河北省2022年中考数学历年压轴试题精编（含答案）

【精品】河北省中考数学历年压轴题汇编

(含答案)

1.(中考压轴试题)如图，48是。。的直径，AC=BC，连结力C,过

点C作直线/〃46,点尸是直线/上的一个动点，直线用与。。交于

另一点〃，连结切，设直线以与直线4C交于点反

(1)求N为。的度数；

(2)当点〃在初上方，且以立第时，求证：PC=AC；

(3)在点尸的运动过程中

①当点A在线段%的中垂线上或点〃在线段PA的中垂线上时一，求

出所有满足条件的ZACD的度数；

②设。。的半径为6,点£到直线/的距离为3,连结物，DE,直

接写出△〃龙的面积.

2.(中考压轴试题)某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头/、B

间的距离，于是工作人员在岸边4、〃的垂线/少上取两点区D,使

ED=AE.再过〃点作出小的垂线0D,并在勿上找一点。，使B、E、

。在同一直线上，这时测得切长就是/〃的距离.请说明理由.

码头.4•5

1D

0C

F

3.(中考压轴试题)如图，在平面直角坐标系中，直线尸寺x+2与

x轴、y轴分别交于/、夕两点，以居为边在第二象限内作正方形力成〃

(1)求点4、夕的坐标，并求边4夕的长；

(2)求点。和点〃的坐标；

(3)在x轴上找一点也，使△鹿明的周长最小，请求出"点的坐标，

并直接写出△加厉的周长最小值.

4.(中考压轴试题)如图1,在口4?⑦中，DHLAB于■点、H,必的垂

直平分线交徵于点£,交物于点凡AB=6,DH=4,BF-.必=1：5.

(1)如图2,作尸aL”于点G,交加于点机将^戊加沿加方向

平移，得到〃，连接〃B.

①求四边形防“/的面积；

②直线牙'上有一动点M求△的,周长的最小值.

（2）如图3,延长%交砥于点。，过点0作斜〃松过切边上

的动点尸作勿〃砥，并与秋交于点（将△9沿直线国翻折，使

点〃的对应点“恰好落在直线45上，求线段03的长.

5.（中考压轴试题）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设

生产出的产品能全部售出.如图，线段即折线力比7?分别表示该有

机产品每千克的销售价外（元）、生产成本为（元）与产量x（kg）

之间的函数关系.

（1）求该产品销售价力（元）与产量X（眉）之间的函数关系式；

（2）直接写出生产成本预（元）与产量x（kg）之间的函数关系

式；

（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多

少？

6.(中考压轴试题)(10分)某班级选派甲、乙两位同学参加学校

的跳远比赛，体育老师对他们的5次训练成绩进行了整理，并绘制了

不完整的统计图，如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：

甲、乙两人跳远成绩统计表：

第1次第2第3次第4第5次

次次

甲成绩/厘米588597608610597

乙成绩/厘米613618580a618

根据以上信息，请解答下列问，题：

(1)a=；

(2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线;

(3)通过计算，补充完整下面的统计分析表;

运动员最好成绩平均数众数方差

甲，——59741.2

乙618600.6—378.24

(4)请依据(3)中所统计的数据分析，甲、乙两位同学的训练成绩

各有什么特点.

甲、乙两人所版成绩折线图

解

6小（cm）

630

20

610

600

590

580

70

560

550

540

5

第1次笔2次笋3次第4次翁5次

7.（中考压轴试题）（11分）A、B两城相距900千米，一辆客车从

A城开往B城，车速为每小时80千米，同时一辆出租车从B城开往A

城，车速为每小时100千米，设客车出发时间为t（小时）.

探究：若客车、出租车距A城的距离分别为\\、y2,写出山、y2

关于t的函数关系式及自变量取值范围，并计算当y1=240千米时y2

的彳直.

发现（1）设点C是A城与B城的中点，AC=《AB,通过计算说明：

哪个车先到达C城？该车到达C后再经过多少小时一，另一个车会到达

C?

