

【点睛】

本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.

【解析】

由切线的性质，可知|而|=|而切由直角三角形出O,PBO,即可设|Aq=x,NAPO=a,进而表示cosa,由图

像观察可知P。2一,进而求出x的范围，再用％，a的式子表示丽・丽，整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.

【详解】

由题可知，而卜而，设|丽|=羽/4°O=a,由切线的性质可知po=J/%］,贝［j

2

XX

cosa=------,cos^2a=^——

G+i炉+i

|4x0+3x0-10|

贝百或百(舍去)

显然PO>do_,=।“ya=2，1Jd+izznxN

因为丽・丽=丽・丽cosNA尸0=/cos2a=x2-(2cos2Of-1)=x2-

“小用”禺”自X2+1)-22/2\2

―；--------=x2+—------2=(x2+1)+—z-------3

x2+lx2+l\7%2+l

.—►—►2

令，=x+1,/之4,则PA・P8=1+——3；,由双勾函数单调性可知其在区间［4,+8)上单调递增，所以

t

(PAPB\=4+2一3二

3

故答案为：—

2

【点睛】

本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函

数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析；(2)述.

5

【解析】

(1)通过证明小，面A'AB8,即可由线面垂直推证面面垂直；

(2)根据A'c'//面将问题转化为求A'到面的距离，利用等体积法求点面距离即可.

【详解】

(1)因为棱柱ABC—A'B'C是直三棱柱，所以AC_LA4'

又ACA'Ap\AB=A

所以4。，面4/国'

又D,E分别为A8,BC的中点

所以。石〃AC

即DEL面A'ABB'

又DEu面B'DE,所以平面_L平面AABB1

(2)由(1)可知AC//AC//OE

所以A'C'//平面B'DE

即点C到平面B'DE的距离等于点A到平面B'DE的距离

设点A'到面B'DE的距离为〃

由（1）可知，DEA.^AABB1

且在mABZ应中，B'D=>/5，DE=l

SMDE=易知SWED=2

由等体积公式可知匕*DE=VE-AH'D

即3S、KDE*"=§SV*EDxDE

,1V5,1,zg,475

由一x/z=—x2nxl得Zz=----

3235

所以C'到平面B'DE的距离等于—

5

【点睛】

本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.

22

18.（I）工+匕=1；（II）详见解析.

43

【解析】

（I）由椭圆的定义可得，APQK周长取最大值时，线段PQ过点片，可求出。，从而求出椭圆E的标准方程；

（II）设直线/：y=左（》一1）（左。0）,直线，〃:y=T：（x+r）,A（X1,y）,B（孙％），二（不，必），刈斗”）•把

直线机与直线/的方程分别代入椭圆E的方程，利用韦达定理和弦长公式求出|MN『和根据|MN「=4|AB|求

出t的值.最后直线m与直线/的方程联立，求两直线的交点即得结论.

【详解】

（I）设APQK的周长为L,

则L=|P段+旧用+|尸。=2。一归4+2a—|Q4|+|PQ|=4a—（归用+|0用）+|PQ|

<4a-\PQ\+\PQ\=4a,当且仅当线段PQ过点4时“=”成立.

二.4a=8,：.a=2,又「0=1,;./?=百，

22

二椭圆E的标准方程为工+匕=1.

43

（II）若直线/的斜率不存在，则直线〃?的斜率也不存在，这与直线相与直线/相交于点T矛盾，所以直线/的斜率存

在.

设/:y=左（%一1）（左。0），m:y^-k（x+t）,A（w，y）,网9,巴），用（毛,%），刈4%）。

将直线加的方程代入椭圆方程得：（3+4%2卜2+8-优+4（上2-3）=0.

8k2t4伊/一3

・出十中-彳"引”三所

"。+。气铲

同理,

由题（=41ABi得。=0,此时△=64K/-16（3+4左2）伏2/_3）＞o.

直线m:y=-kx,

联立直线m与直线/的方程得

即点T在定直线》=」.

2

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.

19.⑴见解析;⑵（0，1.

【解析】

试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到G的普通方程，两边同乘以。利用0cos8=x，osin8=y即可得C2

的直角坐标方程；（2）设直线/的参数方程为。为参数），代入二十丁=1,利用韦达定理、直线参

y=tsina2

数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.

2

试题解析：（1）曲线G的普通方程为千+丁=1,曲线G的直角坐标方程为y2=4x；

x=1+tcosa

（2）设直线/的参数方程为a为参数）

y-tsina

又直线/与曲线a：y2=4x存在两个交点，因此Sina。0.

联立直线/与曲线G：二+丁=1可得(1+sin2a)r2+2rcos«-1=0贝!11E41M耳=|也|=——

21+sina

联立直线/与曲线G：V=4x可得产sin2a-4gsa-4=0,则怛,忖'|=9|=一

sm~a

]

倒•阀=1+sin2a=1sin2aJ1(1

|FM|.|F/V|4~4l+sin2a~4.1(区

sinasina

20.(1)a+b.(2)答案见解析

【解析】

(1)利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M；

(2)利用分析法，只需证明|a_c|<J?二两边平方后结合2c>a+b,a>0即可得证.

【详解】

(1)/(x)=\x+a\+\x-b\..](x+a)-(x-b)\^\a+b\=a+h,当且仅当(x+a)(x-。),,0时取等号，

二/(x)的最小值A/=a+h；

(2)证明：依题意，2c>a+/?>0,

要证c-de1-abvavc+dc2-ah,即证|a-cK』c?-ab，即证a?—2ac+c?<c?—ab，即证

a1-2ac+ab<0>即证a(a-2c+与<0,又2c>a+〃，a>0可知，a(a-2c+b)<0成立，故原不等式成立.

【点睛】

本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找

结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法.

21.(1)-；(2)—.

33

【解析】

若补充②③根据已知可得AO_L平面从而有AD_L3P,结合？BLFD,可得

6PJ_平面故有依J_A£,而BE=PE,得到A8=AP,②③成立与①②相同，

①③成立，可得BE=PE,所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析；

(1)设AP=A3=1，可得AE,进而求出梯形AEED的面积，可求出匕〜》DFE，匕，即可求出结论；

(2)AB=AZ)=AP=1,以A为坐标原点，建立空间坐标系，求出B,C,尸坐标，由(1)得BP为平面AD及'的

法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.

【详解】

第一种情况：若将①=②BE=PE作为已知条件，解答如下:

(1)设平面AD在为平面a.

VBC//AD，:.〃平面a,而平面aA平面PBC=EF,

：.EF//BC,又E为PB中点.

设AP=AB=1,则==

在三角形Q46中，==—=—»

22

由A£>_LPA,A。_LAB知4)平面PAB,

:.AD±AE,EF±AE,

二梯形AEED的面积

°AD+EF,„_1+2V2_3x/2,

SAFFD=-------xAE=----x=----

AEH)2228

AB=AP,BE=PE,;.PB工AE,AD±PB,

ADC\AE=A,:.PB±平面AEFD,

13&&1

v_1..1

——X---------X---------.....9Vp-ABCD-§X1X1一

3828

,.VEF-ABCD=3_W=24，

1

故Vp-AEFD=8=3,VEFABCD=[.

^EF-ABCD5YP-AEFD

24

(2)如图，分别以A3,AZ),43所在直线为x,%z轴建立空间直角坐标系,

设