（2）若两车扣相距100千米时，求时间t.

决策已知客车和出租车正好在A,B之间的服务站D处相遇，此时

出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种

选择返回B城的方案：

方案一：继续乘坐出租车到C城，加油后立刻返回B城，出租车加油

时间忽略不计；

方案二：在D处换乘客车返回B城.

试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？

8.（中考压轴试题）（11分）如图，OM与菱形ABCD在平面直角坐

标系中，点M的坐标为（3,-1）,点A的坐标为（-2,«）,点B

的坐标为（-3,0）,点C在x轴上，且点D在点A的左侧.

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若。M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形

ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时

间为t（秒），当。M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD,

求：

①t的值；

②/MBD的度数；

（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求

t的值.

9.（中考压轴试题）（12分）某种植基地种植一种蔬菜，它的成本

是每千克2元，售价是每千克3元，年销量为10（万千克）.基地

准备拿出一定的资金作绿色开发，若每年绿色开发投入的资金为x

（万元），该种蔬菜的年销量将是原年销量的n倍，x与n的关系如

下表:

X（万012345・・・

元）

m1.81.5•••

（1）猜想n与x之间的函数类型是n=-0.数40.6x+l函数,求

出该函数的表达式并验证；

（2）求年利润阻（万元）与绿色开发投入的资金x（万元）之间

的函数关系式（注：年利润W尸销售总额-成本费-绿色开发投入的

资金）；当绿色开发投入的资金不低于3万元，又不超过5万元时，

求此时年利润M（万元）的最大值；

（3）若提高种植人员的奖金，发现又增加一部分年销量，经调查发

现：再次增加的年销量（万千克）与每年提高种植人员的奖金z（万

元）之间满足丫=-%2+42,若基地将投入5万元用于绿色开发和提高

种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使总年利润达到17万元

且绿色开发投入大于奖金投入？（&-1.4）

答案

1.【分析】（1）只要证明△/比是等腰直角三角形即可；

（2）只要证明％=6P,切=。即可；、

（3）①分四种情形分别画出图形一一求解即可；

②分两种情形如图6中，作丛1尸。于爪.只要证明四边形力〃笈是

正方形即可解决问题；如图7中，连接%，作BG1CP于G,EKL

PC于K.由可得S匕ABD=:?，可得$4PBD=SAABP-SXABD

=爸，再根据s△阚W・s△物计算即可解决问题；

【解答】解：（1）如图1中，连接式：

(图D

•AC=BC，

：.BC=CA,

,四是直径,

：.ZACB=9Q°,

：.ZBAC=ZCBA=45°.

(2)解：如图1中，设以交CD于K.

••**********

•AC=BC，

：.ZCDB=ZCDP=^°,CB=CA,

:.CD平分~4BDP,又,：CDIBP,

:./DKB=/DKP=9S,'：DK=DK,

:ADKB^ADKP,

:.BK=KP,

即切是外的中垂线，

：.CP=CB=CA.

(3)①(I)如图2,当〃在用的中垂线上，且尸在右时，AACD

=15。；

（图2）

理由：连接劭、0C.作BGLPC于G.则四边形是正方形,

,:BG=OC=OB=CG,

■:BA=BA,

:.PB=2BG,

:./BPG=3G,

'：AB//PC,

：,AABP=^°,

•.•劭垂直平分仍

：.ZABD=^ZABP=15°,

：.ZACD=15°

(II)如图3,当〃在用的中垂线上，且尸在左，ZACD=W5°；

(图3)

理由：作仇人夕于G.

同法可证N药后=30°,可得N4斤=/胡々/4cle=15°,

:./ABD=13°,

'：ZAC^ZABD=180°,

：.ZACD=1Q5°；

(IID如图4,/在形的中垂线上，且尸在右时N〃Z>=60°；

理由：作力抬尸。于，，连接比：

同法可证N4W=30°,可得N%C=75°,ZD=ZABC=45°,

：.ZACD=60°；

(IV)如图5,/在形的中垂线上，且尸在左时N〃Z>=120°

H

（图5）

理由：作加小A7于，.

同法可证：/APH=30°,可得N4〃C=45°,ZDAC=6Q°-45

=15。，

：.ZACD=12Q°.

②如图6中，作夕此A7于4.

（图6）

'：EK=CK=3,

：.EC=342,

'：AC=642,

:.AE=EC,

'：AB//PC,

：./BAE=/PCE,,：/AEB=APEC,

:.△ABE^XCPE,

：.PC=AB=CD,

△尸必是等腰直角三角形，可得四边形力〃比1是正方形,

•••S^BDE=■S正方形ADBC=36.

如图7中，连接相,作而，夕于G,EK1PC于K.

由题意。=欧=3,PK=\,PG=2,

由XAOgXPCQ,可得0。=早，

5

正修，

由△/。入△/庞，可得S△侬=^,

._c_72

••c〉△/物—c32BP-即-yy，

•C_3•c_108

••>4BDE—彳>4PBD—J?

综上所，满足条件的△夕龙的面积为36或*.

【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似

三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判

定、直角三角形中30度角的判定等知识，解题的关键是学会用分

类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解

决问题，属于中考压轴题.

2.【分析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑/MS证明三

角形全等，从而推出线段相等.

【解答】证明：'：ABVAD,CDLAD

：./A=/CDE=9C

又YED=AE,/AEB=/CED

:4B年MCED(MS')

所以48=az

【点评】本题考查全等三角形的应用.在实际生活中，对于难以实

地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到

易测量的边上或者已知边上来，从而求解.

3.【分析】(1)对于直线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y

与x的值，确定出4与〃的坐标，得到勿与防的长，利用勾股定理

求出的长即可；

(2)过〃作丝垂直于x轴，过。作6F垂直于y轴，根据四边形ABCD

的正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用同角的余角相等得

到三个角相等，利用加S得到三角形EDA,三角形40〃以及三角形BFC

全等，利用全等三角形的对应边相等得到/应=力=5/7=4,AE=OB=

CF=2,进而求出施'与〃的长，即可确定出〃与。的坐标；

(3)找出〃关于y轴的对称点夕，连接DB',交x轴于点M此

时B^MD=D^MB'=DB'最小，即△应出周长最小，设直线DB'解

析式为y=&+。，把〃与夕坐标代入求出〃与6的值，确定出直线

施'解析式，令y=0求出x的值，确定出此时〃的坐标即可.

【解答】解：

(1)对于直线尸色+2,

令x=0,得到y=2；令y=0,得到x=-4,

：.A(-4,0),B(0,2),即如=4,OB=2,

则48=5y42+22=2遍；

(2)过〃作庞_Lx轴，过。作轴，

•.•四边形/及刀为正方形，

：.AB=BC=AD,AABC=ABAD=ZBFC=ADEA^ZA0B=9Q°,

'：ZFBC+ZABO=90°,ZAB(AZBAO=90°，/DAE+/BA0=9G°,

/FBC=ZOAB=/EDA,

：.£\DEA^/\AO^/\BFC(AAS),

:.AE=0B=CF=2,DE=0A=FB=4,

即OE=OA+AE^4+2=6,0F=OB+BF=2+4=Q,

则〃(-6,4),C(-2,6)；

(3)如图所示,连接劭，找出方关于y轴的对称点夕，连接以'，

交x轴于点版此时笈淤血9=〃游仞=DB'最小，即△应助周长最

小，

*：B(0,2),：.B'(0,-2),

设直线施'解析式为尸Ax+力，

把〃(-6,4),夕(0,-2)代入得：卜6k+b=4,

lb=-2

解得：4=-1,b=-2,

直线施'解析式为y=-x-2,

令y=0,得至ijx=-2,

则〃坐标为(-2,0),

此时△"必的周长为2标+6血.

【点评】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求

一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，全等三角形的判定

与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，

熟练掌握性质及定理是解本题的关键

4.【分析】（1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进

行解答即可；

②连接交直线跖于点M连接〃M利用勾股定理解答即可；

（2）分点尸在线段位上和点尸在线段皮上两种情况进行解答.

【解答】解：（1）①在口/%9中，AB=6,直线砥垂直平分切，

ED

图1

:.DE=FH=3,

又BF：刈=1：5,

:.AH=2,

YRQAHD^RSMHF,

.HM_AH

1,FH=DH，

SBHPTHM=42,

5,

根据平移的性质，.，而=切=6,连接8%如图1,

四边形龙阙的面积=，*6*1.56乂4义1.5=7.5；

②连接CV交直线即于点M连接。M如图2,

•.•直线)垂直平分CD,

：.CN=DN,

5,

：.DM=2,5,

在RtZXOZV中，

：.MC=^+(2.5)2,

即MC=6.5,

'：MN^DN=MNyCN=MC,

二.△〃物/周长的最小值为9.

(2)'：BF//CE,

.QF二BF二1

iQF+4二CE亏

.•.0=2,

：.PK=PK=6,

过点〃作后尸〃班分别交切于点后，交加于点尸，如图3,

当点〃在线段四上时,

在低△%片中，

PE'Z=PK2-EK",

.•.PE'=2泥,

•.•RtZV^(sRt△”尸Q,

.PE7_EyKz

.•/F，=QF，~，

即2旄=4

12QFZ

解得：QF，=隼，

5

:.PE=PE-EE=26”^二哑

55

•Cp—15-6遥

••vr-r-，

5

同理可得，当点夕在线段〃£上时，CP，="誓，如图4,

5

【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质

和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析.

5.【分析】（1）根据线段以经过的两点的坐标利用待定系数法确

定一次函数的表达式即可;

(2)显然，当0WxW50时一，%=70；当130WxW180时一，%=54；

当50VxV130时，设先与x之间的函数关系式为理=必计〃，利用待

定系数法确定一次函数的表达式即可；

(3)利用：总利润=每千克利润X产量，根据x的取值范围列出有

关x的二次函数，求得最值比较可得.

【解答】解:(1)设为与x之间的函数关系式为％=京+6,

\•经过点(0,168)与(180,60),

.•.『=168解得卜(=73

1180k+b=60,

lb=1C6O8

，产品销售价%(元)与产量x(4g)之间的函数关系式为M=-

*+168(0W启180)；

5

(2)由题意，可得当0WxW50时，%=70；

当130WxW180时，%=54；

当50VxV130时，设为与x之间的函数关系式为加=%户〃,

•直线%=必叶〃经过点(50,70)与(130,54),

f50m+n=70解得匹7,

,

I130m+n=54n=80

•••当50Vx<13。时，％=-9+8。.

综上所述，生产成本匕(元)与产量x(例)之间的函数关系式为

，70(0<x<50)

y=\-ix+80(50<x<130)；

2o

54(130<x<180)

(3)设产量为时;获得的利润为/元，

①当0WxW50时，W=x(-4^+168-70)=-称(x-挈

5533

.,.当x=50时,■的值最大,最大值为3400；

②当50VxV130时，W=xV(-4^+168)-(-1%+80)]=-

555

-110)2+4840,

.,.当x=110时,一的值最大,最大值为4840；

③当130WxW180时，F=X--f-^+168-54)=--95^+5415,

55

.•.当*=130时，/的值最大，最大值为4680.

因此当该产品产量为110例时一，获得的利润最大，最大值为4840

元.

【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解

析式，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型.

6.【解答】解：(1)由折线统计图可知，a=574；

(2)如图所示：

甲、乙两人跳远成绩折线图

6

630

20

610

600

59()

580

70

560

550

540

5

(3)甲的平均数：(588+597+608+610+597)4-5=600

填表如下:

运动员最好成绩平均数众数方差

甲610600［来59741.2

源:Z。xxo

k.Com]

乙618600.6618378.24

(4)从最好成绩，平均数，众数来看，乙跳远的成绩优于甲的；

从方差来看，甲方差小说明甲成绩比乙的成绩稳定.

故答案为：574；610,600,618.

7.【解答】解：探究:由已知得,yi=80t(OWtW晋)，y2=900-100t

(0WtW9),

当y1=240时，即80t=240,

tJ=3,

."900-100X3=600；

发现：(1)VAC=4AB=^-x900=300km,

oo

••・客车到达C点需要的时间:80t,=300,

解得：3=3.75；

出租车到达C点需要的时间:900-100t2=300,

解得：t2=6>3.75,6-3.75=2.25,

，客车先到达C,再过2.25小时出租车到达；

(2)两车相距100千米，分两种情况：

@y2'-yi=100,即900-80t-100t=100,

解得：t=等；

②y「y2=100,即80t-(900-100t)=100,

解得：t=^.

综上可知：两车相距100千米时，时间t为萼或黑小时.

决策：两车相遇，即80t+100t=900,解得t=5,

此时AD=80X5=400（千米）,BD=900-400=500（千米）.

方案一:t1=（2CD+BD）4-100=7（小时）;

方案二：t2=5004-80=6.25（小时）.

11>t29

方案二更快.

8.【解答】解：（1）如图1,过A作AE_LBC于E,

,点A的坐标为（-2,加），点B的坐标为（-3,0）,

.*.AE=V3,BE=3-2=1,

=22=22=2

ABVAE+BE7（V3）+l，

•.•四边形ABCD是菱形，

.\AB=BC=CD=AD=2,

.••菱形ABCD的周长=2义4=8；

（2）①如图2,0M与x轴的切点为F,BC的中点为E,

VM（3,-1）,

.*.F（3,0）,

VBC=2,且E为BC的中点,

Z.E（-4,0）,

EF=7,

即EE'-FE'=EF,

3t-2t=7,

t=7,

②由(1)可知：BE=1,AE=F，

tanZEBA=^=^=V3,

DE1

ZEBA=60°,

如图4,.\ZFBA=120°,

•.•四边形ABCD是菱形，

.,.ZFBD=|ZFBA=yXi20o=60°,

,「BC是。M的切线，

.*.MF±BC,

是BC的中点，

/.BF=MF=1,

...△BFM是等腰直角三角形，

AZMBF=45°,

AZMBD=ZMBF+ZFBD=45°+60°=105°；

(3)连接BM,过M作MN_LBD,垂足为N,作MELBC于E,

第一种情况：如图5,

•.•四边形ABCD是菱形，ZABC=120°,

AZCBD=60°,

AZNBE=60°,

•.•点M与BD所在的直线的距离为1,

，BD为GM的切线,

•.•BC是。M的切线,

AZMBE=30°,

VME=1,

EB=A/3»

3t+V§=2t+6,

t=6-

第二种情况:如图6,•.•四边形ABCD是菱形,ZABC=120°,'

AZDBC=60°,

AZNBE=120°,

•.•点M与BD所在的直线的距离为1,

.•・BD为。M的切线,

,「BC是。M的切线，

AZMBE=60°，

VME=MN=1,

.,.RSBEM中，tan60°噜，

DE

pp—_i—Vs

EB-tan600

.•.3t=2t+6+零，

t=6+多

综上所述，当点M与BD所在的直线的距离为1时-，t=6-«或6+

噂.[来源:Z|xx|k.Com]

V

>'A

图4

图1

9.（12分）某种植基地种植一种蔬菜，它的成本是每千克2元，售

价是每千克3元，年销量为10（万千克）.基地准备拿出一定的资

金作绿色开发，若每年绿色开发投入的资金为x（万元），该种蔬菜

的年销量将是原年销量的n倍，x与n的关系如下表:

X（万012345•・・

元）

m1